Гязянфяр рцстямов автоматик

x  вязиййятиндян сон 

т

x  вязиййятbyzя 

эятирян еля мящдуд 

U

)

t

(

u



 идаря гануну тапмаг тяляб олунур 

ки, 

]

t

,

t

[

т

0

  идаряетмя  интервалында  (9.52)  критериси  минимал 

(максимал) гиймят алсын. 

Мясялянин типиндян асылы олараг 

0

x ,

т

x   вя 

т

t  сярбяст вя йа гейд 

олуна билярляр. 

Илкин  мярщялядя  максимум  принсипи  оптимал  идаряни  заманын 

функсийасы,  йяни 

)

t

(

u

u

j

j



  шяклиндя  тапмаьа  имкан  вермишдир. 

Сонралар  идарянин  мящдуд  олмасыны  нязяря  алмайараг  мцяййян 

чевирмяляр (Риккати чевирмяси) ялавя етмякля вязиййятя нязярян 

)

,

,

,

(

u

u

n

2

1

j

j

x

x

x





 якс ялагяли оптимал идаря ганунуну да синтез 

етмяк мцмкцн олмушдур. Ахырынъы мясяля даща мцряккяб олуб, 

тянзимляйиъилярин  аналитик  конструксийа  олунмасы  мясялясиня 

аиддир.  Бу  щалда  гапалы  тянзимлямя  системи  гурмаг  цчцн  идаря 

ганунунун  аналитик  ифадясинин  алынмасы  ваъибдир.  Лакин  идаряйя 

гойулан  мящдудиййятляр  артдыгъа  беля  ифадянин  алынмасы  чятинля-

шир.  

Оптимал  идаряетмя  мясялясинин  щялл  хцсусиййятляри  бурада  да, 

сярщяд 

0

)

0

(

x

x



,

т

т

)

t

(

x

x



    шяртляринин,  башланьыъ 

0

t   вя  сон 

т

t  

заман  анларынын  верилмяси  вя  йа  сярбяст  олмасындан  асылыдыр.  Бу 

мцнасибятляр трансверсаллыг шяртляри шяклиндя верилир.  

Илкин мясялянин щяллини садяляшдирмяк цчцн (9.52) критерисинин щяр 

тяряфиндян тюрямя алараг 

 

 

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

dt

d

m

2

1

n

2

1

0

0



 x

x

x

x



 , 

тянлийини  юдяйян  кюмякчи 

)

t

(

0

x

  дяйишяни  дахил  едиля  биляр.  Бу 

тянлийи обйектин илкин (9.53) тянлийи иля бирляшдиряк:  

 

 

)

,

(

f

dt

d

i

u

x



x

 , 

n

,

0

i



 . 

435 

 

Кюмякчи 

)

t

(

0

x

 дяйишяни цчцн сярщяд шяртляри:  

 

 

0

)

t

(

0

0



x

, 

J

)

t

(

т

i



x

 . 

Бу щалда оптимал идаряетмя мясяляси эенишляндирилмиш  

 

 

1

n

т

n

1

0

R

)

,

,

,

(

~







x

x

x



x

  

вязиййятляр фязасында 

 

 

т

0

n

10

0

0

)

,

,

,

0

(

~

)

t

(

~

x

x 





x

x

 

нюгтясиндян 

0

т

t

t



 мцддятиня  

 

 

J

)

t

(

т

0

т

0





x

x

  

координаты минимал олан  

 

 

т

nт

т

1

т

т

)

,

,

,

J

(

~

)

t

(

~

x

x 





x

x

 

нюгтясиня  эялмякдян  ибарят  олур.  Мясялянин  щяндяси  интерпрета-

сийасы шякил 9.7-дя эюстярилмишдир. 

Беляликля,  илкин  (9.52) - (9.55)  мясяляси  терминал  вя  йа  Майер 

мясялясиня  эятирилир. Бу мясялянин дя щялли садя олмайыб  хцсуси 

цсул  тяляб  едир  ки,  бу  да  максимум  принсипи  шяклиндя  форма-

лашдырылыр. 

