M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

yoki S dan hosil qilingan minimal halqa deyiladi va M (S) simvol bilan

belgilanadi.

∆

5.2. To`plamlar yarim halqasi. Ko`pgina masalalarda, masalan, o`lchov-

lar azariyasida halqa tushunchasi bilan birgalikda unga nisbatan umumiyroq

bo`lgan to`plamlar yarim halqasi tushunchasi ham muhim ahamiyatga ega.

5.3-ta'rif. Agar S to`plamlar sistemasi quyidagi shartlarni qanoatlantir-

sa, unga yarim halqa deyiladi:

a) S bo`sh to`plamni saqlaydi;

b) S to`plamlar kesishmasi amaliga nisbatan yopiq, ya'ni A, B ∈ S

munosabatdan A ∩ B ∈ S munosabat kelib chiqadi;

c) A ∈ S, A

1

∈ S

va A

1

⊂ A

ekanligidan S sistemaning o`zaro ke-

sishmaydigan A

2

, . . . , A

n

cheklita elementlari mavjud bo`lib, A\A

1

=

n

S

k=2

A

k

tasvir o`rinli bo`ladi.

Agar A to`plam o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

, . . . , A

n

to`plamlar birlash-

37

masidan iborat bo`lsa, bu birlashma A to`plamning chekli yoyilmasi deyiladi.

Ixtiyoriy S to`plamlar halqasi yarim halqa bo`ladi, chunki A va A

1

(A

1

⊂

A)

to`plamlar S ga tegishli bo`lsa, u holda A

2

= A\A

1

∈ S

bo`lib, A =

A

1

∪ A

2

chekli yoyilma o`rinli bo`ladi. Demak, har qanday halqa yarim halqa

bo`lar ekan. Quyida biz shunday yarim halqaga misol keltiramizki, u halqa

bo`la olmaydi.

5.5. Sonlar o`qidagi barcha [a, b) yarim ochiq intervallar sistemasi  S

yarim halqa bo`lishini isbotlang.

Isbot. S bo`sh [a, a) = ∅ to`plamni saqlaydi. S to`plamlar kesishmasi

amaliga nisbatan yopiq, ya'ni [a, b), [c, d) ∈ S munosabatdan [a, b)

T

[c, d) ∈

S

munosabat (5.1-chizma) kelib chiqadi. [a, b) ∈ S, [a

1

, b

1

) ∈ S

va [a

1

, b

1

) ⊂

[a, b)

ekanligidan [a, b)\[a

1

, b

1

) = [a, a

1

)

S

[b

1

, b)

tasvir o`rinli hamda [a, a

1

)

va [b

1

, b)

lar S ga (5.2-chizma) qarashli. Demak, S yarim halqa bo`ladi. ∆

5.1-chizma

5.6. 5.5-misolda keltirilgan sistemaning halqa bo`la olmasligini isbotlang.

Isbot. Buning uchun S sistemaning to`plamlar simmetrik ayirmasi ama-

liga nisbatan yopiq emasligini ko`rsatish yetarli. S sistemadan olingan A =

[0, 5)

va B = [1, 3) to`plamlarning simmetrik ayirmasini qaraymiz. Bu hol-

da A∆B = [0, 1)

S

[3, 5)

(5.2-chizma) bo`lib, u S sistemaga qarashli emas.

Demak, S sistema halqa bo`la olmaydi.

∆

5.2-chizma

Endi yarim halqalarning ayrim xossalari bilan tanishib chiqamiz.

38

5.1-lemma. S yarim halqadan A to`plam va o`zaro kesishmaydigan A

1

,

A

2

, . . . , A

n

to`plamlar olingan bo`lib, ularning har biri A to`plamda saqlansin.

U holda A

1

, A

2

, . . . , A

n

to`plamlarni A

n+1

, . . . , A

s

∈ S

to`plamlar bilan A

to`plamning chekli yoyilmasiga qadar to`ldirish mumkin, ya'ni A =

s

S

k=1

A

k

.

