M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

1 ga teng X to`plam o`lchovlari 0 ga teng bir nuqtali to`plamlar yig`indisida

saqlanadi, ammo II

σ

tasdiq bajarilmaydi. Bundan tashqari shunga ishonch

hosil qilish mumkinki, II

σ

xossa umuman olganda σ− additivlik xossasiga

teng kuchli. Haqiqatan ham, S yarim halqada aniqlangan biror µ o`lchov

berilgan bo`lsin. A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

sanoqli sondagi to`plamlar S dan olin-

gan bo`lib, A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

to`plamlar o`zaro kesishmasin va A =

∞

S

k=1

A

k

77

tenglik bajarilsin. U holda har qanday o`lchov I

σ

xossaga ega bo`lganligi

sababli

∞

X

n=1

µ(A

n

) ≤ µ(A)

tengsizlik bajariladi. Bundan tashqari, agar µ o`lchov II

σ

xossaga ham ega

bo`lsa, u holda (chunki A

k

lar A ni qoplaydi)

∞

X

n=1

µ(A

n

) ≥ µ(A)

tengsizlik ham bajariladi. Shuning uchun

∞

X

n=1

µ(A

n

) = µ(A)

tenglik o`rinli. Demak, o`lchovning sanoqli yarim additivligi uning σ− addi-

tivligini ta'minlar ekan.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

[0, 1]

kesmadagi barcha irratsional sonlar to`plamini X bilan belgi-

laymiz. S

m

orqali X ning (a, b) interval, [a, b] kesma va [a, b) ,

(a, b]

yarim intervallar bilan kesishmalaridan hosil bo`lgan to`plamlar

sistemasini belgilaymiz. Agar A

ab

= X

T

(a, b) (

T

[a, b],

T

(a, b],

T

[a, b))

desak, har bir A

ab

to`plamga m(A

ab

) = b − a

sonni mos qo`yamiz. Bu

to`plam funksiyasi m σ− additiv o`lchov bo`ladimi?

2.

Har bir A ⊂ R to`plamga

m(A) =

X

n∈N

T

A

1

2

n

sonni mos qo`yamiz. m to`plam funksiyasi o`lchov bo`lishini ko`rsating.

A = (−∞, 0)

va B = [1, 4] to`plamlarning o`lchovlarini toping.

3.

2-misolda aniqlangan m o`lchov σ− additiv o`lchov bo`ladimi?

78

8- §. O`lchovning Lebeg bo`yicha davomi

8.1. Birli (birlik elementli) yarim halqada aniqlangan o`lchovning

Lebeg bo`yicha davomi. Agar S

m

yarim halqada aniqlangan m o`lchov

additivlik xossasiga ega bo`lib, ammo σ− additiv bo`lmasa, u holda m ning

S

m

dan M(S

m

)

ga davomi bilan o`lchovni davom ettirish jarayoni tugaydi,

ya'ni m o`lchovni M(S

m

)

dan kengroq sinfga davom ettirib bo`lmaydi. Agar

S

m

da aniqlangan m o`lchov σ− additiv bo`lsa, u holda m ni S

m

dan

M(S

m

)

ga nisbatan kengroq bo`lgan va qandaydir ma'noda maksimal sinf-

ga davom ettirish mumkin. Buni Lebeg bo`yicha davom ettirish yordamida

amalga oshirish mumkin. Bu bandda birli yarim halqada berilgan o`lchovni

Lebeg bo`yicha davom ettirish masalasini qaraymiz, umumiy holni esa kelgusi

bandda qaraymiz.

Bizga biror S

m

birli yarim halqada aniqlangan σ− additiv m o`lchov beril-

gan bo`lsin va E to`plam S

m

yarim halqaning biri bo`lsin. E ning barcha

qism to`plamlaridan tashkil topgan A(E) sistemada tashqi o`lchov deb ataluv-

chi µ

∗

funksiyani quyidagicha aniqlaymiz.

8.1-ta'rif. Ixtiyoriy A ⊂ E to`plam uchun

µ

∗

(A) = inf

X

n

m(B

n

)

(8.1)

son A to`plamning tashqi o`lchovi deb ataladi. Bu yerda aniq quyi chegara

A

to`plamni qoplovchi barcha chekli yoki sanoqli {B

n

} , B

n

∈ S

m

to`plamlar

sistemasi bo`yicha olinadi.

