M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA'LIM VAZIRLIGI

J.I.ABDULLAYEV, R.N.G`ANIXO`JAYEV,

M.H.SHERMATOV, O.I.EGAMBERDIYEV

FUNKSIONAL ANALIZ VA

INTEGRAL TENGLAMALAR

O`zbekiston Respublikasi Oliy va o`rta maxsus ta'lim vazirligi

universitetlarning mexanika yo`nalishi bo`yicha ta'lim olayotgan

talabalar uchun darslik sifatida tasdiqlagan

TOSHKENT

EL PRESS  2013

1

ÓÄÊ:51(075)

ÊÂÊ 22.16

A-15

J.I.Abdullayev, R.N.G`anixo`jayev, M.H.Shermatov, O.I.Egamberdiyev

"Funksional analiz va integral tenglamalar"

Universitetlarning zika-matematika fakulteti talabalari uchun darslik.

Toshkent. "EL PRESS", 2013. 458 b.

Ushbu darslik universitetlarning "Mexanika" ta'lim yo`nalishi talabalari uchun mo`ljallangan

bo`lib unda "Funksional analiz va integral tenglamalar" kursi to`la qamrab olingan. Undan shu-

ningdek universitetlarning "Matematika" ta'lim yo`nalishi talabalari ham foydalanishlari mumkin.

Darslikni yozishda mualliar mazkur fanni bir necha yillar davomida o`qitib orttirgan tajribalari-

dan foydalanganlar.

Íàñòîÿùèé ó÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ óíèâåðñèòåòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâ-

ëåíèþ îáðàçîâàíèÿ "Ìåõàíèêà" è ñoäåðæèò â ñåáå ïîëíûé êóðñ, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîãðàììå

"Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ". Èì ìîãóò ïîëüçîâàòüñÿ òàêæå ñòóäåí-

òû óíèâåðñèòåòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ "Ìåòåìàòèêà". Ïðè íàïèñàíèå ó÷åáíèêà

àâòîðû èñïîëüçîâàëè îïûòü íàêîïëåííûé ïðè ÷òåíèè íàñòîÿùåãî êóðñà.

This textbook designated to university students whose major is "Mechanics". And it contains

a full course which corresponds to the program "Functional analysis and integral equations".

Textbook may be used by students whose major is "Mathematics" as well. The authors used

experience gained from reading the the course while writing this textbook.

ÓÄÊ:51(075)

ÊÂÊ 22.16 óà 73

Mas'ul muharrir:

Muminov Muxiddin Eshqobilovich, Fizika-matematika fanlari nomzodi.

Taqrizchilar:

Zokirov Botir Sobitovich, Fizika-matematika fanlari doktori.

Ikromov Isroil Akramovich, Fizika-matematika fanlari doktori, prof.

Mo`minov Qobiljon Qodirovich, Fizika-matematika fanlari doktori, prof.

ISBN 978-9943-14-245-9

c

°

EL PRESS, 2013

2

Mundarija

Kirish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I bob. To`plamlar nazariyasining elementlari . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1-Ÿ. To`plamlar ustida amallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2-Ÿ. Akslantirishlar. To`plamlarni sinarga ajratish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3-Ÿ. Ekvivalent to`plamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4-Ÿ. Haqiqiy sonlar to`plamining sanoqsizligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5-Ÿ. To`plamlar sistemalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II bob. O`lchovli to`plamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6-Ÿ. Tekislikdagi to`plamning o`lchovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7-Ÿ. O`lchovning umumiy tushunchasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8-Ÿ. O`lchovning Lebeg bo`yicha davomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

III bob. O`lchovli funksiyalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9-Ÿ. O`lchovli funksiyalar va ular ustida amallar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

10-Ÿ. O`lchovli funksiyalar ketma-ketliklarining yaqinlashishlari . . . . . . . . 93

IV bob. Lebeg integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11-Ÿ. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12-Ÿ. Lebeg integralining xossalari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

13-Ÿ. Lebeg integrali belgisi ostida limitga o`tish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

