M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

Isbot. Sodda funksiya integrali ta'riga ko`ra

Z

A

k · f (x)dµ =

X

i

k · f

i

µ(A

i

) = k

X

i

f

i

µ(A

i

) = k

Z

A

f (x)dµ.

∆

C) A to`plamda chegaralangan f sodda funksiya integrallanuvchidir. Agar

A

da |f(x)| ≤ M bo`lsa, u holda quyidagi tengsizlik o`rinli

¯

¯

¯

¯

Z

A

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤ M · µ(A).

Isbot. Sodda funksiya integrali ta'ridan

¯

¯

¯

¯

Z

A

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

¯

X

i

f

i

µ(A

i

)

¯

¯

¯

¯

¯

≤

X

i

|f

i

| µ(A

i

) ≤ M

X

i

µ(A

i

) = Mµ(A). ∆

Bu paragrafni quyidagi sodda funksiyaning Lebeg integralini hisoblash bilan

yakunlaymiz.

11.3-misol. A = (0, 1] da f funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

f (x) = n,

agar x ∈ A

n

=

µ

1

2

n

,

1

2

n−1

¸

, n ∈ N.

f

sodda funksiya A = (0, 1] to`plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchimi?

Agar integrallanuvchi bo`lsa, uning integralini hisoblang.

Yechish. Ma'lumki,

∞

[

n=1

A

n

= (0, 1] ,

A

n

\

A

m

= ∅, n 6= m.

va A

n

= {x ∈ A : f (x) = n}

tenglik o`rinli. Sodda funksiyalar uchun Lebeg

integrali ta'riga ko`ra,

∞

X

n=1

n · 2

−n

(11.5)

qator yaqinlashuvchi bo`lsa, f sodda funksiya A = (0, 1] da integrallanuvchi

bo`ladi. Bu holda musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi Dalamber alo-

matidan foydalanish qulay.

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= lim

n→∞

n + 1

2

n+1

·

2

n

n

=

1

2

< 1.

110

Demak, (11.5) qator yaqinlashuvchi. Bu yerdan f sodda funksiyaning A da

Lebeg ma'nosida integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi (11.5) qator

yig`indisini hisoblaymiz. Uning qismiy yig`indisi S

n

uchun

S

n

= 2S

n

− S

n

= 1 +

2

2

+

3

4

+

4

8

+ . . . +

n

2

n−1

−

−

µ

1

2

+

2

4

+

3

8

+ . . . +

n

2

n

¶

= 1 +

µ

2

2

−

1

2

¶

+

µ

3

4

−

2

4

¶

+ . . . +

+

µ

n

2

n−1

−

n − 1

2

n−1

¶

−

n

2

n

= 1 +

1

2

+

1

4

+ . . . +

1

2

n−1

−

n

2

n

.

Bu tenglikda n → ∞ da limitga o`tib, ( b

n

=

1

2

n−1

cheksiz kamayuvchi geo-

metrik progressiya yig`indisidan foydalaniladi)

Z

(0, 1]

f (x)dµ = lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

µ

1(1 −

1

2

n

)

1 −

1

2

¶

− lim

n→∞

n

2

n

= 2

ekanligini olamiz.

Matematik analiz kursidan ma'lumki ([4] ga qarang) f funksiya Riman

ma'nosida integrallanuvchi bo`lishi uchun, uning chegaralangan bo`lishi zarur.

Chegaralanmagan funksiyalar uchun Riman integrali xosmas integral ma'no-

sida ta'rianadi. 11.1-misolda qaralgan f funksiya (0, 1] da chegaralanma-

gan. Lebeg integrali ta'rida funksiyaning chegaralangan bo`lishi muhim emas,

ya'ni chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar uchun Lebeg integrali bir

xilda ta'rianadi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

f (x) = [x], x ∈ [0, 5) = A

ning sodda funksiya ekanligini ko`rsating

va uning A to`plam bo`yicha olingan integralini hisoblang.

2.

Sodda funksiyalar ko`paytmasi yana sodda funksiya bo`lishini isbotlang.

3.

