M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

kesishmaydigan

E

mn

= {(x, y) : m ≤ x < m + 1, n ≤ y < n + 1}

( m, n− butun sonlar) kvadratlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlash mumkin:

R

2

=

[

m,n∈Z

E

mn

.

6.6-ta'rif. Agar istalgan m, n butun sonlar uchun A

mn

= A ∩ E

mn

to`plamlar o`lchovli bo`lsa, u holda A to`plam o`lchovli deyiladi. Agar A

61

to`plam o`lchovli bo`lsa,

µ(A) =

X

m,n∈Z

µ(A

mn

)

(6.20)

qator yig`indisi A to`plamning Lebeg o`lchovi deyiladi.

Agar (6.20) qator yig`indisi chekli bo`lsa, A chekli o`lchovli to`plam deyila-

di. Aks holda A cheksiz o`lchovli to`plam deyiladi. Shuning uchun µ o`lchov

cheksiz qiymat ham qabul qilishi mumkin. O`lchov va o`lchovli to`plamlarning

yuqorida o`rnatilgan barcha xossalari bu hol uchun ham o`rinli bo`ladi. Biroq

6.9-teoremada (6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun µ(A

1

) < +∞

shart-

ni qo`shishimiz kerak bo`ladi. Takidlash lozimki, sanoqlita chekli o`lchovli

to`plamlar yig`indisi cheksiz o`lchovga ega bo`lishi mumkin. Tekislikdagi bar-

cha o`lchovli to`plamlar sinni U(R

2

)

bilan belgilaymiz.

Bu paragrafda tekislikdagi to`plamlar uchun Lebeg o`lchovining qurilish

usulini bayon qildik. Sonlar o`qi R dagi va uch o`lchamli R

3

fazodagi to`p-

lamlar uchun ham Lebeg o`lchovi shunga o`xshash usulda quriladi. Masalan

sonlar o`qida o`lchov dastlab (a, b) intervallar, [a, b] kesmalar va [a, b),

(a, b]

yarim intervallardan tashkil bo`lgan S

1

yarim halqada, ularning uzun-

ligi sifatida aniqlanib, keyin S

1

ni saqlovchi minimal halqaga davom ettirila-

di. Undan keyin esa tekislikdagiga o`xshash usulda Lebeg ma'nosida o`lchovli

to`plamlardan iborat σ algebragacha davom ettiriladi. Aynan shunga o`xshash

usulda Lebeg o`lchovini istalgan n− o`lchamli Evklid fazosida ham qurish

mumkin. Tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlarni kiritish jarayoni-

da odatdagi yuza ta'ridan kelib chiqdik. Shunga o`xshash bir o`lchamli holda

Lebeg o`lchovining kiritilishi interval (kesma, yarim interval) uzunligi tushun-

chasiga asoslanadi.

6.4. Ayrim umumlashtirishlar. Umuman olganda o`lchov tushunchasini

boshqacha usulda, ya'ni umumiyroq usulda kiritish mumkin. Bu umumiyroq

usulni sonlar o`qidagi to`plamlar uchun amalga oshiramiz.

62

Bizga sonlar o`qida aniqlangan kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funk-

siya berilgan bo`lsin. Interval, kesma va yarim intervallarga F funksiya yor-

damida quyidagi sonlarni mos qo`yamiz:

m ((a, b)) = F (b − 0) − F (a),

m ([a, b]) = F (b) − F (a − 0),

m ((a, b]) = F (b) − F (a),

m ([a, b)) = F (b − 0) − F (a − 0).

Ravshanki, bu usulda aniqlangan m interval (kesma va yarim interval) funk-

siyasi manymas va additiv. Yarim halqada kiritilgan bu o`lchovga yuqorida-

gidek mulohazalarni qo`llab, qandaydir µ

F

(·)

o`lchovni qurishimiz mumkin.

