M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

qarashli bo`lgan to`g`ri to`rtburchakni, agar a = b va c < d yoki a < b va

c = d

bo`lsa kesmani, agar a = b, c = d bo`lsa nuqtani va agar a > b

yoki c > d bo`lsa, bo`sh to`plamni aniqlaydi. Ochiq a < x < b, c < y < d

to`g`ri to`rtburchak a, b, c va d larga bog`liq ravishda chegarasi o`ziga qarash-

li bo`lmagan to`g`ri to`rtburchak yoki bo`sh to`plam bo`ladi. Yarim ochiq to`g`ri

to`rtburchaklarning har biri bir, ikki yoki uch tomonsiz to`rtburchaklarni,

ochiq, yarim ochiq oraliqlarni aniqlaydi.

S

deb tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasini belgilaymiz.

6.1-lemma. Tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim

halqa tashkil qiladi.

Isbot. a, b, c va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to`g`ri to`rtburchak

a = b

bo`lganda bo`sh to`plamni aniqlaydi, demak ∅ ∈ S Ikki to`g`ri to`rtbur-

chakning kesishmasi to`g`ri to`rtburchakdir (6.1-chizma), ya'ni P

1

, P

2

∈ S

dan P

1

∩ P

2

∈ S

ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik P = P

abcd

to`g`ri

45

to`rtburchak P

1

= P

a

1

b

1

c

1

d

1

to`g`ri to`rtburchakni o`zida saqlasin. U holda

a ≤ a

1

≤ b

1

≤ b,

c ≤ c

1

≤ d

1

≤ d

munosabatlar o`rinli. P \P

1

ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.

P \P

1

= P

2

∪ P

3

∪ P

4

∪ P

5

,

bu yerda (6.2-chizmaga qarang)

P

2

= P

aa

1

cd

,

P

3

= P

a

1

bd

1

d

,

P

4

= P

b

1

bcd

1

, P

5

= P

a

1

b

1

cc

1

.

Demak, tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa

tashkil qilar ekan.

6.1-chizma

6.2-chizma

6.1-ta'rif. S yarim halqadan olingan va a, b, c, d sonlari bilan aniqlan-

gan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) P = P

abcd

to`g`ri to`rtburchak uchun

m(P ) = (b − a)(d − c)

sonni mos qo`yamiz, agar P bo`sh to`plam bo`lsa

m(P ) = 0

deymiz va m : S → R to`plam funksiyasini o`lchov deymiz.

Shunday qilib, S dagi har bir P to`g`ri to`rtburchakka uning o`lchovi

m(P ) = (b−a)(d−c)

son mos qo`yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoat-

lantiradi:

1) m(P ) - many bo`lmagan haqiqiy son.

46

2) m : S → R to`plam funksiyasi additiv, ya'ni agar

P =

n

[

k=1

P

k

,

P

i

\

P

k

= ∅,

i 6= k,

P, P

k

∈ S

bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli m(P ) =

n

P

k=1

m(P

k

)

.

6.3-chizma

6.4-chizma

Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda m o`lchovni barcha to`g`ri

to`rtburchaklar sistemasi S dan kengroq bo`lgan sinfga davom ettirishdan

iborat. Shu maqsadda M(S) bilan S yarim halqa ustiga qurilgan minimal

halqani belgilaymiz.

6.2-ta'rif. M(S) halqa elementlari elementar to`plam deyiladi.

5.3-teoremaga ko`ra ixtiyoriy A ∈ M(S) to`plam chekli sondagi o`zaro

kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklarning yig`indisi shaklida ifodalanadi va

aksincha.

5.1-xossa va halqa ta'riga ko`ra quyidagi tasdiq o`rinli.

6.1-lemma. Ikki elementar to`plamning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi

va simmetrik ayirmasi yana elementar to`plam bo`ladi.

Endi M(S) halqadagi to`plamlarning, ya'ni elementar to`plamlarning o`l-

chovi tushunchasini kiritamiz.

