Inversion almashtirishlar va ular haqida apolloniy pergskiy qarashlari

“PEDAGOGS” 
 international research journal ISSN: 
2181-4027
_SJIF: 
4.995
 
www.pedagoglar.uz
 

Volume-7, Issue-1, April - 2022
 
22 
Ta’rif. O(x
0
,y
0
) markazli r radiusli aylanaga nisbatan inversiya deganda 
tekislikning ixtiyoriy X nuqtasiga OX nurda yotuvchi va OX∙O
𝑋′=r
2 
shartni 
qanoatlantiruvchi 
𝑋′ nuqtani mos keltiruvchi almashtirishni tushunamiz.
O nuqtaning koordinatalari x
0
=y
0
=0 bo`lganida 
(𝑥 − 𝑥
0
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
0
)
2
= 𝑟
2
aylana tenglamasi 
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑟
2
ko`rinishni olib X(x
1
,y
1
) koordinatali nuqtaga 
inversion mos nuqtaning koordinatalari
𝑥
1
𝑥 + 𝑦
1
𝑦 = 𝑟
2
(1) 
tenglamadan topiladi. 
𝑦
1
= 0 bo`lgan holatda, (1) tenglik 𝑥
1
𝑥 = 𝑟
2
ko`rinishni 
oladi. Shuning uchun 
𝑋′ nuqtaning x
2
absissasi
𝑥
1
𝑥
2
= 𝑟
2
(2) 
munosabatdan topiladi. Ushbu formula inversiya ta’rifidagi OX∙O
𝑋′=r
2 
munosabatning xususiy holi sifatida namoyon bo`ladi.
Biz (x,y) koordinatali nuqtani 
𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ kabi radius-vektor ko`rinishida 
ifodalasak, yuqoridagi aylana tenglamalari vektor formada
(𝑧⃗ − 𝑧
0
⃗⃗⃗⃗)
2
= 𝑟
2
, 
(3) 
𝑧⃗
2
= 𝑟
2
, 
(4) 
ko`rinishida yoziladi. Ushbu tengliklarning chap taraflari vektorlarning skalyar 
kvadrati.
Biz 
𝑂𝑋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ va 𝑂𝑋′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlarni mos ravishda 𝑧⃗ va 𝑧′
⃗⃗⃗ deb belgilasak, (4) aylanaga 
nisbatan inversiya vektor formada hosil qilinadi 
𝑧⃗
′
= 𝑧⃗ 𝑟
2
/𝑧⃗
2
. 
(5) 
(5) inversiyada (4) aylanada yotuvchi nuqtalar qo`zg`almas bo`lib o`z-o`zida 
qoladi. Aylana markazi cheksiz uzoqlikdagi nuqtaga akslanadi. (5) formula 
yordamida ikki chiziq orasidagi burchakni saqlanishini osongina ko`rish mumkin. 
Apolloniy aylanaga nisbatan inversiyani o`zining “Konus kesimlari” asarida 
I
37
jumla orqali bayon qiladi [1]. Giperbola, ellips yoki aylanaga o`tkazilgan urinma 
diametr bilan kesishadi, urinish nuqtasidan bu diametrga ordinata o`tkazilsa u holda 
bu chiziq diametrda markazgacha va diametr hamda urinma kesishgan nuqtasidan 

---