M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

|f (x)| + f (x)

2

≥ 0,

f

−

(x) =

|f (x)| − f (x)

2

≥ 0.

(14.1)

132

14.4-ta'rif. Agar f

+

va f

−

manymas funksiyalar X to`plamda integral-

lanuvchi bo`lsa, u holda f funksiya X to`plamda integrallanuvchi deyiladi va

Z

X

f (x)dµ =

Z

X

f

+

(x)dµ −

Z

X

f

−

(x)dµ.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

F (x) = 2x+1, x ∈ R, µ

F

esa F − funksiya yordamida qurilgan Lebeg-

Stiltes o`lchovi bo`lsin. µ

F

o`lchov σ− chekli o`lchov bo`ladimi?

2.

f (x) =

1

[x]

2

, x ∈ A = [1, ∞)

funksiya A to`plamda integrallanuvchi-

mi?

133

V bob. Lebegning aniqmas integrali va uni dierensiallash

Bu bobda biz sonlar o`qida aniqlangan funksiyalarning Lebeg integrali-

ni qaraymiz, va bu integralni tayinlangan f da to`plam funksiyasi sifatida

o`rganamiz.

Agar f funksiya X ⊂ R o`lchovli to`plamda integrallanuvchi bo`lsa, u

holda integral

Z

A

f (x) dµ

barcha o`lchovli A ⊂ X lar uchun mavjud va u tayinlangan f da o`lchovli

to`plam funksiyasi bo`ladi. Bu integral Lebegning aniqmas integrali deyila-

di. X sonlar o`qidagi oraliq bo`lishi ham mumkin. Bu holda A to`plam X

dagi kesmadan iborat bo`lsa, yuqoridagi integral kesma chetki nuqtalarining

funksiyasi bo`ladi. Bu holda A kesma chap chetini tayinlab,

Z

[a, x]

f (t)dµ

integralning xossalarini o`rganamiz. Bu masala bizni sonlar o`qida aniqlangan

funksiyalarning ba'zi muhim sinarini qarashga olib keladi. Matematik analiz

kursidan ma'lumki [4], dierensiallash va integrallash amallari orasida quyida-

gi bog`lanish mavjud. Agar f − uzluksiz funksiya, F − uzluksiz hosilaga ega

funksiya bo`lsa, quyidagi tengliklar o`rinli.

d

dx

Z

x

a

f (t)dt = f (x),

(V.1)

Z

b

a

F

0

(t)dt = F (b) − F (a).

(V.2)

Quyidagicha savollar tug`iladi:

1. Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar uchun (V.1) tenglik o`rinlimi?

2. Qanday funksiyalar sin uchun (V.2) tenglik o`rinli?

Quyidagi uch paragraf shu savollarga javob berishga bag`ishlangan.

134

15- §. Monoton funksiyalar

Lebeg integrali

Φ(x) =

Z

[a, x]

f (t)dµ

(15.1)

ning xossalarini o`rganishni quyidagi sodda va muhim faktdan boshlaymiz.

Agar f manymas funksiya bo`lsa, u holda Φ monoton kamaymaydigan

funksiya bo`ladi. Har qanday integrallanuvchi f funksiya ikkita manymas

f

+

va f

−

integrallanuvchi funksiyalar ayirmasi shaklida tasvirlanadi

f (x) = f

+

(x) − f

−

(x),

bu yerda f

+

va f

−

lar (14.1) tenglik bilan aniqlanadi.

Shuning uchun (15.1) integral ikkita monoton kamaymaydigan funksiyalar-

ning ayirmasi shaklida ifodalanadi. Shu sababli yuqori chegarasi o`zgaruvchi

bo`lgan (15.1) integralni o`rganish, monoton funksiyalarning xossalarini tek-

shirish masalasiga kelar ekan. Monoton funksiyalar bir qator muhim xossalarga

ega. Quyida biz ularni bayon qilamiz.

Avvalo ba'zi kerakli tushunchalarni keltiramiz. h o`zgaruvchi miqdorning

haqiqiy musbat (many) sonli qiymatlar qabul qilib nolga intilishini h →

0 + (h → 0−)

shaklda belgilaymiz.