14-Ÿ. Cheksiz o`lchovli to`plam bo`yicha olingan Lebeg integrali . . . . . . 131

V bob. Lebegning aniqmas integrali va uni dierensiallash . 134

15-Ÿ. Monoton funksiyalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

16-Ÿ. O`zgarishi chegaralangan funksiyalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

17-Ÿ. Absolyut uzluksiz funksiyalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

18-Ÿ. Lebeg-Stiltes integrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

VI bob. Metrik fazolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

19-Ÿ. Metrik fazolar va ularga misollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3

20-Ÿ. Metrik fazoda yaqinlashishlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

21-Ÿ. To`la metrik fazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

22-Ÿ. Qisqartirib aks ettirish prinsipi va uning tadbiqlari . . . . . . . . . . . . . 217

VII bob. Chiziqli fazolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

23-Ÿ. Chiziqli fazolar va ularga misollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

24-Ÿ. Chiziqli funksionallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

25-Ÿ. Qavariq to`plamlar va qavariq funksionallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

26-Ÿ. Chiziqli normalangan fazolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

27-Ÿ. Evklid fazolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

28-Ÿ. Hilbert fazolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

VIII bob. Chiziqli operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

29-Ÿ. Chiziqli uzluksiz operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

30-Ÿ. Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

31-Ÿ. Chiziqli uzluksiz operatorlar fazolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322

32-Ÿ. Teskari operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

33-Ÿ. Qo`shma operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

34-Ÿ. Chiziqli operator spektri va rezolventasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

IX bob. Kompakt operatorlar va integral tenglamalar . . . . . . 370

35-Ÿ. Kompakt operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372

36-Ÿ. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

37-Ÿ. Chiziqli integral tenglamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

38-Ÿ. Fredholm teoremasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

39-Ÿ. Ketma-ket o`rniga qo`yish va ketma-ket yaqinlashishlar usuli . . . 418

40-Ÿ. Integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechish . . . . . . . . . . . . 431

Foydalanilgan adabiyotlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Asosiy belgilashlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453

Predmet ko`rsatkichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

4

Kirish

Funksional analiz - matematik analiz, geometriya va chiziqli algebraning

g`oya va usullarini cheksiz o`lchamli fazolar uchun umumlashtiruvchi fan hisob-

lanadi. Hozirgi kunda funksional analizning g`oya, konsepsiya, usul va tushun-

chalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. So`nggi yil-

larda dierensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning

talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli bo`lmagan

tarmog`i paydo bo`ldi. Zamonaviy matematikaning bu yo`nalishi amaliyotchi-

lar va muhandislarning o`sib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi.

Ushbu darslik Funksional analiz va integral tenglamalar fanidan namu-

naviy ishchi dasturga moslab tuzilgan. Darslik universitetlarning mexanika

va matematika bakalavriyat yo`nalishlari bo`yicha ta'lim olayotgan talabalari

uchun mo`ljallab yozilgan.

Darslikning asosiy maqsadi bo`lg`usi mutaxassislarni funksional analizning

asosiy tushunchalari va usullari bilan tanishtirish, funksional analizning asosiy

boblari bo`yicha nazariy bilimlarini shakllantirish, masalalar yechishda malaka

va ko`nikmalar hosil qilish, hamda ularda integral tenglamalar bilan ishlash

mahoratini paydo qilishdan iborat.

Darslikni o`qish jarayonida talabalar o`zlarining matematik analiz, chiziqli

algebra va geometriyadan olgan bilimlarini to`ldiradilar, hamda ularni funk-

sional fazolarga moslab qo`llaydilar, ya'ni mustahkamlaydilar. Talabalar chi-

ziqli funksional va operator tushunchalari bilan tanishadilar va ularning asosiy

xossalarini o`rganadilar. Cheksiz o`lchamli funksional fazolarni o`rganish jara-

yonida o`quvchilar funksional analizning kuchli va nozik usullarini tushunishga

biroz qiynaladilar, lekin tushunib yetganlaridan keyin o`zlarida ilmga undovchi

qandaydir ichki kuch sezadilar. Bu kuch ta'siri ularda cheksiz o`lchamli fazo-

larda har qanday fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lavermasligi va

5

birlik sharning kompakt bo`lmasligini tushunib yetganlarida namoyon bo`ladi.