Bunda µ

F

o`lchovga nisbatan o`lchovli bo`lgan to`plamlarning U

F

sistemasi

sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmaga nisbatan yopiq bo`ladi, µ

F

o`lchov

esa σ− additiv bo`ladi. Umuman olganda, µ

F

o`lchovga nisbatan o`lchovli

to`plamlar sin F funksiyaning tanlanishiga bog`liq. Ammo R da o`ngdan

uzluksis, kamaymaydigan istalgan F funksiya uchun ochiq va yopiq to`plamlar,

shuningdek, ularning istalgan sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmalari o`lchovli

to`plamlar bo`ladi. U yoki bu kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funksiya

vositasida qurilgan µ

F

o`lchov Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi.

Bizga Lebeg o`lchovi µ va Lebeg-Stiltes o`lchovi µ

F

berilgan bo`lsin.

6.7-ta'rif. Agar µ(A) = 0 ekanligidan µ

F

(A) = 0

kelib chiqsa, µ

F

ab-

solyut uzluksiz o`lchov deyiladi. Agar µ

F

o`lchov chekli yoki sanoqli qiymat

qabul qiluvchi F funksiya yordamida aniqlansa, µ

F

diskret o`lchov deb ata-

ladi. Agar µ

F

o`lchovda istalgan bir nuqtali to`plam 0 o`lchovga ega bo`lsa

va Lebeg o`lchovi nolga teng bo`lgan biror A to`plam uchun µ

F

(R\A) = 0

bo`lsa, u holda µ

F

singulyar o`lchov deyiladi.

Ko`rsatish mumkinki, istalgan o`lchov absolyut uzluksiz, diskret va singul-

yar o`lchovlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir.

6.5. O`lchovsiz to`plamning mavjudligi. Biz ko`rsatdikki, Lebeg ma'-

nosida o`lchovli bo`lgan to`plamlar sin yetarlicha keng. Tabiiy ravishda Lebeg

63

ma'nosida o`lchovsiz to`plam mavjudmi? - degan savol paydo bo`ladi. Bu savol

ijobiy yechilishini ko`rsatamiz. O`lchovsiz to`plamni qurishni sonlar o`qida amal-

ga oshiramiz.

6.2-misol. Chegaralangan o`lchovsiz to`plamga misol keltiring.

Yechish. Buning uchun [−1, 1] kesmaning nuqtalari orasida ekvivalentlik

tushunchasini kiritamiz: agar x va y ning ayirmasi x−y ratsional son bo`lsa,

ular ekvivalent deyiladi. Bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo`ladi. Shu-

ning uchun [−1, 1] kesma o`zaro ekvivalent bo`lgan elementlardan iborat

K(x), x ∈ [−1, 1]

sinflarga ajraladi. Bunda turli sinar o`zaro kesishmaydi.

Shunday qilib [−1, 1] kesma o`zaro kesishmaydigan K(x), x ∈ [−1, 1] sinf-

larga ajraldi. Endi bu sinarning har biridan bittadan element tanlab olib, bu

tanlab olingan elementlar to`plamini A bilan belgilaymiz.

Bu A to`plamning o`lchovsiz ekanligini isbotlaymiz. [−1, 1] kesmadagi

barcha ratsional sonlar to`plamini nomerlab chiqamiz:

r

0

= 0, r

1

, r

2

, . . .

A

k

bilan A to`plamni r

k

songa siljitishdan hosil bo`lgan to`plamni belgi-

laymiz, ya'ni A

k

= A + r

k

= {y : y = x + r

k

, x ∈ A} .

Xususan A

0

= A

,

A

k

to`plam A to`plamdan r

k

ga siljitish orqali hosil qilingani uchun ular bir

vaqtda yo o`lchovli, yo o`lchovsiz to`plamlar bo`ladi. Faraz qilaylik, A o`lchovli

to`plam bo`lsin. U holda uni r

k

ga siljitishdan hosil bo`lgan A

k

to`plam ham

o`lchovli bo`ladi va µ(A

k

) = µ(A)

tenglik o`rinli. Ravshanki,

[−1, 1] ⊂

∞

[

k=0

A

k

.