Haqiqiy sonlar to`plami R da aniqlangan f funksiya va x

0

∈ R

nuqta

berilgan bo`lsin. Agar

lim

h→0+

f (x

0

+ h) ( lim

h→0−

f (x

0

+ h))

limit mavjud bo`lsa, bu limitga f funksiyaning x

0

nuqtadagi o`ng (chap) li-

miti deyiladi va f(x

0

+0) (f (x

0

−0))

ko`rinishda belgilanadi. Agar f funksiya-

ning x

0

nuqtadagi o`ng (chap) limiti mavjud bo`lib,

f (x

0

+ 0) = f (x

0

) (f (x

0

) = f (x

0

− 0))

135

tenglik o`rinli bo`lsa, f funksiya x

0

nuqtada o`ngdan (chapdan) uzluksiz de-

yiladi. Agar f funksiyaning x

0

nuqtada o`ng va chap limitlari mavjud bo`lib,

f (x

0

+ 0) = f (x

0

) = f (x

0

− 0)

tenglik o`rinli bo`lsa, f funksiya x

0

nuqtada uzluksiz deyiladi. Agarda

f (x

0

− 0) 6= f (x

0

+ 0)

bo`lsa, f funksiya x

0

nuqtada birinchi tur uzilishga ega deyiladi, x

0

nuqta

esa f funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

f (x

0

+ 0) − f (x

0

− 0)

qiymatga f funksiyaning x

0

nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Agar f funksiyaning x

0

nuqtadagi o`ng va chap limitlaridan birortasi

mavjud bo`lmasa yoki birortasi cheksizga aylansa, bu nuqta f funksiyaning

ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

15.1-ta'rif. [a, b] kesmada aniqlangan f funksiya shu kesmadan olingan

har qanday x

1

, x

2

lar uchun x

1

< x

2

bo`lganda

f (x

1

) ≤ f (x

2

) (f (x

1

) ≥ f (x

2

) )

tengsizlikni qanoatlantirsa, f funksiya [a, b] kesmada kamaymaydigan

(o`smaymaydigan) funksiya deyiladi.

15.2-ta'rif. [a, b] kesmada aniqlangan f funksiya shu kesmadan olingan

har qanday x

1

, x

2

lar uchun x

1

< x

2

bo`lganda

f (x

1

) < f (x

2

) (f (x

1

) > f (x

2

) )

(15.2)

tengsizlikni qanoatlantirsa, f funksiya [a, b] kesmada o`suvchi (kamayuv-

chi) funksiya deyiladi.

Umuman, qisqalik uchun monoton funksiya deyilganda, 15.1 va 15.2-ta'rif-

larda keltirilgan funksiyalar tushuniladi.

136

Endi monoton funksiyalarning asosiy xossalarini keltiramiz.

1. [a, b] kesmada aniqlangan har qanday monoton funksiya shu kesmada

chegaralangan, o`lchovli va integrallanuvchi funksiyadir.

Isbot. Bu xossa isbotini kamaymaydigan funksiyalar uchun keltiramiz.

Haqiqatan ham, kamaymaydigan funksiya ta'riga ko`ra

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), ∀x ∈ [a, b].

(15.3)

Har qanday o`zgarmas c son uchun E(f < c) = { x : f(x) < c } to`plam yo

kesma, yo yarim interval (yo bo`sh to`plam) bo`ladi. Faraz qilaylik, f(x) < c

tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo`lsin va d bu to`plamning

aniq yuqori chegarasi bo`lsin. U holda E(f < c) to`plam yoki [a, d] kesma

yoki [a, d) yarim interval bo`ladi, bu to`plamlar o`lchovli. Demak, f o`lchovli

funksiya bo`ladi. f ning integrallanuvchiligi uning chegaralanganligidan (IV

xossaga qarang) kelib chiqadi.

2. Monoton funksiya faqat birinchi tur uzilish nuqtalarga ega bo`lishi mum-

kin.

Isbot. Faraz qilaylik, f kamaymaydigan funksiya, x

0

∈ [a, b]

ixtiyo-

riy nuqta va {x

n

} ⊂ [a, b], x

n

< x

0

, x

n

→ x

0

nuqtalar ketma-ketligi

bo`lsin. U holda {f(x

n

)}

ketma-ketlik ham quyidan, ham yuqoridan chega-

ralangan bo`ladi (masalan f(a) va f(b) qiymatlar bilan). Shunday ekan,

{f (x

n

)}

ketma-ketlik kamida bitta limitik nuqtaga ega. Agar {x

n

}

ketma-

ketlikni tartibini almashtirish yordamida x

0

ga o`sib yaqinlashuvchi {x

0

n

}

ketma-ketlikka almashtirsak, {f(x

0

n

)}

monoton ketma-ketlik bo`ladi. Uning

chegaralanganligidan {f(x

0

n

)}

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu limitni

f (x

0

− 0)

deb belgilaymiz. Yaqinlashuvchi {f(x

0

n

)}

ketma-ketlikning o`rinla-

rini almashtirishdan hosil bo`lgan {f(x

n

)}

ketma-ketlik ham f(x

0

− 0)

