Введение в математический анализ

12.1. Докажите, что вещественное число 0,12112111211112... иррационально.
13.1. Докажите, что вещественное число 0,12345678910111213... иррационально.
14.1. Существует ли наибольшее число, которое меньше 0,9 и записывается без цифр 8 и 9?
15.1. Существует ли наибольшее число, которое меньше 1 и за­писывается без цифр 7 и 8?
16.1. Существует ли наименьшее иррациональное число, которое больше ?
17.1. Построить наибольшее вещественное число, меныпее 0,9 и не содержащее в десятичной записи цифру 9.
18.1. Выписать десятичные приближения к числу по недос­татку с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и найти разности между числом 2 и квадратом этих приближений. Сделать то же самое с приближе­ниями по избытку.
19.1. Показать, что если является хорошим приближением п.
К , то является еще лучшим приближением, и что т 4- п
ошибки этих двух приближений будут разных знаков. На основе этого утверждения получите четыре приближения к исходя
из приближения . Оцените их точность.

1. 
   Выяснить, какие из нижеследующих числовых множеств ограничены сверху, какие ограничены снизу, какие не ограничены. I 1айти точные верхние и нижние грани для ограниченных множеств.
   

1. 
   Множество рациональных чисел , для которых
   
2. 
   Множество рациональных чисел , для которых
   
3. 
   Множество рациональных чисел , для которых
   

г) Множество иррациональных чисел, лежащих на отрезке [2; 7].
д) Множетио периметров правильных - угольников, вписани в груг радиуса .
е) Множество периметров правильных -угольников, опи- 'iiini.o. покруг круга радиуса
к) Множество площадей -угольников, вписанных вкруг
л) ) Множество объемов многогранников, вписанных в шар радиус
п) Множество объемов правильных многогранников, вписанных и пир радиус
к ) Множество объемов многогранников, описанных вокруг шара
н) Множество (in i'.iaic'iin.।x /|ссягнчпых дробей вида 0, … …и пицц не входит цифра 9.
и) Множество (in i'.iaic'iin.।x /|ссягнчпых дробей вида 0, … …и пицц не входит цифра 8.
е) Множество чисел вида , где и чисел вида
где n пробегает все натуральные значения.
т)Множество состояще из чисел вида

где n пробегает все натуральные значения.


21.1. Приведите пример числового множества M, для которого , но которое не совпадает с отрезком [0;1 ].
22.1. Для каких числовых множеств inf M = sup М ?
2. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
Пример I. Решить неравенство | 2 — Зх | < 1,
Р е ш е н и е. .Это неравенство равносильно двойному неравенству
-1 < 2 — Зх < 1.
Прибавляя к обеим частям -2, будем иметь: -3 < -Зх < -1. Разделни на - 3, получим ответ: .
Приме р 2. Решить неравенство | 4х — 3 | >2.