Bundan, o`lchovning yarim additivlik xossasiga asosan

2 = µ([−1, 1]) ≤ µ(

∞

[

k=0

A

k

) = µ(A) + µ(A) + · · · + µ(A) + · · · .

64

Bu yerdan µ(A) > 0 ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy

k ∈ {0, 1, 2, . . .}

uchun A

k

⊂ [−2, 2].

Bundan

∞

[

k=0

A

k

⊂ [−2, 2]

va A

k

to`plamlar o`zaro kesishmaydi. O`lchovning σ− additivlik xossasiga

asosan

4 = µ([−2, 2]) ≥ µ(

∞

[

k=0

A

k

) = µ(A) + µ(A) + · · · + µ(A) + · · · .

Bu yerdan µ(A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik A to`plam-

ning o`lchovsiz ekanligini isbotlaydi.

∆

6.3. 4.7-misolda keltirilgan Kantor to`plami K ning Lebeg o`lchovi nolga

teng ekanligini isbotlang.

Isbot. Kantor to`plami K ning o`lchovi nolga tengligi µ([0, 1]\K) = 1

tenglikdan kelib chiqadi. Barcha chiqarib tashlangan intervallar uzunliklari

yig`indisi

µ ([0, 1]\K) = µ

Ã

∞

[

n=1

K

n

!

=

∞

X

n=1

µ(K

n

) =

1

3

+

2

9

+

4

27

+· · ·+

2

n−1

3

n

+· · · = 1.

Demak, µ(K) = 0 .

∆

6.4. Hozir biz qurilishi Kantor to`plami K bilan bog`liq bo`lgan Kan-

torning zinapoya funksiyasini (6.7-chizma) keltiramiz. Kantorning zinapoya

funksiyasini K bilan belgilaymiz va uni R da quyidagicha aniqlaymiz. K(x) =

0, x ∈ (−∞, 0]

va K(x) = 1, x ∈ [1, ∞). Endi [0, 1]\K da quyidagicha

aniqlaymiz. K

1

=

µ

1

3

,

2

3

¶

to`plam va uning chegarasida (6.7-chizmaga qarang)

K(x) =

1

2

, x ∈

·

1

3

,

2

3

¸

.

65

K

2

= K

21

S

K

22

=

µ

1

9

,

2

9

¶

S

µ

7

9

,

8

9

¶

to`plam va uning chegaralarida

K(x) =















1

4

, agar x ∈

·

1

9

,

2

9

¸

,

3

4

, agar x ∈

·

7

9

,

8

9

¸

.

6.7-chizma

Endi

K

3

=

4

[

k=1

K

3k

=

µ

1

3

3

,

2

3

3

¶ [ µ 7

3

3

,

8

3

3

¶ [ µ19

3

3

,

20

3

3

¶ [ µ25

3

3

,

26

3

3

¶

to`plam va uning chegaralarida

K(x) =

2k − 1

2

3

, x ∈ K

3k

, k = 1, 2, 3, 4.

Xuddi shunday K

n

=

2

n−1

S

k=1

K

nk

to`plamning k − qo`shni intervali va uning

chegarasida

K(x) =

2k − 1

2

n

, x ∈ K

nk

, k = 1, 2, 3, . . . , 2

n−1

.

66

Shunday qilib, K

n

to`plamlar va ularning chegaralarida K funksiya aniqlandi.

Bu

∞

∪

n=1

K

n

= [0, 1]\K

to`plam [0, 1] kesmada zich. Endi x

0

∈ K

soni K

funksiya aniqlanmagan biror nuqta bo`lsin, u holda

K(x

0

) = sup

(

K(x) : x < x

0

, x ∈

∞

[

n=1

K

n

)

deymiz. Hosil qilingan funksiya Kantorning zinapoya funksiyasi deyiladi. Kan-

torning zinapoya funksiyasi R da uzluksiz, monoton kamaymaydigan funksiya

bo`ladi. Xususan K(0) = 0, K(1) = 1 .

