Введение в математический анализ

Ajon
В дифференциальном исчислении ряд задач посвящен выяснению понятий дифференцируемости и непрерывности и связи между ними, роли тех или иных условий в теоремах о среднем и т. д.
Несколько своеобразно изложение вопросов о равномерной сходимости последовательностей и рядов (оно основано на поня­тии уклонения функций по Чебышеву).
Опыт показал, что решение задач представляет для начинающих значительные трудности. Поэтому каждый раздел начинается с ре­шения типовых примеров. Мы надеемся, что это окажется полез­ным не только для студентов, но и для начинающих преподавате­лей. Но наряду с примерами, аналогичными решенным в начале раздела, задачник содержит довольно много нетривиальных задач, решение которых потребует выдумки и изобретательности.
Разумеется, не все задачи этого задачника могут быть решены в аудитории и дома. Многие задачи окажутся полезными для круж­ковой работы с наиболее сильными студентами.
Преподаватель найдет в задачнике и обширный материал для контрольных работ.
Некоторые разделы задачника могут быть использованы для курсовых работ.
В данном пособим принята следующая нумерация задач: пер­вые цифры указывают номер задачи, а последняя — номер раздела сборника. Например, 183.1 означает 183 задачу первого раздела пособия.
Мы понимаем, что задачник далек от совершенства и будем весь­ма благодарны за все замечания, направленные на его улучшение.
Авторы выражают искреннюю благодарность профессору И. П. Макарову, профессору С. П. Пулькину, профессору В. И. Ле­вину, доценту Ю. С. Очану за ряд критических замечаний, выска­занных ими в процессе ознакомления с рукописью, а также Л. И. Князевой и Л. М. Аносовой за большую помощь при офор­млении рукописи.
Раздел 1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава 1.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. 
   ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
   

Прим | ।hipi ь inII,. к.и нс hiн и/исследующих бесконечных десятич-
ММ9 о нырни» |- ‘пи i.i, инкие иррациональные, и записать
|1йнн<ж« <• нм» 'ни м <p.i hui.iiiiiu бесконечных десятичных h«pH<< iii'Hii и in a|niiU‘il и ||Лынц|||||‘||||ыв имеем;
М I. (W-%* I

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 5

и) 1,87(9) •« 1,38;
И /i"i 1лчл1,чн> дгся।ii'iii.ihдробь 1,21201200120001.,. непериодическая. В ca- оо ।ui'iH-, нуги. ст период имеет длину п. Гак как сколь угодно далеко от на- и ipooii <1 и, десятичные таки 1 и 2, то эти знаки должны войти и в период. II"< 1<>«н. угодно далеко от начала в дроби встречаются подряд п нулей. Значит, и моя .•одержать цифр 1 и 2. Полученное противоречие показывает,
i.iiiii r.i че, а ।ii'in.oi дробь непериодическая, а потому выражает иррациональ­на ЧИСЛО.
Пример2. Доки 1,нь, чго не существует рационального числа, такого,
1‘ '• hiе и и е. Доказательство проведем от противного. Предположим, суще- Р
<।nv<। рациональное число г, такое, что г — —, где р и q — взаимно простые q
и и\р.1Л1>ные числа, и г² = 3. Возведя в квадрат, получим р² = Зр², откуда сле- .Ц '|. чю р делится на 3, следовательно, р = Зр_Р Отсюда 3pj — q².Но тогда и q д¹'in if,। па 3, а значит, числа р и qне являются взаимно простыми. Наше предпо- дожение привело к противоречию.
Приме р 3. Доказать, что если г—рациональное число, а а—иррациональ- то а Н г иррационально.
I' е ш е н и е. Рассмотрим сумму а + г = р . Предположим, что (3 — рацио­нальное число. Но тогда число а = р — г тоже должно быть рациональным (как |>.| шесть двух рациональны:: чисел), что противоречит условию. Следовательно, р -L- иррациональное число.
Пример 4. Указать какие-нибудь два иррациональных числа, сумма которых рациональна.
Решение. Рассмотрим, например, два иррациональных числа а и (3:
а = 0,1010010001...; р = 0,8989989998... .
Их сумма выражена периодической дробью, следовательно, сумма —рациональное число, хотя сами числа и ирра­циональны.
Пример 5. Доказать, что между двумя различными вещественными числами содержатся как рациональные, так и иррациональные числа.
Решение. Рассмотрим два вещественных положительных числа

Предположим, что . Обозначим через и десятичные приближения чи­сел и по недостатку с точностью до . Так как , то < . При этом найдется такое , что . Но тогда рациональное число больше, чем , но меньше, чем , и подавно меньше, чем , т. е. . Значит, между и лежит хотя бы одно рациональ­
ное число.
Можно показать, что иррациональное число
0,101001000100001...
также лежит между и .
Случаи, когда и отрицательны или имеют разные знаки, рассматри­ваются точно так же.
Пример 6. Доказать, что множество чисел вида
где п пробегает все натуральные значения, ограничено. Найти точные нижнюю и верхнюю грани этого множества.
Решение. Так как при любом натуральном п выполняется условие , то множество чисел ограничено. Покажем, что число
1 является точной верхней гранью этого множества, т. е.


