M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

ga teng emas va b

n

raqam a

nn

ga teng emas va hokazo. Tan-

langan b

1

, b

2

, . . . , b

n

, . . .

raqamlar yordamida [0, 1] ga tegishli bo`lgan β =

0, b

1

b

2

b

3

. . . b

n

. . .

kasrni aniqlaymiz. Aniqlanishiga ko`ra, β son a

1

, a

2

, . . . ,

a

n

, . . .

kasrlarning birortasiga ham teng emas, chunki β kasr a

1

kasrdan ver-

guldan keyingi birinchi raqami bilan, a

2

dan verguldan keyingi ikkinchi raqami

28

bilan va hokazo a

n

dan verguldan keyingi n raqami bilan farq qiladi. Shun-

day qilib, [0, 1] kesma elementlaridan tashkil topgan hech bir sanoqli to`plam

[0, 1]

ni to`liq qoplay olmaydi.

∆

4.1-ta'rif. [0, 1] kesma va unga ekvivalent bo`lgan to`plamlar kontinuum

quvvatli to`plamlar deyiladi.

Shunday qilib, [0, 1] kesma sanoqsiz bo`lgan to`plamga misol bo`ladi. En-

di [0, 1] kesmaga ekvivalent bo`lgan, ya'ni kontinuum quvvatli to`plamlarga

misollar keltiramiz.

4.1-misol. [0, 1] kesma va (0, 1) intervalning ekvivalent to`plamlar ekan-

ligini isbotlang.

Isbot. Buning uchun (0, 1) dan A = {a

1

, a

2

, . . . , a

n

, . . .}

sanoqli qism

to`plamni ajratamiz va undan foydalanib, A

1

= {0, 1, a

1

, a

2

, . . . , a

n

, . . .} ⊂

[0, 1]

to`plamni quramiz. Ushbu

ϕ : [0, 1] → (0, 1) ,

ϕ (x) = x,

x ∈ [0, 1] \A

1

ϕ(0) = a

1

, ϕ(1) = a

2

, ϕ(a

n

) = a

n+2

, n ≥ 1

akslantirish [0, 1] va (0, 1) to`plamlar o`rtasida biyektiv moslik o`rnatadi.

4.2. 3.4-misolga asosan [0, 1] kesma ixtiyoriy [a, b] kesmaga va (a, b)

intervalga ekvivalent bo`ladi, ya'ni [a, b] va (a, b) to`plamlar ham sanoq-

sizdir.

4.3. 3.5 va 4.1-misollardan sonlar o`qidagi barcha nuqtalar to`plami [0, 1]

kesmaga ekvivalent ekanligi kelib chiqadi.

4.4. Tekislikdagi barcha nuqtalar to`plami, sfera sirtidagi nuqtalar to`plami,

uch o`lchamli fazodagi nuqtalar to`plami, sfera ichidagi nuqtalar to`plami va

hokazo to`plamlarga misol keltirish mumkinki, ularning har biri [0, 1] ga ek-

vivalentdir.

4.5. Tekislikdagi hamma to`g`ri chiziqlar to`plami [0, 1] kesmaga ekviva-

lentdir.

29

4.6. Bir yoki bir nechta o`zgaruvchining uzluksiz funksiyalari to`plami ham

[0, 1]

ga ekvivalentdir.

Sonlar o`qida murakkabroq kontinuum quvvatli to`plamga misol qaraymiz.

Qaralayotgan bu to`plam Kantor to`plami, yoki Kantor mukammal to`plami

nomi bilan taniqli.