8.1-teorema (Sanoqli yarim additivlik). Agar A va sanoqlita A

1

, A

2

, . . . ,

A

n

, . . .

to`plamlar uchun A ⊂

∞

S

n=1

A

n

bo`lsa, u holda quyidagi tengsizlik

o`rinli

µ

∗

(A) ≤

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

).

79

Bu teorema tasdig`ining isboti 6.3-teorema tasdig`i isbotiga (aynan) o`xshash

amalga oshiriladi.

8.2-ta'rif. Agar A ⊂ E to`plam va istalgan ε > 0 uchun shunday B ∈

M(S

m

)

to`plam mavjud bo`lib,

µ

∗

(A∆B) < ε

tengsizlik bajarilsa, A (Lebeg bo`yicha) o`lchovli to`plam deyiladi.

Faqat o`lchovli to`plamlar sinda aniqlangan µ

∗

funksiya Lebeg o`lchovi

deb ataladi va u µ har bilan belgilanadi. Ravshanki, S

m

va M(S

m

)

dan

olingan to`plamlar o`lchovli bo`ladi. Bunda, agar A ∈ S

m

va B ∈ M(S

m

)

bo`lsa, u holda

µ(A) = m(A),

µ(B) = m

0

(B).

Agar A o`lchovli to`plam va µ

∗

(A∆B) < ε

tengsizlikni qanoatlantiruvchi

B ∈ M(S

m

)

to`plam berilgan bo`lsa,

A∆B = (E\A)∆(E\B)

tenglikdan A ning to`ldiruvchi to`plami E\A ning ham o`lchovli ekanligi kelib

chiqadi.

8.2-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) halqa bo`ladi.

Isbot. Ixtiyoriy A

1

va A

2

to`plamlar uchun

A

1

∩ A

2

= A

1

\(A

1

\A

2

)

(8.2)

va

A

1

∪ A

2

= E\[(E\A

1

) ∩ (E\A

2

)]

(8.3)

tengliklar o`rinli bo`lgani uchun quyidagini isbotlash yetarli. Agar A

1

∈ U(E),

A

2

∈ U(E)

bo`lsa, u holda A = A

1

\A

2

∈ U(E)

bo`ladi, ya'ni o`lchovli

to`plamlarning ayirmasi o`lchovlidir. Haqiqatan ham, A

1

va A

2

o`lchovli to`p-

lamlar uchun shunday B

1

∈ M(S

m

)

va B

2

∈ M(S

m

)

to`plamlar mavjudki,

µ

∗

(A

1

∆B

1

) <

ε

2

va

µ

∗

(A

2

∆B

2

) <

ε

2

80

tengsizliklar o`rinli bo`ladi. B = B

1

\B

2

∈ M(S

m

)

bo`lganligi uchun

(A

1

\A

2

)∆(B

1

\B

2

) ⊂ (A

1

∆B

1

) ∪ (A

2

∆B

2

)

munosabatdan foydalanib, µ

∗

(A∆B) < ε

tengsizlikni olamiz. Demak, A

1

\A

2

∈

U(E)

u holda (8.2) va (8.3) munosabatlardan A

1

T

A

2

∈ U(E)

va A

1

S

A

2

∈

U(E)

ekanligini olamiz. A

1

va A

2

to`plamlarning simmetrik ayirmasining

o`lchovli ekanligi

A

1

∆A

2

= (A

1

\A

2

) ∪ (A

2

\A

1

)

tenglikdan kelib chiqadi.

∆

8.1-eslatma. S

m

ning birlik elementi - E o`lchovli to`plamlar sistemasi

U(E)

uchun ham birlik eliment bo`ladi, shuning uchun o`lchovli to`plamlar

sistemasi U(E) algebra tashkil qiladi.

8.3-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da aniqlangan µ to`p-

lam funksiyasi addituvdir.

Bu teoremaning isboti 6.6-teorema isbotini so`zma-so`z takrorlash bilan

amalga oshiriladi.

8.4-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da aniqlangan µ to`p-

lam funksiyasi σ− addituvdir.