Isbot. Lemmani matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. n = 1

bo`lganda tasdiqning to`g`ri ekanligi yarim halqa ta'ridan bevosita kelib chiqa-

di. Faraz qilaylik, bu tasdiq n = m uchun ham to`g`ri bo`lsin. Endi n =

m+1

ta A

1

, A

2

, . . . , A

m+1

to`plamni qaraymiz, ular lemma shartlarini qanoat-

lantirsin. Farazimizga ko`ra, n = m da

A = A

1

∪ A

2

∪ . . . ∪ A

m

∪ B

1

∪ . . . ∪ B

p

(5.1)

tasvir o`rinli. Bu yerda B

1

, . . . , B

p

to`plamlar S yarim halqaga qarashli. (5.1)

tenglikdan A

m+1

⊂ B

1

∪ B

2

∪ . . . B

p

ekanligi kelib chiqadi. Agar B

q1

=

A

m+1

∩ B

q

, q = 1, 2, . . . , p

desak, u holda A

m+1

= B

11

∪ B

21

∪ . . . ∪ B

p1

tenglik o`rinli. Aniqlanishiga ko`ra B

q1

⊂ B

q

bo`ladi. Yarim halqa ta'riga

ko`ra B

q

\B

q1

to`plamni o`zaro kesishmaydigan B

q2

, . . . , B

qr

q

∈ S

to`plamlar-

ning chekli yoyilmasiga yoyish mumkin, ya'ni B

q

\B

q1

= B

q2

∪ · · · ∪ B

qr

q

.

Ravshanki, (5.1)tenglikka ko`ra quyidagi

A = A

1

∪ A

2

∪ · · · ∪ A

m

∪ A

m+1

∪

p

∪

q=1

µ

r

q

∪

j=2

B

qj

¶

chekli yoyilma o`rinli bo`ladi. Shunday qilib, n = m + 1 bo`lganda lemma

tasdig`i to`g`ri ekanligi isbotlandi. Shunday ekan, ixtiyoriy n da lemma tasdig`i

o`rinli.

∆

5.2-lemma. S yarim halqadan olingan har qanday cheklita A

1

, A

2

, . . . , A

n

to`plamlar sistemasi uchun S da shunday o`zaro kesishmaydigan cheklita

B

1

, . . . , B

t

to`plamlar sistemasi mavjudki, har bir A

k

to`plam B

1

, . . . , B

t

to`plamlardan ba'zilari yordamida

A

k

=

[

s∈M

k

B

s

, M

k

⊂ {1, 2, . . . , t}

39

yig`indi ko`rinishida tasvirlanadi.

Isbot. Bu lemmani ham matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz.

Agar n = 1 bo`lsa, lemma isboti ko`rinib turibdi, chunki bu holda t =

1, B

1

= A

1

.

Faraz qilaylik, lemma tasdig`i n = m bo`lganda o`rinli bo`lsin.

Endi lemma tasdig`ining n = m+1 uchun to`g`riligini ko`rsatamiz. S dan ix-

tiyoriy ravishda A

1

, A

2

, . . . , A

m

, A

m+1

to`plamlarni olamiz. Farazimizga ko`ra,

shunday cheklita o`zaro kesishmaydigan B

1

, . . . , B

t

to`plamlar mavjudki,

A

1

, A

2

, . . . , A

m

to`plamlar uchun

A

k

=

[

s∈M

k

B

s

,

k ∈ {1, 2, . . . , m}

chekli yoyilmalar o`rinli va M

k

⊂ {1, 2, . . . , t} .

Endi

B

s1

= A

m+1

∩ B

s

,

s ∈ {1, 2, . . . , t}

belgilashlarni kiritamiz. 5.1-lemmaga ko`ra quyidagi chekli yoyilma o`rinli

A

m+1

= B

11

[

B

21

[

. . .