4.7. Kantor to`plamini kontinuum quvvatli ekanligini ko`rsating.

Yechish. Kantor to`plami quyidagicha quriladi. E = [0, 1] bo`lsin. Un-

dan

µ

1

3

,

2

3

¶

= K

1

intervalni chiqarib tashlaymiz, qolgan yopiq to`plamni F

1

bilan belgilaymiz. Keyin F

1

dan

µ

1

9

,

2

9

¶

va

µ

7

9

,

8

9

¶

intervallarni chiqarib

tashlaymiz, ularning birlashmasini K

2

orqali, qolgan yopiq to`plamni, ya'ni

F

1

\K

2

=

·

0,

1

9

¸ [ ·2

9

,

1

3

¸ [ ·2

3

,

7

9

¸ [ ·8

9

, 1

¸

to`plamni F

2

bilan (4.1-chizma) belgilaymiz. Bu to`rtta kesmaning har biri

teng 3 qismga bo`linib, o`rtadagi uzunligi 3

−3

teng bo`lgan interval chiqarib

tashlanadi. Chiqarib tashlangan

µ

1

27

,

2

27

¶ [ µ 7

27

,

8

27

¶ [ µ19

27

,

20

27

¶ [ µ25

27

,

26

27

¶

(4.2)

to`plamni K

3

bilan F

2

\K

3

ni esa F

3

bilan (4.1-chizma) belgilaymiz. Bu

jarayonni cheksiz davom ettirib, yopiq to`plamlarning kamayuvchi F

n

ketma-

ketligini hosil qilamiz. Agar

K =

∞

\

n=1

F

n

deb belgilasak, K yopiq to`plam bo`ladi. U [0, 1] kesmadan sanoqli sondagi

K

1

, K

2

, . . . K

n

, . . .

intervallarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo`ladi. Hosil

bo`lgan K to`plam Kantor to`plami deyiladi.

Endi K to`plamning strukturasini o`rganamiz. Ravshanki, [0, 1] kesmadan

chiqarib tashlangan intervallarning oxirlari bo`lgan

0, 1,

1

3

,

2

3

,

1

9

,

2

9

,

7

9

,

8

9

, · · ·

(4.3)

30

nuqtalar K ga tegishli bo`ladi. Biroq K to`plam faqat shu nuqtalardan iborat

emas. [0, 1] kesmadagi K ga tegishli bo`lgan nuqtalarni quyidagicha xarak-

terlash mumkin. Buning uchun [0, 1] kesmadagi har bir x ni uchlik sistemada

yozamiz:

x =

a

1

3

+

a

2

3

2

+

a

3

3

3

+ . . . +

a

n

3

n

+ . . .

bu yerda a

n

sonlar 0, 1 va 2 raqamlardan birini qabul qilishi mumkin. O`nli

kasrlar holidagidek bu yerda ham ba'zi sonlarni ikki xil ko`rinishda yozish

mumkin. Masalan,

1

3

=

1

3

+

0

3

2

+ · · · +

0

3

n

+ · · · =

0

3

+

2

3

2

+ · · · +

2

3

n

+ · · ·

4.1-chizma

Endi K to`plamga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasi haqida

kr yuritamiz. Ravshanki,

µ

1

3

,

2

3

¶

intervaldagi sonlarning uchlik sistemadagi

yoyilmasida a

1

son albatta 1 ga teng bo`ladi,

µ

1

9

,

2

9

¶

va

µ

7

9

,

8

9

¶

inter-

vallarga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida a

2

son albatta 1

ga teng bo`ladi. Xuddi shunga o`xshash

µ

1

27

,

2

27

¶

,

µ

7

27

,

8

27

¶

,

µ

19

27

,

20

27

¶

va

µ

25

27

,

26

27

¶

intervallarga tegishli sonlar uchun ularning uchlik sistemada-

gi yoyilmalarida a

3

son albatta 1 ga teng bo`ladi va hokazo. Shunday qilib,

ixtiyoriy x ∈ [0, 1]\K son uchun uning uchlik sistemadagi yoyilmasida qat-

31

nashuvchi a

1

, a

2

, . . . a

n

, . . .

sonlarning kamida bittasi 1 ga teng. Aytilgan mu-

lohazalardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: K to`plamga kamida bir usul bi-

lan uchlik kasr ko`rinishida tasvirlanuvchi shunday x ∈ [0, 1] sonlar kiradiki,

ularga mos a

1

, a

2

, . . . a

n

, . . .

ketma-ketlikda 1 raqami biror marta ham uchra-

maydi. Shunday qilib, har bir x ∈ K uchun

a

1

, a

2

, . . . a

n

, . . .