Ushbu darslik O`zMU va SamDUda Funksional analiz hamda Funksional

analiz va integral tenglamalar fanidan ma'ruza va amaliy mashg`ulotlar olib

boruvchi professor-o`qituvchilarning ko`p yillik ish tajribalari asosida yozilgan.

Darslik 9 bob va 40 paragrafdan iborat. Har bir paragraf uchun ta'rif, teo-

rema, lemma va formulalar alohida nomerlangan. Masalan, 2.3-teorema bu

2-paragrafdagi 3-nomerli teorema degani. (1.8) belgilash esa 1-paragrafdagi

8-raqamli formula ekanligini anglatadi. ∆ − belgisi teorema, lemma yoki tas-

diq isboti tugaganligini bildiradi. Har paragraf oxirida mustaqil ishlash uchun

savol va topshiriqlar berilgan.

Ushbu darslikda keltirilgan nazariy ma'lumotlar fan bo`yicha namunaviy

va ishchi dasturda ko`rsatilgan mavzularni to`liq qamraydi va u professor-

o`qituvchilarga o`zlarining ma'ruza matnlarini tuzishda yordam beradi. Unda

tipik misollar namuna sifatida yechib ko`rsatilgan. Har paragraf oxirida kelti-

rilgan mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlarni yechib o`rgangan talabalar

o`zlarida yetarli darajada bilim va ko`nikmalar hosil qiladi. Tajribalarimiz-

dan kelib chiqib aytishimiz mumkinki, bu kitob yosh mutaxassislarga funksio-

nal analiz va integral tenglamalar fanidan mashg`ulotlar olib borishida katta

yordam beradi. Darslik matematik tahlil va matematik zika mutaxassisligi

bo`yicha ta'lim olayotgan magistrantlar va aspirantlar uchun ham foydalidir.

Mualliar darslikni yaxshilashda bergan foydali maslahatlari uchun taqriz-

chilar B.S. Zokirov, I.A. Ikromov, Q.Q. Mo`minovlarga, mas'ul muharrir M.E.

Muminov, matnni tahrir qilish uchun bergan yordamlari uchun B.E. Davranov

va I.N. Bozorovlarga o`z minnatdorchiliklarini bildiradi. Darslik birinchi mar-

ta chop qilinayotgani uchun xato va kamchiliklar bo`lishi mumkin. Xato va

kamchiliklar to`g`risidagi krlaringizni [e-mail] elektron adresiga

jo`natishlaringizni so`raymiz.

6

I bob. To`plamlar nazariyasining elementlari

Bu bob to`plamlar nazariyasining elementlariga bag`ishlangan bo`lib, u besh

paragrafdan iborat. 1-paragrafda to`plamlar va ular ustida amallar keltirilgan.

Bu amallarning sodda xossalari o`rganilgan. Ikkilik munosabatlari isbotlangan.

2-paragraf akslantirishlar va to`plamlarni sinarga ajratishga bag`ishlangan.

Akslantirishda to`plamlar birlashmasining (kesishmasining) asli ular aslilari

birlashmasiga (kesishmasiga) tengligi haqidagi teorema isbotlangan. Xuddi

shunday to`plamlar birlashmasining tasviri ular tasvirlari birlashmasiga teng-

ligi isbotlangan. To`plamlar kesishmasi uchun bu xil tasdiq o`rinli bo`lmasligiga

misol keltirilgan. To`plamlarni sinarga ajratish bilan akslantirishlar o`rtasidagi

bog`lanish ochib berilgan. 3-paragrafda sanoqli to`plamlar va ularning asosiy

xossalari o`rganilgan. Chekli yoki sanoqli sondagi sanoqli to`plamlarning bir-

lashmasi yana sanoqli bo`lishi isbotlangan. Sanoqli to`plamlarga ko`plab misol-

lar keltirilgan. 4-paragrafda haqiqiy sonlar to`plamining sanoqsizligi ko`rsatilib,

kontinuum quvvatli to`plamlarning ayrim xossalari o`rganilgan. To`plamlar

ekvivalentligi haqidagi asosiy teoremalardan biri Kantor-Bernshteyn teore-

masi isbotlangan. Oxirgi 5-paragraf to`plamlar sistemalariga bag`ishlangan.

