International research journal

Примеры 
1. Рассмотрим уравнение синхронизуемого синтезатора (8) с нелинейностью вида 
0
( , )
( / 4)
sgn[ ]
g x x
E
x

 
[3]. В 
этом случае 
2
0
2
0
0
0
0
0
1
y
x
/
x
E
)
y
,
x
(
G


, 
2
0
2
0
0
0
0
0
2
y
x
/
y
E
)
y
,
x
(
G


, 
то есть 
2
2
2
1
0
0
2
0
0
0
( ,
)
( ,
)
G x y
G x y
E


и имеет место соотношение (14). Но это значит, что 
0
0
(
,
)
0
V x y


при 
2
2
0
0
x
y

 
, если 
|
|
2 / (
) 1




, 
0
2



, при больших значениях 
2
2
0
0
x
y

итерации отображения входят 
внутрь сечений функции Ляпунова 
0
0
0
(
,
)
V x y
V

, с которых начинают движение, и бесконечность неустойчива. А это 
означает невырожденность приближенной модели при 
|
|
2 / (
) 1




, 
0
2



. 
Аналогичные выводы можно сделать относительно математической модели работы [5]. 
2. Рассмотрим уравнение (8) с нелинейностью вида кубической параболы 
3
( , )
(4 / 3)
(
0)
g x x
x
 
 

[4]. В этом 
случае
)
y
x
(
x
)
y
,
x
(
G
2
0
2
0
0
0
0
1



, 
)
y
x
(
y
)
y
,
x
(
G
2
0
2
0
0
0
0
2



, 
то есть 
2
2
2
2
2 2
1
0
0
2
0
0
0
0
( ,
)
( ,
)
(
)
G x y
G x y
x
y




и имеет место соотношение (15), что означает вырожденность 
математической модели. 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
26 
Если 
,
0
C
y
x
)
y
,
x
(
G
)
y
,
x
(
G
lim
2
0
2
0
0
0
2
2
0
0
2
1
y
x
2
0
2
0







(16) 
то для определения знака 
0
0
(
,
)
V x y

необходимо включить в рассмотрение все члены, не содержащие A, что 
требует дополнительного исследования в каждом конкретном случае. То же относится и к случаю, когда стоящий в 
левой части (14)-(16) предел не существует. 
Рассмотрим два наиболее распространенных случая приближенных точечных отображений, построенных для 
систем вида (9) [3], [11], [17]. 
1. Одним из распространенных случаев является случай, когда 
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
),
(
,
)
(
,
),
G x y
x G x y
G x y
y G x y
 
 
и 
точечное отображение (10)-(11) имеет вид 
],
y
))
y
,
x
(
G
1
(
x
[
x
x
~
0
0
0
0
0






].
A
))
y
,
x
(
G
1
(
y
x
[
y
y
~
0
0
0
0
0







В этом случае 
0
0
(
,
)
V x y

(13) есть 






))
y
,
x
(
G
1
)(
y
x
(
{-2
)
y
,
x
(
V
)
y
~
,
x
~
(
V
)
y
,
x
(
V
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0






2
2
0
2
0
0
)(
y
x
[(
Ay
2





2
2
0
0
A
))
y
,
x
(
G
1
(
)))]}.
y
,
x
(
G
1
(
y
x
(
A
2
0
0
0
0




Заметим, что неравенство 
0
0
(
,
)
0
V x y


можно рассматривать как квадратное неравенство относительно 
0
0
0
0
(
,
) 1
(
,
)
z
z x y
G x y

 
, а именно 
.
0
))
y
x
(
x
A
2
A
(
Ay
2
z
]
Ay
y
x
[
2
z
)
y
x
(
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
















(17) 
Для дискриминанта соответствующего квадратного уравнения имеем выражение 
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
y
)
A
(
)
x
A
2
A
)(
y
x
(
)
(
)
y
x
)(
)
(
1
(
4
/
D











(18) 
В случае D>0 существуют решения 
2
1
z
z

соответствующего (17) квадратного уравнения, и 
0
0
(
,
)
0
V x y


, как 
только 
).
y
,
x
(
z
)
y
,
x
(
z
)
y
,
x
(
z
0
0
2
0
0
0
0
1


(19) 
Поскольку для решения вопроса о неустойчивости бесконечности необходимо и достаточно выполнения оценки 
вида (17) для всех значений 
2
2
0
0
0
x
y



, это, в свою очередь, означает, что дискриминант (18) должен быть 
положительным (т.е. коэффициент перед определяющим членом 
2
2 2
0
0
(
)
x
y

в (18) должен быть больше нуля и 
1/ (
)



). Заметим, что если обозначить через 
2
2
0
0
x
y



, то 
0
]
)
A
(
2
|
|
A
)
(
2
)
)
(
1
(
[
4
/
D
2
2
2












при любом значении 
)
)
(
1
/(
)
)
(
2
A
)
(
|
|
A
(
y
x
2
2
2
0
2
0
2
0














как только 
1/ (
)