(4.4)

ketma-ketlikni mos qo`yish mumkin, bu yerda a

n

raqam 0 yoki 2 ni qabul

qiladi. Bunday ketma-ketliklar to`plami kontinuum quvvatli to`plamni tashkil

qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun har bir (4.4) ketma-ketlikka

b

1

, b

2

, . . . , b

n

, . . .

(4.5)

ketma-ketlikni shunday mos qo`yamizki, agar a

n

= 0

bo`lsa, b

n

= 0

bo`ladi,

agar a

n

= 2

bo`lsa, b

n

= 1

bo`ladi. Har bir (4.5) ketma-ketlikni, [0, 1]

kesmadagi biror x sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday

qilib, K to`plamni [0, 1] ga biyektiv akslantirishni olamiz. Bu yerdan K

ning kontinuum quvvatli to`plam ekanligi kelib chiqadi. (4.3) ketma-ketlikdagi

sonlar to`plami sanoqli bo`lgani uchun, ular K ni to`la qoplamaydi.

∆

Biz ko`rsatdikki, K kontinuum quvvatga ega, ya'ni [0, 1] kesma bilan

K

to`plam o`rtasida biyektiv moslik mavjud. Bundan tashqari Kantorning

mukammal to`plami bir qator ajoyib xossalarga ega. Masalan:

1) Kantor to`plamining o`lchovi nolga teng (6.3-misolga qarang).

2) Kantor to`plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.

3) Kantor to`plamining ichki nuqtalari mavjud emas.

4) Kantor to`plami [0, 1] kesmaning hech yerida zich emas.

Bu xossalarni mustaqil isbotlashni o`quvchiga havola qilamiz.

Endi to`plamlar nazariyasidagi asosiy teoremalardan biri Kantor Bern-

shteyn teoremasini isbotlaymiz.

32

4.2-teorema (KantorBernshteyn). Ixtiyoriy A va B cheksiz to`plamlar

berilgan bo`lsin. Agar A to`plamni B to`plamning B

1

qism to`plamiga biyek-

tiv akslantiruvchi f akslantirish va B to`plamni A to`plamning A

1

qism

to`plamiga biyektiv akslantiruvchi g akslantirish mavjud bo`lsa, u holda A va

B

to`plamlar ekvivalentdir.

Isbot. Umumiylikni chegaralamasdan, A va B to`plamlar kesishmaydi

deb faraz qilishimiz mumkin. Ixtiyoriy x = x

0

∈ A

elementni olamiz va

{x

n

}

ketma-ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar B to`plamda g(x) = x

0

shartni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo`lsa, uni x

1

deb belgilaymiz.

Agar A to`plamda f(x) = x

1

tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud

bo`lsa, uni x

2

deb belgilaymiz. Aytaylik x

n

element aniqlangan bo`lsin. Agar

n

juft bo`lsa, u holda x

n+1

orqali B dagi shunday elementni tanlaymizki (agar

bunday element mavjud bo`lsa), x

n

= g(x

n+1

)

shart bajarilsin, agar n toq

bo`lsa, x

n+1

−A

dagi shunday elementki (agar u mavjud bo`lsa), f(x

n+1

) = x

n

shart bajarilsin. Bu yerda ikki holat sodir bo`lishi mumkin.

1. Biror n da ko`rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi x

n+1

element mav-

jud bo`lmaydi. Bu holda n nomer x elementning tartib soni deyiladi.

2. Cheksiz {x

n

}

ketma-ketlikka ega bo`lamiz. Bu holda x elementning

tartibi cheksiz deyiladi.

Endi A to`plamni uchta to`plamga ajratamiz. Juft tartibli elementlardan

tashkil bo`lgan qism to`plamni A

E

orqali, toq tartibli elementlardan tashkil

bo`lgan qism to`plamni A

O

orqali va cheksiz tartibli elementlardan tashkil

bo`lgan qism to`plamni A

I

orqali belgilaymiz. B to`plamni ham xuddi shun-

day B

E

, B

O

va B

I

qismlarga ajratamiz. Tushunish qiyin emaski, f akslan-

tirish A

E

ni B

O

ga va A

I

ni B

I

ga akslantiradi, g

−1

akslantirish esa A

O

ni B

E

ga akslantiradi. Shunday qilib, A

E

∪ A

I

da f ga teng va A

O

da g

−1

ga teng ψ akslantirish A to`plamni B to`plamga biyektiv akslantiradi. ∆

33

4.1 To`plam quvvati tushunchasi. Agar ikkita chekli to`plam ekviva-

lent bo`lsa, ularning elementlari soni teng bo`ladi. Agar A va B to`plamlar

ekvivalent bo`lsa, u holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib,

quvvat ixtiyoriy ikki ekvivalent to`plamlar uchun umumiylik xususiyatidir.