47

6.3-ta'rif. Har bir A =

n

S

k=1

P

k

∈ M(S)

elementar to`plamga

m

0

(A) =

n

X

k=1

m (P

k

)

sonni mos qo`yuvchi m

0

: M(S) → R

moslikni aniqlaymiz. m

0

(A)

miqdorni

A

to`plamning o`lchovi deb ataymiz.

Elementar to`plamlar sistemasi M(S) da aniqlangan m

0

funksiyaning qiy-

mati A elementar to`plamni chekli sondagi to`g`ri to`rtburchaklar yig`indisiga

yoyish usulidan bog`liq emasligini ko`rsatamiz. Aytaylik, {P

k

, k = 1, 2, . . . , m}

va {Q

j

, j = 1, 2, . . . , n}

larning har biri o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rt-

burchaklar sistemalari bo`lib, (6.3 va 6.4-chizmaga qarang)

A =

m

[

k=1

P

k

=

n

[

j=1

Q

j

tenglik o`rinli bo`lsin. U holda ikkita P

k

va Q

j

to`g`ri to`rtburchaklarning

kesishmasi P

k

∩ Q

j

to`g`ri to`rtburchak ekanligidan A to`plam o`zaro kesish-

maydigan P

k

∩ Q

j

to`g`ri to`rtburchaklar yig`indisi shaklida, ya'ni

A =

m

[

k=1

n

[

j=1

(P

k

\

Q

j

)

ko`rinishda tasvirlanadi va

m

0

(A) =

m

X

k=1

m(P

k

) =

m

X

k=1

n

X

j=1

m(P

k

∩ Q

j

),

m

0

(A) =

n

X

j=1

m(Q

j

) =

n

X

j=1

m

X

k=1

m(P

k

∩ Q

j

)

tengliklar o`rinli. Oxirgi tengliklar ko`rsatadiki, A elementar to`plamning o`l-

chovi m

0

(A)

uning to`g`ri to`rtburchaklar yig`indisi shaklida tasvirlanish usu-

lidan bog`liq emas ekan, ya'ni elementar to`plam o`lchovi m

0

ning aniqlanishi

korrekt ekan.

48

1. Agar A ∈ M(S) to`plam to`g`ri to`rtburchak bo`lsa, u holda m

0

(A) =

m(A)

bo`ladi.

2. Agar A ∈ M(S) to`plam chekli sondagi o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

,

. . . , A

n

elementar to`plamlarning yig`indisi shaklida tasvirlansa, ya'ni A =

n

S

k=1

A

k

u holda

m

0

(A) =

n

X

k=1

m

0

(A

k

)

(6.1)

tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, A ∈ M(S) bo`lganligi uchun A

k

=

s

k

S

j=1

P

kj

,

bu yerda {P

kj

}

- o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi. U

holda

A =

n

[

k=1

s

k

[

j=1

P

kj

va m

0

(A) =

n

X

k=1

s

k

X

j=1

m (P

kj

) =

n

X

k=1

m

0

(A

k

) .

(6.1) tenglik m

0

o`lchovning additivlik xossasini ifodalaydi.

6.1-teorema. Agar A ∈ M(S) va {A

n

} −

elementar to`plamlarning

chekli yoki sanoqli sistemasi bo`lib, A ⊂

S

n

A

n

bo`lsa,

m

0

(A) ≤

X

n

m

0

(A

n

)

(6.2)

tengsizlik o`rinli bo`ladi.

Isbot. Ixtiyoriy ε > 0 va A elementar to`plam uchun

m

0

¡

¯

A

¢

≥ m

0

(A) −

ε

2

(6.3)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi va A to`plamda saqlanuvchi yopiq ¯

A

elementar

to`plam mavjud (6.5-chizmaga qarang, n >

4(b − a + d − c)

ε

.