 

 

Шякил 9.7 

 

Максимум  принсипиндя  щяр  заман  анында  u -йа  нязярян 

оптималлашдырма апармаьа имкан вермяйян илкин оптималлашдырма 

436 

 

критериси щяр заман анында садя статик оптималлашдырма мясяляси-

нин щяллиня имкан верян Щамилтон функсийасы (вя йа Щамилтониан) 

иля явяз олунур: 

      

)

,

(

f

)

t

(

f

f

f

)

,

,

(

H

~

n

0

i

i

i

n

n

1

1

0

0

u

x

u

ψ

x



























.  (9.56) 

Бурада 

n

1

0

,

,

,











 щярякят  миглары вя йа  рийази  дилдя  гошма 

дяйишянляр;   

)

,

(

f

i

u

x



  интегралалты  (

0

i



)  вя  обйектин  (9.53) 

тянлийинин саь тяряфиня дахил олан функсийалардыр. 

Максимум принсипинин тятбигиндя биринъи аддым  H

~  функсийасынын 

u   идаря  тясириня  нязярян  максимал  гиймят  алмасы  шяртляринин 

тяйин  олунмасындан  ибарятдир.  Бу  щалда  оптимал  идаря 

)

t

(

i



 

гошма дяйишянляриндян асылы  тапылыр. Сонра тапылмыш оптимал идаря 

Щамилтонун  каноник  тянликляриндя  йериня  йазылараг  алынмыш  ики-

нюгтяли  сярщяд мясялясини  щялл  етдикдян сонра 

)

t

(

i

x

 оптимал тра-

йекторийалары вя 

)

t

(

i



 тапылараг идарянин ифадясиндя йериня йазылыр. 

Оптимал  идаря  тясиринин  програм  идаряси,  йяни  т-дян  асылы  вя  йа 

)

(x

u

 вязиййятя нязярян якс ялагяли тянзимлямя гануну шяклиндя 

алмаг  цчцн 

)

t

(

i



  мялум  олмалыдыр.  Бахылан  цсулда 

)

t

(

i



-ни 

тапмаг цчцн ялагя тянлийи ашаьыдакы шякилдя верилир:  

        

 

 

)

t

(

)

,

(

f

dt

d

i

n

0

j

i

j

i

















x

u

x

,   

n

,

0

i



. 

(9.57) 

Тянликляр  системи  (9.57)  илкин  (9.53)  тянликляр  системиня  гошма 

олан  тянликляр  системи  адланыр  вя  дяйишян 

i

j

f

x





  ямсаллы  биръинс 

диференсиал  тянликляр  системиндян  ибарят  олуб  башланьыъ 

)

t

(

0

i



 

шяртляриндя йеэаня щялля маликдир. Лакин бурада 

)

t

(

0

i



 щеч вахт 

мялум олмайыб, долайы йолла тапылыр.  

Щамилтон  Щ  функсийасынын  кюмяйи  иля  (9.53)  вя  (9.57)  тянликляр 

системини  Щамилтонун  каноник  шяклиня  эятириб  оптимал  идарянин 

тапылмасыны садяляшдирмяк олар: 

437 

 

 































 

  

i

i

i

i

H

~

dt

d

H

~

dt

d

x

x

     

n

,

0

i



 

(9.58) 

1. Бяркидилмиш  (мялум)  сол  вя  саь  сярщяд  нюгтяли  вя  гейд 

олунмуш  кечид  вахтлы  мясяля. 