Chekli to`plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi to`plam elementlari soni

tushunchasi bilan ustma-ust tushadi. Natural sonlar to`plami va unga ekviva-

lent to`plam quvvati uchun ℵ

0

(alef nol deb o`qiladi) belgi ishlatiladi. [0, 1]

kesmadagi barcha haqiqiy sonlar to`plamiga ekvivalent to`plamlar haqida, ular

kontinuum quvvat ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki ℵ simvol

ishlatiladi. ℵ

0

va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda chuqur muam-

mo hisoblanadi. Analizda uchraydigan cheksiz to`plamlarning deyarli barchasi

yoki ℵ

0

, yoki c quvvatga ega.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Sonlar o`qidagi oxirlari ratsional bo`lgan barcha intervallar to`plamining

sanoqli ekanligini isbotlang.

2.

Tekislikdagi ratsional koordinatali nuqtalar to`plamining sanoqli ekanli-

gini isbotlang.

3.

Ixtiyoriy cheksiz M va sanoqli A to`plamlar uchun M ∪A ∼ M muno-

sabatni isbotlang.

4.

Ikkita har xil cheksiz o`nli kasrli yoyilmalarga ega bo`lgan sonlar to`p-

lamining sanoqli ekanligini isbotlang.

5.

Barcha irratsional sonlar to`plamining sanoqsiz ekanligini isbotlang.

6.

Barcha irratsional sonlar to`plamining kontinuum quvvatga ega ekanli-

gini isbotlang.

34

7.

Koordinata boshidan o`tuvchi barcha to`g`ri chiziqlar to`plami [0, 1]

to`plamga ekvivalentmi?

5- §. To`plamlar sistemalari

5.1. To`plamlar halqasi. Elementlari to`plamlardan iborat to`plam to`p-

lamlar sistemasi deyiladi. Biz asosan oldindan berilgan X to`plamning qism

to`plamlaridan iborat sistemalarni qaraymiz. To`plamlar sistemalarini belgi-

lash uchun biz gotik alifbosining bosh hararidan foydalanamiz. Bizni asosan

to`plamlar ustidagi ba'zi amallarga nisbatan yopiq bo`lgan sistemalar qiziqti-

radi.

5.1-ta'rif. Agar S to`plamlar sistemasi simmetrik ayirma va kesishma

amallariga nisbatan yopiq, ya'ni ixtiyoriy A, B ∈ S to`plamlar uchun

A∆B ∈ S

va A ∩ B ∈ S bo`lsa, u holda S to`plamlar sistemasiga halqa

deyiladi.

To`plamlar halqasi quyidagi xossalarga ega.

5.1-xossa. Agar S to`plamlar sistemasi halqa bo`lsa, u holda S birlashma

va ayirma amallariga nisbatan ham yopiq bo`ladi.

Isbot. Ixtiyoriy A, B to`plamlar uchun A ∪ B = (A∆B)∆(A ∩ B) va

A\B = A∆(A ∩ B)

tengliklar o`rinli. Bu tengliklardan hamda S sistema

halqa ekanligidan A ∪ B ∈ S va A\B ∈ S munosabatlar kelib chiqadi.

Demak, halqa birlashma va ayirma amallariga nisbatan ham yopiq sistema

bo`lar ekan.

∆

5.2-xossa. Agar S to`plamlar sistemasi halqa bo`lsa, u holda S chekli

sondagi birlashma va kesishma amallariga nisbatan ham yopiq bo`ladi.