Dirixle funksiyasini A = [0, 3] to`plamda sodda funksiya ekanligini

ta'rif yordamida ko`rsating. Uning integralini hisoblang.

111

4.

Riman funksiyasining A = [0, 1] to`plamda sodda funksiya ekanligini

ta'rif yordamida ko`rsating. Uning integralini hisoblang.

12- §. Lebeg integralining xossalari

Bu paragrafda Lebeg integralining asosiy xossalari o`rganiladi. Biz doim

chekli o`lchovli A (µ (A) < +∞) to`plam va unda aniqlangan f o`lchovli

funksiyani qaraymiz.

12.1-ta'rif. Agar A to`plamda f funksiyaga tekis yaqinlashuvchi, inte-

grallanuvchi sodda funksiyalarning {f

n

}

ketma-ketligi mavjud bo`lsa, f funk-

siya A to`plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali

lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

A

f (x)dµ

(12.1)

tenglik bilan aniqlanadi.

Bu ta'rif korrekt, ya'ni kamchiliklardan holi bo`lishi uchun quyidagi shartlar

bajarilishi kerak:

1) Har qanday tekis yaqinlashuvchi va A to`plamda integrallanuvchi sodda

funksiyalar ketma-ketligi uchun (12.1) limit mavjud bo`lishi kerak.

2) Berilgan f funksiya uchun (12.1) limit {f

n

}

ketma-ketlikning tanla-

nishiga bog`liq emas.

3) Agar f funksiya sodda funksiya bo`lsa, bu ta'rif sodda funksiyalar uchun

berilgan 11.2-ta'rif bilan usma-ust tushishi kerak.

1-3 shartlarning bajarilishini ko`rsatamiz.

1) Sodda funksiyalar uchun integralning A, B va C xossalaridan

¯

¯

¯

¯

Z

A

f

n

(x)dµ −

Z

A

f

m

(x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

¯

¯

¯

¯

Z

A

(f

n

(x) − f

m

(x)) dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

µ(A) · sup

x∈A

|f

n

(x) − f

m

(x)|

tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa (12.1) limitning mavjudligini isbotlaydi.

112

2) (12.1) limitning {f

n

}

ketma-ketlikning tanlanishiga bog`liq emasligini

isbotlaymiz. Faraz qilaylik, f ga tekis yaqinlashuvchi ikkita {f

n

}

va {f

0

n

}

ketma-ketliklar uchun (12.1) limit har xil qiymatlar qabul qilsin. U holda

f

1

, f

0

1

, f

2

, f

0

2

, . . . , f

n

, f

0

n

, . . .

ketma-ketlik f ga tekis yaqinlashadi, lekin bu ketma-

ketlik uchun (12.1) limit mavjud emas. Bu esa hozirgina isbotlangan 1) shartga

zid.

3) shartni isbotlash uchun ixtiyoriy n da f

n

(x) = f (x)

deb olish yetarli.

Endi 12.1-ta'rifga teng kuchli bo`lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz.

12.2-ta'rif. Agar har bir n ∈ N uchun (11.1) tenglik bilan aniqlanuvchi

f

but

n

sodda funksiya integrallanuvchi bo`lsa, u holda f funksiya A to`plamda

Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali

Z

A

f (x) dµ = lim

n→∞

Z

A

f

but

n

(x) dµ.

12.1. Lebeg integralining asosiy xossalari.

I. f(x) = 1, x ∈ A sodda funksiya integrallanuvchi va

Z

A

1 · dµ = µ(A).

II. Bir jinslilik xossasi. Agar f funksiya A to`plamda integrallanuvchi

bo`lsa, u holda ixtiyoriy k ∈ R o`zgarmas uchun k · f funksiya ham A

to`plamda integrallanuvchi va quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

k · f (x)dµ = k

Z

A

f (x)dµ.

