M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

Buni ko`rsatish uchun [0, 2] kesmani teng n bo`lakka 0 = x

0

< x

1

<

x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= 2

nuqtalar yordamida bo`lamiz. Ma'lumki, Dirixle

funksiyasining [x

k−1

, x

k

]

bo`lakchadagi aniq yuqori chegarasi M

k

barcha

k ∈ {1, 2, . . . , n}

uchun 1 ga teng, Dirixle funksiyasining bu bo`lakchadagi

aniq quyi chegarasi m

k

esa 0 ga teng. Bu bo`linishga mos Darbu yig`indilarini

qaraymiz:

Ω

n

=

2

n

n

X

k=1

M

k

=

2

n

n

X

k=1

1 = 2,

ω

n

=

2

n

n

X

k=1

m

k

=

2

n

n

X

k=1

0 = 0.

Bu yerdan,

lim

n→∞

Ω

n

= 2,

lim

n→∞

ω

n

= 0

tengliklarga kelamiz. Demak, Dirixle funksiyasi [0, 2] kesmada Riman ma'no-

sida integrallanuvchi emas.

∆

117

IV,VI, VII va VIII xossalar Lebeg integrali uchun xos. Bu xossalar Riman

integrali uchun o`rinli emas. Hozir bularga misollar keltiramiz.

12.2-masala. IV va VI xossalar Riman integrali uchun o`rinli emasligiga

misol keltiring.

Yechish. [0, 2] kesmada Dirixle funksiyasini qaraymiz. U chegaralangan

va o`lchovli, demak IV xossaga ko`ra u Lebeg ma'nosida integrallanuvchi, lekin

Riman ma'nosida integrallanuvchi emas (12.1-misolga qarang). [0, 2] kesma-

da Dirixle D va nol θ(x) = 0 funksiyalarni qaraymiz. Ular [0, 2] kesmada

deyarli teng, shuning uchun VI-xossaga ko`ra

Z

[0,2]

D(x)dµ =

Z

[0,2]

θ(x)dµ = 0.

Lekin nol funksiya Riman ma'nosida integrallanuvchi, Dirixle funksiyasi D

esa Riman ma'nosida integrallanuvchi emas (12.1-misolga qarang).

∆

Lebeg integralining VII va VIII xossalari ham Riman integrali uchun o`rinli

emas. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin.

12.3-misol. Quyidagi funksiyalarni qaraymiz:

ϕ(x) = 2,

f (x) =







1, agar x ∈ Q,

−1, agar x ∈ R\Q.

Barcha x ∈ [0, 2] lar uchun |f(x)| ≤ ϕ(x) tengsizlik o`rinli. Lekin f

funksiya [0, 2] kesmada Riman ma'nosida integrallanuvchi emas. Bu tasdiq

D

ning Riman ma'nosida integrallanuvchi emasligiga o`xshash isbotlanadi.

Demak, VII xossa Riman integrali uchun o`rinli emas.

f

funksiya [0, 2] to`plamda Riman ma'nosida integrallanuvchi emas, am-

mo |f(x)| = 1 funksiya esa integrallanuvchi. Demak, VIII xossa Riman integ-

rali uchun o`rinli emas.

∆

12.2. Lebeg integralining σ− additivlik va absolyut uzluksizlik

xossalari. Yuqorida biz Lebeg integralining xossalarini tayinlangan A to`plam

118

bo`yicha keltirdik. Endi

F (A) =

Z

A

f (x)dµ

ifodani o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da aniqlangan, A to`plamning

funksiyasi sifatida qarab, Lebeg integralining ayrim xossalarini isbotlaymiz.

12.1-teorema (Lebeg integralining σ− additivlik xossasi). O`lchovli A to`p-

lam o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

o`lchovli to'plamlarning bir-

lashmasidan iborat bo`lsin, ya'ni

A =

∞

[

n=1

A

n

, A

i

\

A

j

= ∅,

i 6= j

va f funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lsin. U holda har bir A

n

to`plam bo`yicha f funksiyaning integrali mavjud,

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ

qator absolyut yaqinlashadi va quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

f (x)dµ =

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ.

(12.3)

Isbot. Avvalo teoremani y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .

qiymatlarni qabul qiluvchi f

sodda funksiya uchun isbotlaymiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

B

k

= {x ∈ A : f (x) = y

k

} ,

B

nk

= {x ∈ A

n

: f (x) = y

k

} = B

k

T

A

n

, B

k

=

S

n

B

nk

.

f

funksiya integrallanuvchi bo`lgani uchun

P

k

y

k

µ(B

k

)

qator absolyut yaqin-

lashuvchi bo`ladi. U holda

Z

A

f (x)dµ =

∞

X

k=1

y

k

µ(B

k

) =

∞

X

k=1

y

k

∞

X

n=1

µ(B

nk

) =

=

∞

X

k=1

∞

X

n=1

y

k

µ(B

nk

) =

∞

X

n=1

∞

X

k=1

y

k

µ(B

nk

) =

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ.