)

Har bir elementar A

n

to`plam uchun ochiq e

A

n

⊃ A

n

elementar to`plam

mavjudki (6.6-chizmaga qarang)

m

0

³

e

A

n

´

≤ m

0

(A

n

) +

ε

2

n+1

(6.4)

49

tengsizlik bajariladi. ¯

A

va e

A

n

to`plamlarning tanlanishiga ko`ra ¯

A ⊂

S

n

e

A

n

munosabat o`rinli bo`ladi.

6.5-chizma

6.6-chizma

Ochiq to`plamlar sistemasi

n

e

A

n

o

dan Geyne-Borel lemmasiga ko`ra ¯

A

ni

qoplovchi chekli sondagi e

A

n

1

, e

A

n

2

, . . . , e

A

n

s

to`plamlarni ajratish mumkin. ¯

A

to`plam chekli sondagi to`g`ri to`rtburchaklar bilan qoplangani uchun

m

0

¡

¯

A

¢

≤

s

X

i=1

m

0

³

e

A

n

i

´

(6.5)

tengsizlik o`rinli. (6.3) va (6.5) hamda (6.4) lardan

m

0

(A) ≤ m

0

( ¯

A) +

ε

2

≤

s

X

i=1

m

0

³

e

A

n

i

´

+

ε

2

≤

∞

X

n=1

m

0

³

e

A

n

´

+

+

ε

2

≤

∞

X

n=1

m

0

(A

n

) +

∞

X

n=1

ε

2

n+1

+

ε

2

=

∞

X

n=1

m

0

(A

n

) + ε

ni hosil qilamiz va ε > 0 ning ixtiyoriyligidan (6.2) tengsizlikning isboti kelib

chiqadi.

∆

6.1-teorema tasdig`idagi (6.2) tengsizlik, m

0

o`lchovning yarim additivlik

xossasi deyiladi.

m

0

o`lchovning yarim additivlik xossasidan uning σ - additivlik xossasi

kelib chiqadi, ya'ni quyidagi teorema o`rinli.

50

6.2-teorema. A elementar to`plam sanoqli sondagi o`zaro kesishmaydigan

A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

elementar to`plamlarning yig`indisidan iborat, ya'ni A =

∞

S

n=1

A

n

bo`lsin. U holda quyidagi tenglik o`rinli

m

0

(A) =

∞

X

n=1

m

0

(A

n

) .

(6.6)

Isbot. m

0

o`lchovning chekli additivlik xossasiga ko`ra, ixtiyoriy N ∈ N

uchun

m

0

(A) ≥ m

0

Ã

N

[

n=1

A

n

!

=

N

X

n=1

m

0

(A

n

)

tengsizlik o`rinli. Agar N → ∞ da limitga o`tsak,

m

0

(A) ≥

∞

X

n=1

m

0

(A

n

)

bo`ladi. 6.1-teoremaga ko`ra

m

0

(A) ≤

∞

X

n=1

m

0

(A

n

) .

Oxirgi ikki munosabatdan (6.6) tenglik kelib chiqadi.

∆

6.2. Tekislikdagi to`plamlarning Lebeg o`lchovi. Geometriya va klas-

sik analizda uchraydigan to`plamlar faqatgina elementar to`plamlardan iborat

bo`lmaydi. Shu sababli o`lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan hol-

da elementar to`plamlar sistemasi M(S) dan kengroq to`plamlar sistemasi

uchun aniqlashga harakat qilamiz.

Lebeg o`lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chek-

li, balki cheksiz sondagi to`g`ri to`rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga

to`g`ri keladi. Bunda birdaniga cheksiz o`lchovli to`plamlarga duch kelmaslik

uchun, dastlab E = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} birlik kvadratda

saqlanuvchi to`plamlar bilan chegaralanamiz.