6.5. F (x) = 2x + 1 funksiya yordamida qurilgan µ

F

−

Lebeg-Stiltes

o`lchovi absolyut uzluksiz o`lchov bo`ladi. Bu o`lchov bo`yicha A = (1, 5]

to`plamning o`lchovini toping.

Yechish. Ta'rifga ko`ra

µ

F

(A) = F (5) − F (1) = 2 · 5 + 1 − (2 · 1 + 1) = 11 − 3 = 8.

∆

6.6. F (x) = [x] funksiya yordamida qurilgan µ

F

−

Lebeg-Stiltes o`lchovi

diskret o`lchov bo`ladi. Isbotlang.

Isbot. Chunki F (x) = [x] funksiya monoton kamaymaydigan o`ngdan

uzluksiz funksiya bo`lib, uning qiymatlar to`plami butun sonlar to`plami Z

dan iborat. Butun sonlar to`plami esa sanoqli to`plamdir.

∆

6.7. 6.6-misolda keltirilgan µ

F

−

Lebeg-Stiltes o`lchov bo`yicha

A = (1, 5]

S

{7; 8}

to`plamning o`lchovini toping.

Yechish. Hosil qilingan µ

F

−

Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy n ∈

Z

nuqtaning o`lchovi birga teng. Chunki {n} = [n, n] tenglik o`rinli bo`lgani

uchun, ta'rifga ko`ra

µ

F

([n, n]) = F (n) − F (n − 0) = n − (n − 1) = 1.

Demak, µ

F

({7; 8}) = 2.

Endi B = (1, 5] to`plamning o`lchovini topamiz.

µ

F

(B) = F (5) − F (1) = 5 − 1 = 4.

67

Berilgan A to`plam o`zaro kesishmaydigan B va {7; 8} to`plamlarning bir-

lashmasidan iborat. O`lchovning additivlik xossasiga ko`ra

µ

F

(A) = µ

F

(B) + µ

F

({7; 8}) = 4 + 2 = 6.

∆

6.8. F (x) = K(x), bu yerda K(x) Kantorning zinapoya funksiyasi. F (x) =

K(x)

yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o`lchovi µ

F

singulyar o`lchov ekanli-

gini isbotlang.

Isbot. µ

F

−

Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy a ∈ R nuqtaning

o`lchovi nolga teng. Chunki {a} = [a, a] tenglik o`rinli bo`lgani uchun, ta'rif-

ga ko`ra hamda K(x) ning uzluksizligidan µ

F

([a, a]) = K(a) − K(a − 0) = 0.

Bundan tashqari A = (−∞, 0)

S

(1, ∞)

to`plamning o`lchovi ham nolga

teng. Haqiqatan ham, o`lchovning additivlik xossasiga ko`ra

µ

F

(A) = µ

F

((−∞, 0)) + µ

F

((1, ∞)) =

= K(0) − lim

a→−∞

K(a) + lim

a→∞

K(a) − K(1) = 0.

(6.21)

6.3-misolda ko`rsatildiki, µ(K) = 0. Agar µ

F

(R\K) = 0

ekanligi ko`rsatilsa,

µ

F

o`lchovning singulyar o`lchov ekanligi kelib chiqadi. Endi µ

F

(R\K)

ni

hisoblaymiz. O`lchovning additivlik xossasi va (6.21) tenglikka ko`ra

µ

F

(R\K) = µ

F

((−∞, 0)) + µ

F

((1, ∞)) + µ

F

([0, 1]\K) = µ

F

([0, 1]\K).