(12.4)

119

To`plam o`lchovi manymas bo`lgani uchun (12.4) tengliklar zanjiridagi barcha

qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

Endi f funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lgan ixtiyoriy funksiya

bo`lsin. U holda ixtiyoriy ε > 0 son uchun A da integrallanuvchi shunday

g

sodda funksiya mavjudki, barcha x ∈ A larda |f(x) − g(x)| < ε yoki

|f (x)| < |g(x)| + ε

tengsizlik bajariladi. Yuqorida isbotlanganiga ko`ra g

uchun

Z

A

g(x)dµ =

∞

X

n=1

Z

A

n

g(x)dµ

(12.5)

tenglik o`rinli va g har bir A

n

da integrallanuvchi hamda (12.5) qator ab-

solyut yaqinlashuvchi. g ning A

n

to`plamlarda integrallanuvchi ekanligidan

va |f(x)| < |g(x)| + ε tengsizlikdan f ning ham har bir A

n

to`plamda integ-

rallanuvchi ekanligi kelib chiqadi hamda

∞

X

n=1

¯

¯

¯

¯

Z

A

n

f (x)dµ −

Z

A

n

g(x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

≤

∞

X

n=1

Z

A

n

|f (x) − g(x)| dµ <

∞

X

n=1

εµ(A

n

) = εµ(A).

Bu esa (12.5) bilan birgalikda

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ

qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligiga va quyidagi bahoga olib keladi:

¯

¯

¯

¯

¯

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ −

Z

A

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯

¯

∞

X

n=1

Z

A

n

f (x)dµ −

∞

X

n=1

Z

A

n

g(x)dµ +

Z

A

g(x)dµ −

Z

A

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯

¯

≤

∞

X

n=1

¯

¯

¯

¯

Z

A

n

f (x)dµ −

Z

A

n

g(x)dµ

¯

¯

¯

¯ +

¯

¯

¯

¯

Z

A

f (x)dµ −

Z

A

g(x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤ 2εµ(A).

Bu yerda ε > 0 ixtiyoriy bo`lganligi uchun (12.3) tenglik o`rinli.

∆

120

12.1-natija. Agar f funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lsa, u holda

f

funksiya A to`plamning ixtiyoriy o`lchovli A

0

qismida ham integrallanuvchi

bo`ladi.

Endi ma'lum ma'noda 12.1-teoremaga teskari hisoblanuvchi quyidagi teo-

remani keltiramiz.

12.2-teorema. O`lchovli A to`plam o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

, . . . ,

A

n

, . . .

o`lchovli to'plamlarning birlashmasidan iborat bo`lsin, ya'ni

A =

∞

[

n=1

A

n

,

A

i

\

A

j

= ∅,

i 6= j.

Har bir A

n

to`plamda f funksiya integrallanuvchi va

∞

X

n=1

Z

A

n

|f (x)| dµ

(12.6)

qator yaqinlashuvchi bo`lsin. U holda f funksiya A to`plamda integrallanuvchi

va (12.3) tenglik o`rinli bo`ladi.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun f funksiyaning A to`plamda integral-

lanuvchi ekanligini ko`rsatish yetarli. (12.3) tenglik 12.1-teoremadan kelib chiqa-

di. Avvalo isbotni B

i

to`plamlarda f

i

qiymatlarni qabul qiluvchi f sodda

funksiya uchun keltiramiz Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

B

i

= {x ∈ A : f (x) = f

i

} ,

A

ni

= A

n

∩ B

i

.

U holda quyidagilar o`rinli

∪

n

A

ni

= B

i

va

Z

A

n

|f (x)| dµ =

X

i

|f

i

| µ(A

ni

).

(12.6) qatorning yaqinlashuvchiligidan

X

n

X

i

|f

i

| µ(A

ni

)

qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Yaqinlashuvchi musbat hadli qator

hadlarining o`rinlarini ixtiyoriy tartibda almashtirish mumkin. Shuning uchun

X

n

X

i

|f

i

| µ(A

ni

) =

X

i

|f

i

|

X

n

µ(A

ni

) =

X

i

|f

i

| µ(B

i

)

121

tenglik o`rinli. Oxirgi qatorning yaqinlashuvchiligi

Z

A

f (x)dµ =

X

i

f

i

µ(B

i

)

integralning mavjudligini bildiradi.

Umumiy holda ixtiyoriy ε > 0 son va f funksiya uchun shunday g sodda

funksiya mavjudki, barcha x ∈ A uchun

|f (x) − g(x)| < ε

(12.7)

tengsizlik o`rinli. U holda VII xossaga ko`ra, har bir A

n

to`plamda g funksiya-

ning integrali mavjud va

Z

A

n

|g(x)| dµ ≤

Z

A

n

|f (x)| dµ + εµ(A

n

)

tengsizlik o`rinli. (12.6) qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan, hamda

∞

X

n=1

µ(A

n

) = µ(A)

tenglikdan

∞

X

n=1

Z

A

n

|g(x)| dµ

qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Bundan g sodda funksiyaning

A

da integrallanuvchi ekanligi, (12.7) tengsizlikdan esa f funksiyaning A

to`plamda integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi.