[

B

t1

[

q

[

p=1

B

0

p

,

B

0

p

∈ S, p = 1, 2. . . . , q. (5.2)

Yarim halqa ta'riga ko`ra esa

B

s

= B

s1

∪ B

s2

∪ . . . ∪ B

sf

s

,

B

sj

∈ S,

chekli yoyilmalar o`rinli. U holda k = 1, 2, . . . , m, bo`lganda

A

k

=

[

s∈M

k

f

s

[

j=1

B

sj

chekli yoyilmalar o`rinli va

B

sj

, B

0

p

, 1 ≤ s ≤ t, 1 ≤ j ≤ f

s

, 1 ≤ p ≤ q

to`plamlar o`zaro kesishmaydi. Shunday qilib, B

sj

, B

0

p

to`plamlar sistemasi

A

1

, . . . , A

m

, A

m+1

to`plamlar uchun lemma shartlarini qanoatlantiradi.

∆

40

5.3. Yarim halqadan hosil qilingan halqa. 5.1-bandda ko`rdikki, ix-

tiyoriy S sistema uchun uni o`zida saqlovchi yagona minimal halqa mavjud.

Ammo ixtiyoriy S sistema uchun M(S) ni S bo`yicha hosil qilish ancha

murakkabdir. Agar S sistema yarim halqa bo`lsa, M(S) ni hosil qilish to`liq

sharhlanishi mumkin. Ya'ni quyidagi teorema o`rinli.

5.3-teorema. Agar S yarim halqa bo`lsa, u holda M(S) minimal halqa

A

k

to`plamlar (A

k

∈ S)

bo`yicha A =

n

S

k=1

A

k

chekli yoyilmaga ega bo`lgan

A

to`plamlarning X sistemasi bilan ustma-ust tushadi.

Isbot. Dastlab X sistemaning halqa ekanligini ko`rsatamiz. Agar A va B

lar X ga tegishli bo`lgan ixtiyoriy elementlar bo`lsa, u holda quyidagi chekli

yoyilmalar o`rinli

A =

n

[

i=1

A

i

,

B =

m

[

j=1

B

j

, A

i

∈ S, B

j

∈ S.

S

yarim halqa bo`lganligi uchun C

ij

= A

i

T

B

j

∈ S

. 5.1-lemmaga ko`ra

quyidagi chekli yoyilmalar ham o`rinli

A

i

=

m

[

j=1

C

ij

[

r

i

[

k=1

D

ik

;

B

j

=

n

[

i=1

C

ij

[

s

j

[

l=1

E

jl

,

(5.3)

bu yerda D

ik

, E

jl

∈ S.

Hosil qilingan (5.3) tengliklardan A ∩ B va A∆B

to`plamlarning chekli yoyilmalarga egaligi, ya'ni

A

\

B =

n

[

i=1

m

[

j=1

C

ij

,

A∆B =

Ã

n

[

i=1

r

i

[

k=1

D

ik

!

[

Ã

m

[

j=1

s

j

[

l=1

E

jl

!

va demak, A∩B va A∆B larning X ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak,

X

sistema halqa ekan va u S ni o`zida saqlaydi. Agar M(S) sistema S

ni o`zida saqlovchi minimal halqa bo`lsa, u holda ixtiyoriy A ∈ X to`plam

A =

n

S

k=1

A

k

, A

i

∈ S

chekli yoyilmaga ega va M(S) chekli yig`indiga nisbatan

yopiq bo`lgani uchun A ∈ M(S) bo`ladi, ya'ni X ⊂ M(S) . Demak, X =

M(S).

∆

41

5.4. σ - algebralar. Har xil masalalarda, xususan o`lchovlar nazari-

yasida, sanoqlita to`plamlar kesishmasi va yig`indisini qarashga to`g`ri keladi.