6.4-ta'rif. Ixtiyoriy A ⊂ E to`plam uchun

µ

∗

(A) = inf

A⊂

S

k

P

k

X

k

m(P

k

)

(6.7)

51

son A to`plamning tashqi o`lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara A

to`plamni qoplovchi to`g`ri to`rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sis-

temalari bo`yicha olinadi.

6.1-eslatma. Agar A− elementar to`plam bo`lsa, u holda µ

∗

(A) = m

0

(A).

Haqiqatan ham, A− elementar to`plam P

1

, P

2

, . . . , P

n

to`g`ri to`rtburchak-

larning birlashmasi ko`rinishida tasvirlansin, u holda

µ

∗

(A) ≤

n

X

k=1

m (P

k

) = m

0

(A).

(6.8)

{P

k

}

to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi A to`plamni qoplaydi, shuning uchun

(6.8) o`rinli.

Ikkinchi tomondan, {Q

j

}

sistema A to`plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli

sondagi ixtiyoriy to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi bo`lsa, 6.1-teoremaga ko`ra

m

0

(A) ≤

P

j

m(Q

j

)

kelib chiqadi. Shuning uchun

m

0

(A) ≤ inf

X

j

m(Q

j

) = µ

∗

(A).

(6.9)

Demak, (6.8) va (6.9) lardan m

0

(A) = µ

∗

(A)

tenglikka ega bo`lamiz. Shunday

qilib, M(S) da m

0

va µ

∗

o`lchovlar ustma-ust tushar ekan.

∆

6.3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi {A

n

}

to`plamlar sistemasi

uchun A ⊂

S

n

A

n

bo`lsa, u holda

µ

∗

(A) ≤

X

n

µ

∗

(A

n

)

tengsizlik o`rinli. Xususan, agar A ⊂ B bo`lsa, µ

∗

(A) ≤ µ

∗

(B)

bo`ladi.

Isbot. Ixtiyoriy ε > 0 va har bir A

n

uchun tashqi o`lchov ta'riga ko`ra

to`g`ri to`rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli {P

nk

}

sistemasi mavjud-

ki,

A

n

⊂

[

k

P

nk

va

X

k

m (P

nk

) ≤ µ

∗

(A

n

) +

ε

2

n

52

bo`ladi. U holda quyidagilar o`rinli:

A ⊂

[

n

[

k

P

nk

va µ

∗

(A) ≤

X

n

X

k

m (P

nk

) ≤

X

n

µ

∗

(A

n

) + ε.

ε > 0

sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.

∆

Ma'lumki, elementar to`plamlar sistemasi M(S) da m

0

va µ

∗

lar ustma-

ust tushadi. Demak, 6.1-teorema 6.3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi.

6.5-ta'rif. Bizga A ⊂ E to`plam berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy ε > 0

uchun shunday B ⊂ E elementar to`plam mavjud bo`lib, µ

∗

(A∆B) < ε

tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam deyiladi.

Agar A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa, uning o`lchovi deb tashqi

o`lchovini qabul qilamiz.

U(E)

bilan E ning barcha o`lchovli qism to`plamlaridan tashkil topgan

sistemani belgilaymiz. µ bilan µ

∗

to`plam funksiyasining U(E) dagi qismini

belgilaymiz, ya'ni ixtiyoriy A ∈ U(E) uchun µ(A) = µ

∗

(A).

Aniqlanish

sohasi U(E) bo`lgan µ to`plam funksiyasi Lebeg o`lchovi deyiladi. Shunday

qilib, o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) va unda Lebeg o`lchovi µ aniqlandi.

Bizning asosiy maqsadimiz o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) ni chek-

li yoki sanoqli sondagi to`plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan

yopiqligini ko`rsatishdan, ya'ni U(E) ning σ algebra tashkil qilishini isbot-

lashdan iborat.

6.2-eslatma. Agar (6.7) tenglikda aniq quyi chegara A to`plamni qop-

lovchi barcha elementar to`plamlar bo`yicha olinsa, A to`plamning Jordan