∆

12.3-teorema (Chebishev tengsizligi). A o`lchovli to`plamda manymas

ϕ

funksiya va c > 0 son berilgan bo`lsin. U holda quyidagi tengsizlik o`rinli

µ ({x ∈ A : ϕ(x) ≥ c}) ≤

1

c

Z

A

ϕ(x)dµ.

Isbot. Aytaylik, A

c

= {x ∈ A : ϕ(x) ≥ c}

bo`lsin. (12.2) va V xossadan

Z

A

ϕ(x)dµ =

Z

A

c

ϕ(x)dµ +

Z

A\A

c

ϕ(x)dµ ≥

Z

A

c

ϕ(x)dµ ≥ c · µ(A

c

)

122

ni olamiz. Bu yerdan

µ(A

c

) ≤

1

c

Z

A

ϕ(x)dµ

tengsizlik kelib chiqadi.

∆

12.2-natija. Agar

Z

A

|f (x)| dµ = 0

bo`lsa, u holda deyarli barcha x ∈ A uchun f(x) = 0 bo`ladi.

Isbot. Chebishev tengsizligiga ko`ra ixtiyoriy n uchun

µ

µ½

x ∈ A : |f (x)| ≥

1

n

¾¶

≤ n

Z

A

|f (x)| dµ = 0

munosabatga egamiz. Bundan tashqari

{x ∈ A : f (x) 6= 0} =

∞

[

n=1

½

x ∈ A : |f (x)| ≥

1

n

¾

tenglik o`rinli. O`lchovning yarim additivlik xossasiga ko`ra,

µ ({x ∈ A : f (x) 6= 0}) ≤

∞

X

n=1

µ

µ½

x ∈ A : |f (x)| ≥

1

n

¾¶

= 0

ga ega bo`lamiz. Bu esa natijani isbotlaydi.

∆

12.4-teorema (Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasi). Agar f

funksiya A (µ(A) < ∞) to`plamda integrallanuvchi bo`lsa, u holda ixtiyoriy

ε > 0

son uchun shunday δ > 0 son mavjudki, µ(D) < δ tengsizlikni

qanoatlantiruvchi har qanday D ⊂ A to`plam uchun

¯

¯

¯

¯

Z

D

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯ < ε

tengsizlik o`rinli.

Isbot. Agar f funksiya A to`plamda M soni bilan chegaralangan bo`lsa,

teoremani isbotlash uchun δ =

ε

M

deb olish yetarli, chunki

¯

¯

¯

¯

Z

D

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯ < M · µ(D) < M · δ = M ·

ε

M

= ε.

123

Endi f ixtiyoriy o`lchovli va integrallanuvchi funksiya bo`lsin. Quyidagi bel-

gilashlarni kiritamiz:

A

n

= { x ∈ A : n ≤ |f (x) | < n + 1} ,

B

N

=

N

[

n=0

A

n

,

C

N

= A\B

N

.

U holda 12.1-teoremaga ko`ra,

Z

A

|f (x)| dµ =

∞

X

n=0

Z

A

n

|f (x)| dµ

tenglik o`rinli. Berilgan ε > 0 son uchun N ni shunday tanlaymizki,

∞

X

n=N +1

Z

A

n

|f (x)| dµ =

Z

C

N

|f (x)| dµ <

ε

2

tengsizlik bajarilsin va 0 < δ <

ε

2(N + 1)

bo`lsin. Agar µ(D) < δ bo`lsa, u

holda

¯

¯

¯

¯

Z

D

f (x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

Z

D

|f (x)| dµ =

Z

D∩B

N

|f (x)| dµ +

Z

D∩C

N

|f (x)| dµ ≤

≤ (N + 1)µ(D) +

Z

C

N

|f (x)| dµ < (N + 1)

ε

2(N + 1)

+

ε

2

< ε.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Agar f integrallanuvchi funksiya bo`lsa, u holda f

n

(x) =

1

n

[nf (x)]

sodda

funksiyaning integrallanuvchi bo`lishini isbotlang. Bu yerda [x] belgi x

sonning butun qismini bildiradi.

2.

Lebeg integralining VIII xossasi Riman integrali uchun o`rinlimi? 12.3-

misoldan foydalanib javobingizni asoslang.

3.

Agar f funksiya A to`plamda chegaralanmagan bo`lsa, u Lebeg ma'nosi-

da integrallanuvchi bo`lishi mumkinmi? 11.1-misol yordamida tushunti-

ring.

124

4.

f (x) = [2x

2

]

funksiyaning A = [0, 2] to`plam bo`yicha olingan Lebeg

integralini hisoblang.

13- §. Lebeg integrali belgisi ostida limitga o`tish

Integral belgisi ostida limitga o`tish yoki qatorlarni hadma-had integral-

lash masalasi ko`plab muammolarni yechishda uchraydi. Integral belgisi osti-

da limitga o`tishning yetarli shartlaridan biri berilgan ketma-ketlikning tekis

yaqinlishish shartidir.

13.1-teorema (Lebeg). Agar {f

n