и, во-вторых, для любого найдется такое n, что
Выполнение первого условия вытекает из того, что . Покажем, что
второе условие также выполняется. Решим неравенство
Для этого надо показать, что, во-первых, для любого n справедливо условие
получаем . Итак, наше неравенство имеет решения, а потому не является верхней гранью для , и, значит,
. Точно так же доказывается, что .
Пример 7. Доказать, что множество М чисел вида
ограничено сверху, но ограничено снизу.


Реше и и е. При четном имеем:
Найти inf М.

Если же л нечетно ( ), то имеем:

,
I пи ii iiii ii| I I; | могут принимать сколь угодно большие значения, то
inn H in hi p.iuii'ii'iio сверху. С другой стороны, для любого натураль-
I/.- О п \ ’ О’ ^г‘ ^е'^{миожество}М ограничено снизу, и и ii'iiinil hiнижних граней множества М. Покажем, что число О
i.riiHiii mo-I и ii । р.ни.io, г. e что inf М ■ - 0. В самом деле, пусть е > О
I .. при I.( | I j имеем - “—j <е. Значит, ии одно из чисел вида
।। ни ।in ti । р.ни.in дли /VI Следовательно, inf М = 0.
II и ।।p и II Ulin in'iityio верхнюю и точную нижнюю грани множества
। е ¹¹ \ ।ion.ников, описанных вокруг круга радиуса/?.
I 11рн у ин пи чиедп сторон периметр правильного описан-
।in н и ч I [иному наибольший периметр среди пра-,i. । 11 и и и ।Hi и nei Hinn .пип. |й квадрат. Он равен 8/?. up inn'П.1П.1 \ ¹¹ угольников ограничено ши in in .hi in и 11 мши nyi ОЛЫП1К.1 меньше периметра ।inn.ник.।IIhi.imii। loii.iMii. периметр любого вписан-
ii.i miihi। о i > i и 11 и t< ii tinjnii 11 и on ।к >ii в ।ни ж ini x i раней для множества M.Поэтому о .11 нм ю нижнюю грань. Очевидно, что этой гранью является
'hi pi i iiiii in Hi.ik, sup M 8/?, Inf M = 2л/?.
I I ,/ltn-..i/iiiiio, чго ие существует рационального числа г, такого,

1.1. Мо/кег ли число иметь три различных представления в виде '1<< Я Г11Ч110Й ДроОи?


(>|р<юк прямой /IВ делится точкой Стак, что АВ ( гак на пинаемое «золотое сечение»). Доказать, .■V:in 'tiniiiii'иррационально. Д/f
3 1. Какие числа имеют два различных представления
к. < Я гпчпои лр< и hi '
1>. I. У казать два иррациональных числа, разность которых


два иррациональных числа, произведение которых
р.iiiiioiiajii.ua.
6.1. Указать рационально.


и — иррациональные числа, а + рациональ- числа а — Ри а + 2 Р иррациональны.
7.1. Пусть но. Доказать, что
8.1. Пусть и - иррациональные числа, г — рациональное число. Какие из следующих чисел могут оказаться рациональными:
а) + ; б) + ; в) ; г) д) ) ; е) ; ж) з) ; и) ; к) .
9.1. Докажите, что если для бесконечной десятичной дроби все приближения с избытком, начиная с /его совпадают, то все циф­ры дроби, начиная с некоторой (с какой?), суть девятки.
10.1. Доказать, что число, выраженное бесконечной десятичной дробью 0,10000000010 (единицы стоят на первом, десятом, сотом, тысячном и т. д. местах после запятой, остальные цифры — нули), иррационально. Доказать, что квадрат этого числа тоже иррацио­нален.
11.1. Доказать, что число, выраженное бесконечной десятичной дробью 0,20020000200000020..., иррационально (двойки стоят на первом, четвертом, девятом, шестнадцатом и т. д. местах, осталь­ные цифры — нули).