Isbot. Bu xossaning isboti sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining B

xossasidan limitga o`tish natijasida, o`zgarmasni limit belgisi ostidan chiqarish

mumkin degan qoidadan kelib chiqadi. Ya'ni, agar {f

n

}

integrallanuvchi sod-

da funksiyalar ketma-ketligi f funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda {k · f

n

}

integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi k · f funksiyaga tekis yaqin-

lashadi. Demak, k · f funksiya integrallanuvchi va

Z

A

k · f (x)dµ = lim

n→∞

Z

A

k · f

n

(x)dµ = k · lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ = k

Z

A

f (x)dµ

113

tenglik o`rinli.

∆

III. Additivlik xossasi. Agar f va g funksiyalar A to`plamda integralla-

nuvchi bo`lsa, u holda f + g funksiya ham A to`plamda integrallanuvchi va

quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

[f (x) + g(x)]dµ =

Z

A

f (x)dµ +

Z

A

g(x)dµ.

Isbot. Agar {f

n

}

integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi f funk-

siyaga, {g

n

}

integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi g funksiya-

ga tekis yaqinlashsa, u holda {f

n

+ g

n

}

integrallanuvchi sodda funksiyalar

ketma-ketligi f + g funksiyaga tekis yaqinlashadi. Demak, f + g funksiya

integrallanuvchi va sodda funksiyalar uchun integralning A xossasiga ko`ra

Z

A

[f (x) + g(x)] dµ = lim

n→∞

Z

A

[f

n

(x) + g

n

(x)]dµ =

= lim

n→∞

Z

A

f

n

(x) dµ + lim

n→∞

Z

A

g

n

(x) dµ =

Z

A

f (x) dµ +

Z

A

g(x) dµ

tenglik o`rinli.

∆

Shuningdek quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

f (x) dµ =

Z

A

1

f (x) dµ+

Z

A

2

f (x) dµ, A = A

1

∪A

2

, A

1

∩A

2

= ∅. (12.2)

IV. A to`plamda chegaralangan f funksiya integrallanuvchidir.

Isbot. Agar f funksiya A to`plamda chegaralangan bo`lsa, u holda (11.1)

tenglik bilan aniqlanuvchi f

but

n

sodda funksiya ixtiyoriy n ∈ N da cheklita

qiymat qabul qiladi. Demak, 11.2-ta'rifga ko`ra f

but

n

sodda funksiya integral-

lanuvchi. 12.2-ta'rifga ko`ra f ham integrallanuvchi.

∆

V. Agar f(x) ≥ 0, x ∈ A funksiya integrallanuvchi bo`lsa, u holda

Z

A

f (x)dµ ≥ 0.

Isbot. Bu xossa Lebeg integralining monotonlik xossasi deyiladi. Uning

isboti sodda funksiyalar uchun to`g`ridan-to`g`ri ta'rifdan kelib chiqadi. Agar

114

f

manymas funksiya bo`lsa, u holda unga tekis yaqinlashuvchi f

but

n

sodda

funksiyalar ketma-ketligi ham manymas. Bundan

Z

A

f

but

n

(x) dµ =

1

n

Z

A

[nf (x)] dµ ≥ 0.

Bu yerdan n → ∞ da limitga o`tib, V xossaning isbotiga ega bo`lamiz.

∆

Integralning monotonlik xossasidan quyidagi tasdiq kelib chiqadi. Agar

f (x) ≥ g(x)

bo`lsa, u holda

Z

A

f (x)dµ ≥

Z

A

g(x)dµ

tengsizlik o`rinli. Shuningdek, agar m ≤ f(x) ≤ M, x ∈ A bo`lsa, u holda

mµ(A) ≤

Z

A

f (x)dµ ≤ M µ(A)

tengsizliklar o`rinli.

VI. Agar µ(A) = 0 bo`lsa, u holda ixtiyoriy f : A → R uchun

Z

A

f (x)dµ = 0.

VI. Agar f ∼ g (ya'ni deyarli barcha x ∈ A lar uchun f(x) = g(x) )

bo`lib, ulardan biri integrallanuvchi bo`lsa, u holda ikkinchisi ham integral-

lanuvchi va quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

f (x)dµ =

Z

A

g(x)dµ .

Bu tasdiqlar Lebeg integralining ta'ridan bevosita kelib chiqadi.