Dastlab, K

n

, n ∈ N

to`plamlar uchun µ

F

(K

n

) = 0

ekanligini ko`rsatamiz.

µ

F

(K

1

) = µ

F

µµ

1

3

,

2

3

¶¶

= K

µ

2

3

− 0

¶

− K

µ

1

3

¶

=

1

2

−

1

2

= 0.

Biz bu yerda K funksiyaning uzluksizligidan foydalandik. Xuddi shunday

µ

F

(K

2

) = µ

F

µµ

1

9

,

2

9

¶¶

+ µ

F

µµ

7

9

,

8

9

¶¶

=

= K

µ

2

9

− 0

¶

− K

µ

1

9

¶

+ K

µ

8

9

− 0

¶

− K

µ

7

9

¶

= 0

68

tenglik o`rinli. µ

F

(K

n

) = 0, n ≥ 3

tengliklar ham shunga o`xshash ko`rsati-

ladi. Endi Lebeg-Stiltes o`lchovi µ

F

ning σ− additivlik xossasidan foydalansak

µ

F

([0, 1] \K) = µ

F

Ã

∞

[

n=1

K

n

!

=

∞

X

n=1

µ

F

(K

n

) = 0

ekanligini olamiz. Shunday qilib, hosil qilingan Lebeg-Stiltes o`lchovi µ

F

(·)

singulyar o`lchov ekan.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

µ

F

−

6.8-misolda keltirilgan Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`lsin. µ

F

(K) = 1

ekanligini isbotlang. Bu yerda K− Kantor to`plami.

2.

µ

F

−

6.8-misolda keltirilgan Lebeg-Stiltes o`lchovi, A esa K ni saqlovchi

ixtiyoriy to`plam bo`lsin. µ

F

(A) = 1

tenglikni isbotlang.

3.

Elementar to`plamlar sistemasida aniqlangan m

0

o`lchovning additivlik

xossasini isbotlang.

4.

6.4-teoremani µ o`lchov uchun isbotlang. Bu xossa Lebeg o`lchovining

yarim additivlik xossasi deyiladi.

5.

F (x) = x

funksiya yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o`lchovi absolyut

uzluksiz o`lchov bo`ladimi?

6.

F (x) = 2[x] + 1

funksiya yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o`lchovi

diskret o`lchov bo`ladimi?

7.

Singulyar Lebeg-Stiltes o`lchoviga misol keltiring.

8.

Lebeg ma'nosida o`lchovli va [0, 1] kesmaga qarashli to`plamlar sis-

temasi σ− algebra tashkil qiladimi? Javobni asoslang.

9.

Tekislikdagi A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} to`plam elementar

to`plam bo`ladimi? Uning o`lchovini toping.

69

7- §. O`lchovning umumiy tushunchasi

Bu paragrafda biz o`lchovning umumiy ta'rini beramiz. O`lchovni yarim

halqadan halqaga davom ettiramiz hamda uning additivlik va σ− additivlik

xossalarini isbotlaymiz. Tekislikda to`g`ri to`rtburchaklar o`lchovi tushunchasi-

ga tayangan holda uni kengroq to`plamlar singa yoyish natijasida o`lchovni

qurdik. Bunda (jarayonda) to`g`ri to`rtburchaklar o`lchovidan elementar to`p-

lamlar o`lchoviga o`tishda to`g`ri to`rtburchaklar sistemasining yarim halqa

ekanligi va yuzaning manymas va additiv bo`lishi muhim rol o`ynadi. Bun-

dan tashqari, tekislikdagi o`lchov Lebeg davomining σ− additivligi ham

muhimdir.

Aytilganlarga ko`ra 6-Ÿ da tekislikdagi to`plamlar uchun amalga oshirilgan

konstruksiyani yetarlicha umumiy abstrakt talqin qilish mumkin. Keyingi ikki

paragraar shu masalaga bag`ishlanadi.

7.1-ta'rif. Agar µ to`plam funksiyasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: