Интегральная формула Коши

3. Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

3.1. Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки z₀ из области, где функция f(z) голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке z₀, в котором функция f(z) голоморфна, а коэффициенты c_n могут быть вычислены по интегральным формулам:

.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов c_n функций, голоморфных в круге | z − z₀ | < R:

,

где M(r) — максимум модуля функции f(z) на окружности | z − z₀ | = r, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.
Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

получается интегральное представление производных функции f(z):

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области D, если это семейство равномерно ограничено в D. В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области D, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в D к некоторой голоморфной функции равномерно.