Isbot. Agar S to`plamlar sistemasi halqa bo`lsa, u holda, 5.1-xossaga ko`ra

S

sistema o`zining A

1

va A

2

to`plamlari bilan birgalikda ularning birlashmasi

35

va kesishmasini ham saqlaydi. Chekli induktiv qadamdan keyin S sistema

C =

n

[

k=1

A

k

,

D =

m

\

k=1

B

k

, A

k

, B

k

∈ S

ko`rinishdagi ixtiyoriy chekli yig`indi va kesishmani ham o`zida saqlashi kelib

chiqadi. Ushbu A\A = ∅ tenglik ko`rsatadiki, har qanday halqa o`zida bo`sh

to`plamni saqlaydi. Faqat bo`sh to`plamdan iborat sistema mumkin bo`lgan

halqalar ichida eng minimali bo`ladi.

∆

Agar S to`plamlar sistemasida shunday E ∈ S to`plam mavjud bo`lib,

ixtiyoriy A ∈ S uchun A ∩ E = A bo`lsa, E to`plam S sistemaning bir-

lik elementi yoki biri deyiladi. Sistemaning biri deganda shu sistemadagi

maksimal to`plam tushuniladi. Hamma sistemalar ham maksimal to`plamga

ega bo`lavermaydi. Masalan, natural sonlar to`plamining barcha chekli qism

to`plamlaridan iborat sistemasida maksimal to`plam mavjud emas.

5.2-ta'rif. Birlik elementga ega bo`lgan to`plamlar halqasi algebra deyiladi.

5.1-misol. Ixtiyoriy A to`plam uchun uning barcha qism to`plamlaridan

tuzilgan A(A)− sistema, biri E = A bo`lgan algebra bo`ladi.

5.2. Ixtiyoriy A to`plam uchun uning barcha chekli qism to`plamlaridan

uzilgan sistema halqa bo`ladi. Bu halqa algebra bo`lishi uchun A chekli to`plam

bo`lishi zarur va yetarli.

5.3. Ixtiyoriy bo`shmas A to`plam uchun A va ∅ to`plamlardan uzilgan

{A, ∅}

sistema, biri E = A bo`lgan algebra bo`ladi.

5.4. Sonlar o`qidagi barcha chegaralangan to`plamlar sistemasi halqa bo`ladi,

ammo algebra bo`lmaydi.

5.1-teorema. Ixtiyoriy {R

α

}

halqalar istemasi uchun ularning kesishmasi

R =

T

α

R

α

yana halqa bo`ladi.

Isbot. A, B ∈ R =

T

α

R

α

bo`lsin, u holda ixtiyoriy α da A, B ∈ R

α

bo`ladi. R

α

halqa bo`lganligi uchun A∆B ∈ R

α

, A ∩ B ∈ R

α

.

U holda

A∆B ∈ R

va A ∩ B ∈ R.

∆

36

5.2-teorema. Ixtiyoriy bo`shmas S to`plamlar istemasi uchun S ni o`zi-

da saqlovchi va S ni saqlovchi barcha R halqalarda saqlanuvchi yagona

M (S)

minimal halqa mavjud.

Isbot. Dastlab X =

S

A∈S

A

to`plamni uzamiz. Ma'lumki, X to`plam-

ning barcha qism to`plamlaridan tuzilgan A (X) sistema algebra bo`ladi,

ya'ni xususiy holda halqa bo`ladi va S ni o`zida saqlaydi. Demak, S ni

saqlovchi kamida bitta halqa mavjud ekan. Endi S ni o`zida saqlovchi ham-

ma R halqalar sistemasini

P

bilan belgilaymiz. Isbotlangan 5.1-teoremaga

ko`ra B =

T

R∈Σ

R

sistema halqa bo`ladi va S ni o`zida saqlaydi. Ravshanki,

izlanayotgan sistema B ga teng. Haqiqatan ham, S ni o`zida saqlovchi ixti-

yoriy R

∗

halqani qarasak, kesishma R

∗

T

A(X)

ham

P

sistemadagi halqa

bo`ladi, demak B ⊂ R

∗

.

Shunday ekan, B haqiqatan ham, minimallik ta-

labini qanoatlantiradi. Bu halqa S sistema ustidagi minimal halqa deyiladi