ga

yaqinlashadi. Hosil bo`lgan f(x

0

− 0)

limit {x

n

}

ketma-ketlikning tanla-

nishiga bog`liq emas. Haqiqatan ham, agar ikkinchi {y

n

}, y

n

< x

0

, y

n

→ x

0

137

ketma-ketlik uchun

lim

n→∞

f (y

n

) = A 6= f (x

0

− 0)

desak, u holda {x

n

}

va {y

n

}

ketma-ketliklarni birlashtirishdan hosil bo`lgan

{z

n

}

ketma-ketlik uchun {f(z

n

)}

ketma-ketlik yaqinlashuvchi emas. Bu esa

yuqorida olingan ixtiyoriy x

n

→ x

0

(x

n

< x

0

)

ketma-ketlik uchun {f(x

n

)}

ketma-ketlik yaqinlashadi degan xulosaga zid. Demak,

lim

n→∞

f (x

n

) = lim

n→∞

f (y

n

) = f (x

0

− 0).

Bu f(x

0

−0)

miqdor f funksiyaning x

0

nuqtadagi chap limiti bo`ladi. Shun-

ga o`xshash f(x

0

+ 0)

o`ng limitning mavjudligi ko`rsatiladi.

∆

3. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari ko`pi bilan sanoqlidir.

Isbot. [a, b] da monoton f funksiyaning ixtiyoriy chekli sondagi sakrash-

larining yig`indisi |f(b) − f(a)| dan oshmaydi. Har bir natural n uchun

sakrashi 1/n dan katta bo`lgan uzilish nuqtalari soni cheklidir. Barcha n lar

bo`yicha yig`ib, sakrashlar soni chekli yoki sanoqli ekanligiga kelamiz.

∆

Faraz qilaylik, f kamaymaydigan, chapdan uzluksiz funksiya bo`lsin. Bu

funksiyaning uzilish nuqtalarini x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

orqali va funksiyaning bu

nuqtalarga mos sakrashlarini h

1

, h

2

, . . . , h

n

, . . .

orqali belgilaymiz.

H(x) =

X

x

n



h

n

orqali aniqlangan funksiya f funksiyaning sakrash funksiyasi deyiladi. Bu

funksiya chapdan uzluksiz, kamaymaydigan funksiyadir.

ϕ(x) = f (x) − H(x)

shaklda aniqlangan funksiya uzluksiz, kamaymaydigan funksiya bo`ladi (mus-

taqil isbotlang). Natijada biz quyidagi xossaga ega bo`lamiz.

4. Chapdan (o`ngdan) uzluksiz bo`lgan har qanday monoton funksiyani

yagona usul bilan uzluksiz monoton funksiya va chapdan (o`ngdan) uzluksiz

138

bo`lgan sakrash funksiyasi yig`indisi shaklida tasvirlash mumkin. Ya'ni

f (x) = ϕ(x) + H(x).

Monoton funksiyalar ichida eng soddasi bu sakrash funksiyalaridir. Ular quyi-

dagicha quriladi. Bizga [a, b] da chekli yoki sanoqli sondagi x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

nuqtalar berilgan bo`lib, ularga musbat h

1

, h

2

, . . . , h

n

, . . .

sonlar mos qo`yilgan

bo`lsin. [a, b] kesmada H funksiyani quyidagicha aniqlaymiz

H(x) =

X

x

n



h

n

.

Ravshanki, H kamaymaydigan funksiya bo`ladi. Bundan tashqari u chapdan

uzluksiz va uning uzilish nuqtalari x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

lardan iborat, hamda

x

n

nuqtadagi sakrashi h

n

ga teng. Sakrash funksiyalari ichida eng soddasi,

zinapoyasimon funksiyadir. Bu funksiya quyidagicha quriladi. Uning uzilish

nuqtalari o`suvchi x

1

< x

2

< · · · < x

n

< · · ·

ketma-ketlik nuqtalaridan

iborat. Misol sifatida f(x) = [x] , bu yerda [x] miqdor x ning butun qismi,

funksiyani keltirish mumkin.

Endi monoton funksiyaning hosilasi haqidagi masalaga qaytamiz.

15.1-teorema (Lebeg). [a, b] kesmada aniqlangan har qanday monoton

f

funksiya shu kesmaning deyarli hamma yerida chekli hosilaga ega.

15.1-natija. Sakrashlar funksiyasi deyarli hamma yerda chekli hosilaga

ega va bu hosila nolga teng.

Endi yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgan integraldan hosila mavjudligi

haqidagi masalani qaraymiz. Ma'lumki, integral

R

x

a

ϕ (t) dt

istalgan integral-

lanuvchi funksiya uchun ikkita monoton kamaymaydigan funksiyalar ayirmasi

shaklida tasvirlanadi. 15.1-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.