Shuning uchun, to`plamlar halqasi tushunchasidan tashqari, quyidagi tushun-

chalarni ham qarash maqsadga muvoqdir.

5.4-ta'rif. Agar S to`plamlar halqasi undan olingan ixtiyoriy A

1

, A

2

,

. . . , A

n

, . . .

to`plamlar ketma-ketligi bilan birgalikda ularning yig`indisi A =

∞

S

n=1

A

n

ni ham o`zida saqlasa, u holda S sistemaga σ - halqa deyiladi.

5.5-ta'rif. Agar S to`plamlar halqasi undan olingan ixtiyoriy A

1

, A

2

,

. . . , A

n

, . . .

to`plamlar ketma-ketligi bilan birgalikda ularning kesishmasi B =

∞

T

n=1

A

n

ni ham o`zida saqlasa, u holda S sistemaga δ - halqa deyiladi.

5.6-ta'rif. Birlik elementli σ - halqa σ - algebra deyiladi. Birlik elementli

δ

- halqa esa δ - algebra deyiladi.

Shuni ta'kidlash lozimki,

∪

n

A

n

= E\ ∩

n

(E\A

n

),

∩

n

A

n

= E\ ∪

n

(E\A

n

)

ikkilik munosobatlaridan σ - algebra va δ - algebra tushunchalarining ust-

ma-ust tushishi kelib chiqadi.

A

cheksiz to`plamning barcha qism to`plamlari sistemasi A(A), σ - algeb-

ra bo`ladi. Agar biror S sistema berilgan bo`lsa, doim uni saqlovchi σ -

algebra mavjud. Haqiqatan ham, agar X =

S

A∈S

A

desak, X ning barcha

qism to`plamlaridan tuzilgan A(X) sistema S ni o`zida saqlovchi σ - algebra

bo`ladi. Agar B − S ni o`zida saqlovchi biror σ - algebra va

∼

X

uning biri

bo`lsa, u holda ixtiyoriy A ∈ S to`plam A ⊂

∼

X

munosabatga bo`ysunadi, va

shunday ekan, X =

S

A∈S

A ⊂

∼

X .

Agar S ni saqlovchi B − σ - algebraning

biri

∼

X

uchun X =

∼

X

munosabat bajarilsa, bu σ - algebra ( S ga nisbatan)

keltirilmaydigan σ - algebra deyiladi.

5.4-teorema. Ixtiyoriy bo`shmas S to`plamlar sistemasi uchun (bu sis-

temaga nisbatan) keltirilmaydigan shunday B(S) − σ - algebra mavjudki, bu

42

σ

- algebra S ni saqlaydi S ni saqlovchi barcha σ - algebralarda saqlanadi.

Bu teorema isboti ham birinchi bandda keltirilgan 5.2-teoremaning isbotiga

o`xshash olib boriladi. 5.4-teoremada keltirilgan σ - algebra S sistema ustiga

qurilgan minimal σ - algebra deyiladi.

Misol sifatida sonlar o`qidagi barcha [a, b] kesmalar va [a, b), (a, b] yarim

intervallar va (a, b) intervallardan tashkil topgan S yarim halqani qarasak,

u holda S ustida qurilgan minimal σ - algebrani B(S) bilan belgilaymiz.

Bu σ - algebra elementlari Borel to`plamlari yoki Borel tipidagi to`plamlar

deyiladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

σ

va δ − halqalarga misollar keltiring.

2.

Halqaning birlik elementi (biri) ga ta'rif bering.

3.

Sonlar o`qidagi barcha ochiq va yopiq to`plamlar sistemasi yarim halqa

(halqa) tashkil qiladimi?

4.

Sonlar o`qidagi barcha chegaralangan to`plamlar sistemasi halqa (yarim

halqa) tashkil qiladimi?

5.

Sonlar o`qidagi barcha chekli to`plamlar sistemasi halqa (yarim halqa)

tashkil qiladimi?