To`plamlar halqasi, to`plamlar yarim halqasi ta'ri, misollar keltirilgan, ular-

ning ayrim xossalari isbotlangan. σ− algebra va δ− algebra tushunchalari

kiritilib, bu tushunchalarning teng kuchli ekanligi ko`rsatilgan. Har paragraf

oxirida mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar berilgan. Bu bob kelgusi

boblarga tayyorlov vazifasini o`taydi.

1- §. To`plamlar ustida amallar

Matematikada juda xilma-xil to`plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar

to`plami, tekislikdagi ko`pburchaklar to`plami, ratsional koetsiyentli ko`phad-

lar to`plami va hokazo. To`plam tushunchasi matematikada tayanch tushun-

7

chalardan bo`lib, unga ta'rif berilmaydi. "To`plam" so`zining sinonimlari sifati-

da "ob'ektlar majmuasi" yoki "elementlar jamlanmasi" so`z birikmalaridan

foydalaniladi.

To`plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o`ringa

ega. Biz uning ayrim xossalarini o`rganish bilan cheklanamiz.

To`plamlarni lotin alifbosining bosh harari A, B, . . . , ularning element-

larini esa kichik - a, b, . . . harar bilan belgilaymiz. a element A to`plamga

tegishli iborasi a ∈ A shaklda yoziladi. a /∈ A yozuv esa a element A

to`plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to`plamning barcha element-

lari B to`plamning ham elementlari bo`lsa, u holda A to`plam B to`plamning

qismi deb ataladi va A ⊂ B ko`rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar

to`plami haqiqiy sonlar to`plamining qismi bo`ladi. A va B to`plamlar bir xil

elementlardan tashkil topgan bo`lsa, ular teng to`plamlar deyiladi va A = B

shaklda belgilanadi. Ko`pincha, to`plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B

va B ⊂ A munosabatlarning bajarilishi ko`rsatiladi ([1] ga qarang). Ba'zida

birorta ham elementi mavjud bo`lmagan to`plamlarni qarashga to`g`ri keladi.

Masalan, x

2

+ 1 = 0

tenglamaning haqiqiy yechimlari to`plami, 2 ≤ x < 2

qo`sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to`plami va hokazo. Bun-

day to`plamlar uchun maxsus bo`sh to`plam nomi berilgan va uni belgalash-

da ∅ simvoldan foydalaniladi. Ma'lumki, har qanday to`plam bo`sh to`plamni

o`zida saqlaydi va har qanday to`plam o`zining qismi sifatida qaralishi mumkin.

To`plamlarning bo`sh to`plamdan va o`zidan farqli barcha qism to`plamlari xos

qism to`plamlar deyiladi.

1.1. To`plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy A va B to`plamlar berilgan

bo`lsin. Agar C to`plam faqatgina A va B to`plam elementlaridan iborat

bo`lsa, u holda C to`plam A va B to`plamlarning yig`indisi yoki birlashmasi

deyiladi va C = A ∪ B shaklda belgilanadi (1.1-chizma).

8

Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi A

α

to`plamlarning yig`indisi ham

shunga o`xshash aniqlanadi: A

α

to`plamlarning kamida biriga tegishli bo`lgan

barcha elementlar to`plami bu to`plamlarning yig`indisi deyiladi va bu muno-

sabat ∪

α

A

α

shaklda belgilanadi.

Endi A va B to`plamlar kesishmasini ta'riaymiz. A va B to`plamlarning

umumiy elementlaridan tashkil topgan to`plam ularning kesishmasi deyiladi

(1.2-chizma) va A ∩ B shaklda belgilanadi.

1.1-chizma

1.2-chizma

Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to`plamlarning kesishmasi −

T

α

A

α

deb, A

α

to`plamlarning barchasiga tegishli bo`lgan elementlar to`plami tushu-

niladi.