Isbot. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) dan olingan A va juft-jufti

bilan o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

to`plamlar uchun A =

∞

S

n=1

A

n

bo`lsin. 8.1- teoremaga ko`ra,

µ

∗

(A) ≤

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

) =⇒ µ(A) ≤

∞

X

n=1

µ(A

n

)

(8.4)

tengsizlik o`rinli. 8.3-teoremaga ko`ra, har bir n da

µ(A) ≥ µ(

n

∪

k=1

A

k

) =

n

X

k=1

µ(A

k

)

(8.5)

tengsizlikni olamiz. (8.5) da n → ∞ da limitga o`tib,

µ(A) ≥

∞

X

n=1

µ(A

n

)

(8.6)

81

ga ega bo`lamiz. (8.5) va (8.6) lardan teorema tasdig`i kelib chiqadi.

∆

8.5-teorema. Lebeg bo`yicha o`lchovli bo`lgan barcha to`plamlar sestemasi

U(E)

, E birlik elimentli σ− algebradir.

Isbot. 6.7-teorema isbotini so`zma-so`z takrorlash yordamida sanoqlita

A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . . ∈ U(E)

to`plamlar uchun A =

∞

S

n=1

A

n

∈ U(E)

ekanligini

isbotlash mumkin. Ikkinchi tomondan,

∞

\

n=1

A

n

= E\

∞

[

n=1

(E\A

n

)

tenglikka ko`ra,

∞

T

n=1

A

n

∈ U(E)

ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

∆

Tekislikdagi to`plamlarning Lebeg o`lchovi xossalariga o`xshash, o`lchovning

σ−

additivlik xossasidan uning uzluksizlik xossasi kelib chiqadi.

Ya'ni, A

1

⊃ A

2

⊃ . . . ⊃ A

n

⊃ . . .

o`lchovli to`plamlar ketma-ketligi uchun

A =

∞

T

n=1

A

n

bo`lsa, u holda

µ(A) = lim

n→∞

µ(A

n

)

bo`ladi. Xuddi shuningdek, agar biror o`lchovli to`plamlarning A

1

⊂ A

2

⊂

. . . ⊂ A

n

⊂ . . .

ketma-ketligi uchun A =

∞

S

n=1

A

n

bo`lsa, u holda

µ(A) = lim

n→∞

µ(A

n

)

tenglik o`rinli.

Shunday qilib, biz ko`rsatdikki, agar birlik elimentli S

m

yarim halqada

σ−

addituv m o`lchov berilgan bo`lsa, bu o`lchovni Lebeg bo`yicha davom

ettirish natijasida U(E) , σ− algebrada aniqlangan σ− addituv µ o`lchov

hosil bo`ladi.

8.3-ta'rif. O`lchovli to`plamlar sestemasi U(E) da aniqlangan va U(E)

da tashqi o`lchov µ

∗

bilan ustma-ust tushuvchi µ = L(m) funksiya m o`l-

chovning Lebeg davomi deyiladi.

82

8.2. Birlik elementga ega bo`lmagan yarim halqada berilgan o`l-

chovni davom ettirish. Agar m o`lchov birlik elimentga ega bo`lmagan S

m

yarim halqada aniqlangan bo`lsa, u holda avvalgi banddagi o`lchovni Lebeg

bo`yicha davom ettirish jarayonida ba'zi o`zgarishlar sodir bo`ladi. Aniqrog`i,

µ

∗

tashqi o`lchov chekli

P

n

m(B

n

)

yig`indiga ega bo`lgan

S

n

B

n

∈ S

m

qop-

lamasi mavjud bo`lgan A to`plamlar uchun aniqlanadi. To`plam o`lchovliligi

ta'ri o`zgarishsiz qoladi. 8.2-8.4-teoremalar va 8.3-ta'rif o`z kuchini saqlab

qoladi. Yarim halqada birlik elementning mavjudligidan 8.2-teorema isbotida

foydalanilgan. Umumiy holda ham 8.2-teoremani isbotlash mumkin. Buning

uchun A

1

, A

2

∈ U(E)

dan A

1

S

A

2

∈ U(E)

kelib chiqishini birlik elementga

bog`liqsiz ravishda ko`rsatish kerak. Bu tasdiq

(A

1

∪ A

2

)∆(B

1

∪ B

2

) ⊂ (A

1

∆B

1

) ∪ (A

2

∆B

2

)

munosabatdan kelib chiqadi. S

m

yarim halqada birlik element mavjud bo`l-

magan holda 8.5-teorema quyidagi teoremaga almashtiriladi.