15.2-teorema. Istalgan integrallanuvchi ϕ funksiya uchun

d

dx

Z

x

a

ϕ(t)dt

(15.4)

139

hosila deyarli barcha x lar uchun mavjud.

Isbot. ϕ funksiyani ikkita manymas

ϕ

+

(x) =

|ϕ(x)| + ϕ(x)

2

,

ϕ

−

(x) =

|ϕ(x)| − ϕ(x)

2

funksiyalarning ayirmasi shaklida tasvirlaymiz. Natijada

Z

x

a

ϕ(t)dt =

Z

x

a

ϕ

+

(t)dt −

Z

x

a

ϕ

−

(t)dt

(15.5)

integral ikkita monoton kamaymaydigan funksiyalar ayirmasi shaklida tasvir-

lanadi. Monoton funksiyaning dierensiallanuvchanligi haqidagi 15.1-teorema-

ga ko`ra, (15.5) ifodaning deyarli barcha x larda chekli hosilasi mavjud. ∆

Ta'kidlash joizki, biz faqat (15.4) hosilaning mavjudligini ko`rsatdik, lekin

d

dx

Z

x

a

ϕ (t) dt = ϕ (x)

tenglik qanday ϕ lar uchun to`g`riligini quyida muhokama qilamiz.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Ikki monoton funksiyaning yig`indisi monoton funksiya bo`ladimi?

2.

Monoton funksiyalar ko`paytmasi monoton funksiya bo`ladimi?.

3.

Agar f funksiya [a, b] da o`suvchi funksiya bo`lib, f(a) = A, f(b) = B

va g : [A, B] → R monoton funksiya bo`lsa, u holda g(f(x)) funksiya

[a, b]

da monoton bo`ladimi?

4.

Zinapoyasimon bo`lmagan sakrash funksiyasiga misol keltiring.

5.

[0, 1]

kesmadagi barcha ratsional nuqtalarni x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

orqali

belgilab chiqamiz va f funksiyani [0, 1] da quyidagicha aniqlaymiz

f (x) =

X

x

n

1

2

n

.

U zinapoyasimon funksiya bo`ladimi?

140

16- §. O`zgarishi chegaralangan funksiyalar

Yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgan Lebeg integralini dierensiallash masa-

lasi, bizni monoton funksiyalar ayirmasi shaklida tasvirlash mumkin bo`lgan

funksiyalar sinni qarashga olib keldi. Bu paragrafda biz bu sinf funksiyalariga

boshqacha ta'rif beramiz va ularning ayrim xossalarini isbotlaymiz.

16.1-ta'rif. Bizga [a, b] kesmada aniqlangan f funksiya berilgan bo`lsin.

Agar biz [a, b] kesmani

a = x

0

< x

1

< · · · < x

n−1

< x

n

= b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n qismga bo`lganimizda x

i

(i = 1, 2, . . . , n)

nuqta-

larni tanlab olishga bog`liq bo`lmagan va ushbu

n

X

k=1

|f (x

k

) − f (x

k−1

)| ≤ C

(16.1)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi o`zgarmas C son mavjud bo`lsa, u holda f

funksiya [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan funksiya deyiladi.

Har qanday monoton funksiya [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan va

(16.1) yig`indining chap tomoni bo`linishdan bog`liq emas va u |f(b) − f(a)|

ga teng.

16.2-ta'rif. Bizga [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan f funksiya

berilgan bo`lsin. (16.1) yig`indilarning barcha chekli bo`linishlar bo`yicha olin-

gan aniq yuqori chegarasi f funksiyaning [a, b] kesmadagi to`la o`zgarishi

(to`la variatsiyasi) deyiladi va V

b

a

[f ]

bilan belgilanadi, ya'ni

V

b

a

[f ] = sup

{x

i

}

n

X

i=1

|f (x

i

) − f (x

i−1

) |.

(16.2)

Endi o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning ba'zi xossalarini keltiramiz.

1. Ixtiyoriy k ∈ R son uchun quyidagi tenglik o`rinli

V

b

a

[k f ] = |k| V

b

a

[f ] .

141

Tenglikning isboti bevosita ta'rifdan kelib chiqadi.

2. Agar f va g o`zgarishi chegaralangan funksiyalar bo'lsa, u holda ular-

ning yig`indisi ham o`zgarishi chegaralangan bo'ladi va

V

b

a

[f + g] ≤ V

b

a

[f ] + V

b

a

[g]

(16.3)

tengsizlik o`rinli.

Isbot. [a, b] kesmaning ixtiyoriy

a = x