6.

Sonlar o`qidan olingan barcha [a, b] kesmalar va [a, b), (a, b] yarim

intervallar va (a, b) intervallar sistemasi yarim halqa bo`lishini isbot-

lang. Bu sistemaning halqa bo`la olmasligini ko`rsating.

7.

Tekislikdagi barcha yarim ochiq {(x, y) : a < x ≤ b, c < y ≤ d} to`g`ri

to`rtburchaklar sistemasi yarim halqa bo`lishini isbotlang. Bu sistemaning

simmetrik ayirma amaliga nisbatan yopiq emasligini ko`rsating.

43

II bob. O`lchovli to`plamlar

Bu bob uch paragrafdan iborat. Dastlabki 6-paragrafda tekislikdagi to`plam-

ning Lebeg o`lchovi tushunchasi kiritilgan. O`lchov tushunchasi bu − kesma-

ning uzunligi, tekislikdagi shaklning yuzasi, fazodagi jismning hajmi kabi tu-

shunchalarning umumlashmasi natijasida paydo bo`lgan. Bu paragrafda Lebeg

ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin Jordan ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin-

dan kengroq ekanligi ta'kidlangan va Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, am-

mo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltirilgan. Lebeg

o`lchovining yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-

salari (6.6, 6.8-6.9 teoremalar) isbotlangan. Birlik kvadratdagi o`lchovli to`p-

lamlar sistemasi σ − algebra tashkil qilishi ko`rsatilgan. Bu paragrafning ay-

rim to`ldirishlar bandida tekislikda berilgan A to`plamning Lebeg ma'nosida

o`lchovli bo`lishligi ta'riangan. Umumlashtirishlar bandida esa Lebeg-Stiltes

o`lchovlari berilgan. Paragrafning oxirgi bandida sonlar o`qida Lebeg ma'nosida

o`lchovsiz to`plamga misol keltirilgan. Absolyut uzluksiz, singulyar uzluksiz va

diskret o`lchovlarga ta'rif berilgan hamda ularga misollar keltirilgan.

7-paragrafda o`lchovning umumiy ta'ri keltirilgan. Yarim halqada beril-

gan o`lchovni yarim halqadan hosil bo`lgan minimal halqaga davom ettirish

va davomning yagonaligi (7.1-teorema) isbotlangan. Additiv va σ − addi-

tiv o`lchovlarning umumiy xossalari keltirilgan. Additiv, ammo σ − additiv

bo`lmagan o`lchovga misol keltirilgan.

Bobning oxirgi, 8-paragrada yarim halqada berilgan o`lchovni Lebeg bo`yi-

cha davom ettirish masalasi qaralgan. Bu yerda ham 6-paragrafdagiga o`xshash

o`lchovning yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-

salari isbotlangan. Birlik elementli S

m

yarim halqada σ − additiv m o`lchov

berilgan bo`lsa, bu o`lchovning Lebeg bo`yicha davomi −µ ham σ − additiv

o`lchov bo`lishi isbotlangan.

44

6- §. Tekislikdagi to`plamning o`lchovi

Biz bu paragrafda tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam ta'rini

beramiz va o`lchovli to`plamlarning asosiy xossalarini isbotlaymiz.

6.1. Elementar to`plam o`lchovi. Aytaylik a, b, c va d lar ixtiyoriy

sonlar bo`lsin. Tekislikda

a ≤ x ≤ b,

a ≤ x < b, a < x ≤ b, a < x < b

va

c ≤ y ≤ d, c ≤ y < d, c < y ≤ d, c < y < d

tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to`plamlar sistemasi beril-

gan bo`lsin. Bu to`plamlarni to`g`ri to`rtburchaklar deb ataymiz.

Bizga a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, tengsizliklar bilan aniqlangan to`g`ri

to`rtburchak berilgan bo`lsin. Agar a < b, c < d bo`lsa, u chegaralari o`ziga