To`plamlar yig`indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko`ra kommutativ va as-

sotsiativdir, ya'ni

A ∪ B = B ∪ A,

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

A ∩ B = B ∩ A,

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Bundan tashqari, ular o`zaro distributivlik qonunlari bilan bog`langan

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),

(1.1)

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

(1.2)

Biz (1.1) va (1.2) tengliklarning isboti murakkab bo`lmaganligi uchun ularni

o`quvchiga havola qilamiz.

9

Endi A va B to`plamlar ayirmasini ta'riaymiz. A va B to`plamlar ayir-

masi deb A to`plamning B to`plamga tegishli bo`lmagan barcha elementla-

ridan iborat to`plamga aytiladi va A\B shaklda belgilanadi (1.3-chizma).

Ba'zan (masalan o`lchovlar nazariyasida), A va B to`plamlarning sim-

metrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga muvoq bo`ladi. A\B va

B\A

to`plamlarning birlashmasidan iborat to`plamga A va B to`plamlarning

simmetrik ayirmasi deyiladi va A∆B shaklda belgilanadi, ya'ni A∆B =

(A\B) ∪ (B\A)

(1.4-chizma).

Ko`p hollarda qandaydir universal E to`plamning qism to`plamlari qarala-

di. Masalan, E tekislik, A tekislikdagi biror to`plam bo`lsin. Bu holda E\A

ayirma A to`plamning to`ldiruvchi to`plami deyiladi va A

0

yoki CA shaklda

belgilanadi (1.5-chizmaga qarang).

1.3-chizma

1.4-chizma

1.5-chizma

To`plamlar nazariyasi va uning tadbiqlarida muhim o`rin tutadigan ikkilik

prinsipi deb nomlanuvchi quyidagi ikki munosabatni keltiramiz:

1.1. Yig`indining to`ldiruvchisi to`ldiruvchilar kesishmasiga teng:

E\

[

α

A

α

=

\

α

(E\A

α

).

(1.3)

1.2. Kesishmaning to`ldiruvchisi to`ldiruvchilar yig`indisiga teng:

E\

\

α

A

α

=

[

α

(E\A

α

).

(1.4)

Ikkilik prinsipi shundan iboratki ixtiyoriy tenglikdan, agar bu tenglik qan-

daydir universal E to`plamning qism to`plamlari ustida bo`lsa, ikkinchi ikkilik

10

tenglikka o`tish mimkin, buning uchun barcha qaralayotgan to`plamlar ular-

ning to`ldiruvchilari bilan, to`plamlar kesishmasi-birlashma bilan, birlashmasi

- kesishma bilan almashtiriladi.

Biz (1.3) tenglikning isbotini keltiramiz. (1.4) tenglik shunga o`xshash is-

botlanadi.

Isbot. x ∈ E\

S

α

A

α

ixtiyoriy element bo`lsin. U holda x ∈ E va x /∈

S

α

A

α

bo`ladi. Bundan ixtiyoriy α uchun x ning A

α

to`plamga tegishli emasligi-

ga kelamiz. Demak, x element A

α

to`plamlarning to`ldiruvchilarida yotadi.

Shunday qilib, ixtiyoriy α uchun x ∈ E\A

α

munosabat o`rinli, bundan biz

x ∈

T

α

(E\A

α

)

ga ega bo`lamiz. Bu esa

E\

[

α

A

α

⊂

\

α

(E\A

α

)

(1.5)

munosabatni keltirib chiqaradi. Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Agar

x ∈

T

α

(E\A

α

)

bo`lsa, u holda barcha α larda x ∈ E\A

α

bo`ladi va x

element A

α

to`plamlarning birortasiga ham tegishli bo`lmaydi, bu esa x 6∈

S

α

A

α

ekanligini bildiradi. Demak, x ∈ E\

S

α

A

α

ekan. Bundan biz

E\

[

α

A

α

⊃

\

α

(E\A

α

)

(1.6)

munosabatga kelamiz. (1.5), (1.6) munosabatlar (1.3) tenglikni isbotlaydi. ∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B)

tenglikni isbotlang.

2.

(E\A)∆(E\B) = A∆B

tenglikni isbotlang, bu yerda A ⊂ E, B ⊂ E.