)

t

(

0

x

, 

)

t

(

т

x

  нюгтяляри  вя  кечид  

0

т

t

t

T





 вахты верилдийи щалда оптималлыьын максимум шяклиндя 

олан  зярури  шярти  ашаьыдакындан  ибарятдир.  Яэяр  идаря  тясири 

)

t

(

*

u

 

вя обйектин (9.53) тянлийи васитяси иля онунла ялагядар олан 

)

t

(

*

x

 

трайекторийасы  оптимал  щяллярдирся,  еля  парчада  сыфыра  бярабяр 

олмайан 

т

n

1

0

)]

t

(

,

),

t

(

),

t

(

[

)

t

(











ψ

 вектор-функсийасы мювъуд 

олмалыдыр ки: 

1)

 

 истянилян 

]

t

,

t

[

t

т

0



 анында (ола билсин ки, идарянин кясилмя 

нюгтяляриндян башга) Щамилтон функсийасы оптимал 

)

t

(

*

x

 трайекто-

рийасы цзря максимал гиймят алсын. Йяни  

 

))

t

(

),

t

(

),

t

(

~

(

H

~

))

t

(

),

t

(

),

t

(

~

(

H

~

*

*

*

ψ

u

x

ψ

u

x



 ; 

2) истянилян  т  анында  (кясилмя  нюгтяляриндян  башга) 

)

t

(

ψ

 

ашаьыдакы тянликляр системини юдясин: 

 

)

t

(

~

~

*

*

~

)

,

,

~

(

H

~

dt

d

x

x

x

ψ

u

x

ψ











; 

(9.59) 

3) сон 

т

t  заман анында 

 

              

0

)

t

(

т

0





 

(9.60) 

вя Щ-ын максимал гиймяти  

 

0

))

t

(

),

t

(

),

t

(

~

(

H

~

max

т

т

*

т

*



ψ

u

x

  

(9.61) 

олсун. 

Шяртляр 1 вя 2 юдянилярся, 

const

)

t

(

0





 вя 

const

)

t

(

H

~

max



 олур 

вя  демяли  3)  бянди  истянилян 

]

t

,

t

[

t

т

0



  цчцн  доьрудур.  Садялик 

438 

 

цчцн гябул олунмуш практикайа ясасян 

1

)

t

(

0







 эютцрмяк олар.  

Финал 

т

t   аны  верилярся  трансверсаллыг  шярти  (5.60)  кими  йалныз 

0

)

t

(

0





 шяртинин юдянилмяси кифайятдир.  

Ъырлашма. Максимум принсипи 

)

t

(

i



 гошма дяйишянляринин йалныз 

тяърид  олунмуш  нюгтялярдя  (парчада  йох)  сыфыра  юярабяр  ола 

билмяси  шяртиня  ясасян  нюгтяви  зярури  шяртляря  аиддир. 

)

t

(

i



-

лярдян  бязиляри  сонлу  заман  интервалында  сыфыра  бярабяр  оларса, 

щамилтониан идарядян асылы олмайа биляр. Бу тип мясяляляр ъырлашан 

мясяляляр адланыр вя онларын щялл цсулларына бу китабда бахылмыр. 

 Мясялян, 

 

min

dt

2

1

J

2

0

2







x

 

 

u



x

, 

1

)

0

(



x

, 

 

1

|

u

|



  

оптимал идаряетмя мясяляси цчцн щамилтониан  

 

u

2

1

H

2







x

. 

Оптимал щялл: 

 

























.

0

)

t

(

1

,

0

)

t

(

1

)

t

(

sign

u

яэяр   

     

яэяр   

     

 

Идарянин 

1

u

1









  интервалынын  дахили  нюгтяляриндя  мювъуд 

олуб-олмамасыны  йохлайаг.  Бунун  цчцн  оптималлыьын  зярури 

шяртиндян (шяртсиз ехтр) истифадя едяк. 

   

)

t

(

0

u

H











. 

Эюрцндцйц  кими, 

0

)

t

(





  щялли  мювъуддур  (

]

2

,

1

[

t



  интерва-

лында).  Бу  щалда  Щ  идарядян  асылы  олмадыьына  эюря  она  нязярян 

максималлашдырыла билмяз. Бу мясялядя оптимал щялл: 

 

 

1

u





   

]

1

,

0

[

t



 ; 

439 

 

 

0

u



      

]

2

,

1

[

t



 . 