. Т.е. при 
0
0
0
(
,
)
V x y


оценка вида (19) есть 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
27 











)
y
,
x
(
z
)
y
x
(
y
A
y
x
x
A
2
A
)
(
1
y
x
Ay
1
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
0




2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
0
)
y
x
(
y
A
y
x
x
A
2
A
)
(
1
y
x
Ay
1














, 
а значит, поскольку 
0
0
0
0
(
,
)
1
(
,
)
z x y
G x y
 
, то 












)
y
,
x
(
G
)
y
x
(
y
A
y
x
x
A
2
A
)
(
1
y
x
Ay
1
1
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
0




,
)
y
x
(
y
A
y
x
x
A
2
A
)
(
1
y
x
Ay
1
1
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
0















Или 
.
)
(
1
1
1
)
y
,
x
(
G
lim
)
y
,
x
(
G
lim
)
(
1
1
1
2
2
0
0
y
x
0
0
y
x
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0






















То есть функция 
0
0
(
,
)
G x y
должна быть предельно ограниченной. В этом случае приближенная модель является 
невырожденной. В противном случае она вырожденная. 
Таким образом, уже по внешнему виду нелинейности можно сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости 
бесконечности в приближенной модели. Так, в случае полиномиальной нелинейности бесконечность в приближенной 
модели будет устойчивой (т.е. модель может быть только условно невырожденной, если у нее может существовать 
устойчивое притягивающее множество в конечной части фазовой плоскости, причем область его притяжения всегда 
является ограниченной). Если же нелинейность является функцией ограниченной по 
0
0
,
x y
то областью 
невырожденности модели является множество 
| |
min{ 2/(
)-1,1/ (
)}
2 / (
) 1







, 
0
2



, при этом в 
конечной части фазового пространства приближенной модели существует притягивающее множество, областью 
притяжения которого является все фазовое пространство. При 
2
2/(
)-1



приближенная модель является 
вырожденной. 
Пример 
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [3], т.е. уравнение вида (8) с нелинейностью 
2
( , )
4
g x x
x x
 
. Это уравнение 
относится к рассмотренному случаю с 
2
2
0
0
0
0
( ,
)
G x y
x
y


. Таким образом, в случае уравнения Ван-дер-Поля 
бесконечность в приближенной модели является устойчивой, что означает вырожденность приближенной модели. 
2. 
Вторым 
из 
наиболее 
распространенных 
случаев 
является 
случай, 
когда 
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
( ,
)
( ,
),
( ,
)
( ,
),
G x y
y G x y
G x y
x G x y


 

и точечное отображение (10)-(11) имеет вид 
))],
y
x
(
G
(
y
x
[
x
x
~
0
0
0
0
0







].
A
y
))
y
,
x
(
G
(
x
[
y
y
~
0
0
0
0
0








В этом случае 
0
0
(
,
)
V x y

(13) есть 








)
y
x
[(
Ay
2
)
y
x
(
{-2
)
y
,
x
(
V
)
y
~
,
x
~
(
V
)
y
,
x
(
V
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0



2
0
0
2
0
2
0
))
y
,
x
(
G
)(
y
x
(









))
y
,
x
(
G
)(
y
x
(
Ax
2
0
0
2
0
2
0
0


[}.
Ay
2
A
0
2


Заметим, что неравенство 
0
0
(
,
)
0
V x y


можно рассматривать как квадратное неравенство относительно 
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
z
z x y
G x y
 

 
, а именно 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
28 
0
)
y
x
(
2
)
y
x
Ay
2
A
(
Ay
2
z
Ax
2
z
)
y
x
(
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
0
2
2
0
2
0













(20) 
Рассуждая, как в предыдущем случае, получим, что бесконечность в приближенной модели будет неустойчива 
только если 
0
2



и 
.
1
2
|
|
1
|
|
)
y
,
x
(
G
lim
)
y
,
x
(
G
lim
1
2
|
|
1
|
|
0
0
y
x
0
0
y
x
2
0
2
0
2
0
2
0
























То есть функция 
0
0
(
,
)
G x y
является предельно ограниченной. В этом случае приближенная модель является 
невырожденной. В противном случае она вырожденная. 
Пример 
Рассмотрим уравнение Дуффинга [16], [17], т.е. уравнение вида (8) с нелинейностью 
3
( , )
(4 / 3)
(
0)
g x x
x
 
 

. 
Это уравнение относится к рассмотренному случаю с 
2
2
0
0
0
0
( ,
)
G x y
x
y


. Таким образом, в случае уравнения Дуффинга 
бесконечность в приближенной модели является устойчивой, что означает вырожденность приближенной модели. 
Полученные результаты полностью подтверждаются результатами исследования поведения траекторий 
приближенных точечных отображений, построенных для систем вида (9) с различными нелинейностями в удаленных 
частях плоскости [16]. 
Существенное различие результатов качественного исследования, полученных асимптотическими методами и 
качественно-численного исследования исходных систем при одном и том же значении малого параметра, определяет 
необходимость развития численных и каких-либо качественных методов построения границ области применимости 
результатов приближенного исследования колебательных систем при заданном малом, но конечном 

[2, С. 210-218], [17].