8.6-teorema. Istalgan boshlang`ich m o`lchov uchun Lebeg bo`yicha o`l-

chovli to`plamlar sistemasi U(E) δ− halqa bo`ladi. Sanoqli sondagi o`lchovli

A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

to`plamlar birlashmasi bo`lgan A =

∞

S

n=1

A

n

to`plamning

o`lchovli bo`lishi uchun µ

µ

n

S

k=1

A

k

¶

miqdorning n ga bog`liqsiz o`zgarmas

bilan chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli.

Isbot. Yetarliligi. O`lchovli to`plamlarning A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

sanoqli sis-

temasi berilgan bo`lib,

sup

n≥1

µ

Ã

n

[

k=1

A

k

!

= K < ∞

bo`lsin. Yangi

A

0

1

= A

1

, A

0

2

= A

2

\A

1

, A

0

3

= A

3

\(A

1

[

A

2

), . . . , A

0

n

= A

n

\

n−1

[

k=1

A

k

, . . .

83

o`lchovli to`plamlar ketma-ketligini tuzamiz. Tuzilishiga ko`ra, A

0

1

, A

0

2

, . . . ,

A

0

n

, . . .

to`plamlar o`zaro kesishmaydi. Bundan tashqari, istalgan n da

n

S

k=1

A

0

k

=

n

S

k=1

A

k

tenglik o`rinli. Bundan tashqari

sup

n

µ

Ã

n

[

k=1

A

k

!

= sup

n

µ

Ã

n

[

k=1

A

0

k

!

= sup

n

n

X

k=1

µ(A

0

k

) ≤

∞

X

k=1

µ(A

0

k

) ≤ K

shart bajariladi. Demak, istalgan ε > 0 son uchun shunday n ∈ N mavjudki,

µ

Ã

∞

[

k=n+1

A

0

k

!

≤

∞

X

k=n+1

µ(A

0

k

) <

ε

2

tengsizlik o`rinli bo`ladi. C =

n

S

k=1

A

0

k

to`plam o`lchovli bo`lgani uchun, shun-

day B ∈ S

m

to`plam mavjud bo`lib, µ

∗

(C∆B) <

ε

2

tengsizlik bajariladi.

A ∆ B ⊂ (C ∆ B)

[

Ã

∞

[

k=n+1

A

0

k

!

munosabatdan foydalansak, µ

∗

(A∆B) < ε

tengsizlikni olamiz. Demak, A

o`lchovli to`plam ekan.

Zaruriyligi. Aytaylik sanoqlita A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

o`lchovli to`plamlar uchun

A =

∞

S

n=1

A

n

to`plam o`lchovli bo`lsin va µ(A) chekli bo`lsin. U holda istal-

gan n ∈ N uchun

n

S

k=1

A

k

⊂ A

munosabatdan va

n

S

k=1

A

k

o`lchovli to`plam

bo`lgani uchun

µ

Ã

n

[

k=1

A

k

!

≤ µ(A)

⇐⇒

sup

n

µ

Ã

n

[

k=1

A

k

!

≤ µ(A) < ∞.

∆

8.1-natija. O`lchovli to`plamlar sin U(E) va A ∈ U(E) to`plam beril-

gan bo`lsin. A to`plamning barcha B ∈ U(E) qism to`plamlaridan tuzilgan

B(U(A))

sistema σ− algebra bo`ladi.

Masalan, agar U(R) sonlar o`qidagi Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlar

sin va A = [a, b] ixtitoriy kesma bo`lsa, u holda [a, b] kesmada saqlanuvchi

o`lchovli to`plamlar sistemasi σ− algebra tashkil qiladi.

84

Lebeg o`lchovining yana bir xossasini keltiramiz.

8.4-ta'rif. Agar µ(A) = 0 va A

0