2. Бяркидилмямиш  (габагъадан  мялум  олмайан)  сол  вя  саь 

сярщяд шяртли мясяля. Бу щалда 

0

x  вя 

т

x  сярщяд нюгтяляри габаг-

ъадан верилмяйиб мясялянин щялли заманы тапылыр. Идаря просесиня 

айрылан 

0

т

t

t

T





  вахты  ися  габагъадан  вериля  вя  йа  сярбяст  ола 

биляр. Бу тип мясяляляр цчцн Лагранж (9.52) критериси Болс критериси 

иля явяз олунуб мясяля Болс мясяляси шяклиндя формалашдырылыр: 

 

min

dt

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

]

t

,

t

),

t

(

),

t

(

[

F

J

т

0

t

t

m

2

1

n

2

1

0

т

0

т

0













 x

x

x

   

x

x

 , 

 

 

   

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

dt

d

m

2

1

n

2

1

i

i



 x

x

x

x



 , 

n

,

1

i



  ,  

 

 

   

U

)

t

(



u

. 

Биринъи  топланан 

)]

t

(

[

F

т

x

  шяклиндя  оларса,  бу  системин 

т

t  

идаряетмя  мцддятинин  сонунда  щансы  вязиййятя  эялмясини,  йяни 

тянзимлямя  мясяляляриндя 

i

x   дяйишянляри  цчцн  бурахыла  билян 

iт





 тянзимлямя хятасыны характеризя едир. 

Адятян хятти-квадратик мясялядя бу топланан  

 

)

t

(

N

)

t

(

F

т

т

т

x

x



 

(9.62) 

мцсбят-мцяййян  квадратик  форма  шяклиндя  эютцрцлцр.  Мясялян, 

чяки  матриси  ващид  матрис 

I

N



  вя 

2

n



  олдугда 

2

т

2

2

т

1

F

x

x





 

координат башланьыъыны ящатя едян чевря тяшкил едир. Яэяр 

т

t  анын-

да 

т

1

т

1

|





x

|

, 

т

2

т

2

|





x

|

  мящдудиййятляри  юдянилмязся,  Н    чяки 

матрисинин уйьун елементлярини артырмаг лазымдыр. 

Бу  мясяля  цчцн  максимум  принсипи  яввялки  мясялядя  олдуьу 

1 



 3  бяндляринин  юдянилмясиндян  башга  ашаьыдакы  трансверсаллыг 

шяртляринин дя юдянилмясиндян ибарятдир: 

440 

 

 

0

t

t

i

0

i

F

)

t

(













x

,  

т

t

t

i

т

i

F

)

t

(











x

, 

n

,

1

i



.   

(9.63) 

 

0

0

t

t

t

t

t

F

H

~











,       

т

т

t

t

t

t

t

F

H

~













.  

(9.64) 

Функсийа  F  (9.62) квадратик шякилдя верилярся, скалйар функсийа-

дан  вектор  аргументиня  нязярян  тюрямя  алмаг  гайдаларына 

ясасян: 

 

)

t

(

N

F

т

x

x







. 

 

(9.63)  шяртиндян  оптимал 

0

t   вя 

т

t   заманларыны  тапмаг  цчцн 

истифадя олунур. Яэяр 

0

t  вя 

т

t  верилярся, (9.64) шяртиндян истифадя 

олунмур. Бурада, яввялдя олдуьу кими щамилтониан  

 

)

,

(

f

)

t

(

H

~

n

1

i

i

i

u

x









. 

2.  Məsələnin  həll  alqoritmi.  Beləliklə  maksimum  prinsipində 

ilkin (9.52)-(9.55) optimal idarəetmə məsələsi aşağıdakı ikinöqtəli 

sərhəd məsələsinə gətirilir. 

      

 

U

)

t

(

u

n

0

i

i

i

max

)

,

(

f

)

t

(

H

~













u

x

. 

(9.65) 

 





































 

         

          

 

       

 

n

,

1

i

,

H

~

dt

d

n

,

0

i

),

,

(

f

H

~

dt

d

i

i

i

i

i

x

x