VII. Agar ϕ funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lib, deyarli barcha

x ∈ A

lar uchun |f(x)| ≤ ϕ(x) bo`lsa, u holda f funksiya ham A to`plamda

integrallanuvchi bo`ladi.

Isbot. Haqiqatan ham, agar f va ϕ sodda funksiyalar bo`lsa, u holda

A

to`plamdan o`lchovi nol bo`lgan A

1

= {x ∈ A : |f (x)| > ϕ(x)}

to`plamni

chiqarib tashlab, qolgan A

0

to`plamda |f(x)| ≤ ϕ(x) tengsizlikni hosil qi-

lamiz. A

0

to`plamni chekli yoki sanoqli sondagi A

0

n

to'plamlarning birlashmasi

115

ko`rinishida shunday tasvirlaymizki, har bir A

0

n

to`plamda f va ϕ funksiyalar

o`zgarmas bo`lsin, ya'ni

f (x) = a

n

,

ϕ (x) = b

n

,

x ∈ A

0

n

.

Shartga ko`ra |a

n

| ≤ b

n

tengsizlik bajariladi. ϕ funksiya integrallanuvchi

bo`lganligi uchun hamda (12.2) va VI xossadan foydalanib

∞

X

n=1

| a

n

| µ (A

0

n

) ≤

∞

X

n=1

b

n

µ (A

0

n

) =

Z

A

0

ϕ (x) dµ =

Z

A

0

ϕ (x) dµ +

Z

A

1

ϕ (x) dµ =

Z

A

ϕ (x) dµ

ni olamiz. Shuning uchun f ham integrallanuvchi va

¯

¯

¯

¯

Z

A

f (x) dµ

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

Z

A

0

f (x) dµ

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

¯

X

n

a

n

µ (A

0

n

)

¯

¯

¯

¯

¯

≤

X

n

| a

n

| µ (A

0

n

) =

=

Z

A

0

|f (x) | dµ ≤

Z

A

ϕ (x) dµ.

Endi umumiy holni qaraymiz.

f

but

n

(x) =

[nf (x)]

n

sodda funksiya ixtiyoriy n ∈ N da

|f

but

n

(x)| ≤ ϕ (x) + 1,

x ∈ A

0

tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, f

but

n

(x)

sodda funksiya integrallanuvchi.

12.2-ta'rifga ko`ra f funksiya ham integrallanuvchi.

∆

VIII. Quyidagi integrallar bir vaqtda mavjud yoki mavjud emas:

I

1

=

Z

A

f (x)dµ,

I

2

=

Z

A

|f (x)| dµ.

Isbot. VII xossadan foydalanib, ko`rsatish mumkinki, I

2

ning mavjudligi-

dan I

1

ning mavjudligi kelib chiqadi. Teskari tasdiq f sodda funksiya bo`lganda

116

bevosita ta'rifdan kelib chiqadi. Umumiy holni qaraymiz. f funksiya A da

integrallanuvchi bo`lgani uchun, unga tekis yaqinlashuvchi {f

n

}

integrallanuv-

chi, sodda funksiyalar ketma-ketligi mavjud. U holda

||f (x)| − |f

n

(x)|| ≤ |f (x) − f

n

(x)|

tengsizlikka ko`ra, {|f

n

|}

- integrallanuvchi, sodda funksiyalar ketma-ketligi

|f |

funksiyaga tekis yaqinlashadi. Shunday ekan, ta'rifga ko`ra, I

2

integral

mavjud.

∆

Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiya Riman ma'nosida integrallanuv-

chi bo`lishi shart emas.

12.1-misol. Dirixle funksiyasini [0, 2] kesmada Lebeg va Riman ma'nola-

rida integrallanuvchanlikka tekshiring.

Yechish. D sodda funksiya bo`lib, uning Lebeg integrali

Z

[0,2]

D(x)dµ = 1 · µ([0, 2] ∩ Q) + 0 · µ([0, 2]\Q) = 0.

Dirixle funksiyasi [0, 2] kesmada Riman ma'nosida integrallanuvchi emas.