M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

0

< x

1

< · · · < x

n−1

< x

n

= b

bo`linishi uchun

n

X

i=1

|f (x

i

) + g(x

i

) − f (x

i−1

) − g(x

i−1

)| ≤

n

X

i=1

|f (x

i

) − f (x

i−1

)|+

+

n

X

i=1

|g(x

i

) − g(x

i−1

)|

tengsizlik o`rinli. Aniq yuqori chegaralar uchun ma'lum bo`lgan sup(A+B) ≤

sup A + sup B

tengsizlikdan foydalansak, 2-xossa isbotiga ega bo`lamiz. ∆

3. Ixtiyoriy c ∈ (a, b) uchun quyidagi tenglik o`rinli

V

b

a

[f ] = V

c

a

[f ] + V

b

c

[f ].

(16.4)

Isbot. Oldin [a, b] kesmaning shunday bo`linishlarini qaraymizki, c bo`li-

nish nuqtalaridan biri bo`lsin, masalan x

r

= c,

u holda

n

X

i=1

|f (x

i

) − f (x

i−1

)| =

r

X

i=1

|f (x

i

) − f (x

i−1

)|+

+

n

X

i=r+1

|f (x

i

) − f (x

i−1

)| ≤ V

c

a

[f ] + V

b

c

[f ]

(16.5)

Endi [a, b] kesmaning ixtiyoriy bo`linishlarini qaraymiz. Agar biz bu bo`linish

nuqtalariga yana bir c nuqtani qo`shsak, u holda

n

X

i=1

|f (x

i

) − f (x

i−1

)|

142

yig`indining qiymati kamaymaydi. Demak, (16.5) tengsizlik [a, b] kesmaning

ixtiyoriy bo`linishi uchun to`g`ri, shuning uchun

V

b

a

[f ] ≤ V

c

a

[f ] + V

b

c

[f ].

(16.6)

Ikkinchi tomondan har qanday ε > 0 uchun [a, c] va [c, b] kesmalarning

shunday

©

x

0

j

ª

va

©

x

00

j

ª

bo`linishlari mavjudki

n

X

i=1

|f (x

0

i

) − f (x

0

i−1

)| > V

c

a

[f ] −

ε

2

,

m

X

j=1

¯

¯f(x

00

j

) − f (x

00

j−1

)

¯

¯ > V

b

c

[f ] −

ε

2

tengsizliklar o`rinli bo`ladi. Bu ikki bo`linishni birlashtirib, [a, b] kesmaning

shunday {x

j

}

bo`linishiga ega bo`lamizki, uning uchun

n+m

X

k=1

|f (x

k

) − f (x

k−1

)| =

n

X

i=1

|f (x

0

i

) − f (x

0

i−1

)| +

m

X

j=1

¯

¯f(x

00

j

) − f (x

00

j−1

)

¯

¯ > V

c

a

[f ] + V

b

c

[f ] − ε.

Bu tengsizlik ixtiyoriy ε > 0 uchun o`rinli, shuning uchun

V

b

a

[f ] ≥ V

c

a

[f ] + V

b

c

[f ].

(16.7)

(16.6) va (16.7) lardan (16.4) tenglik kelib chiqadi.

∆

Ixtiyoriy o`zgarishi chegaralangan funksiyaning [a, b] kesmadagi to`la o`z-

garishi manymas bo`lganligi uchun 3-xossadan quyidagi xossa kelib chiqadi.

4. v(x) = V

x

a

[f ]

monoton kamaymaydigan funksiya.

5. Agar f funksiya x

∗

nuqtada chapdan uzluksiz bo`lsa, u holda

v(x) = V

x

a

[f ]

ham x

∗

∈ (a, b]

nuqtada chapdan uzluksiz bo`ladi.

Isbot. Bizga ixtiyoriy ε > 0 berilgan bo`lsin. Endi δ > 0 ni shunday

tanlaymizki,

|f (x

∗

) − f (x) | <

ε

2

143

tengsizlik ixtiyoriy x ∈ (x

∗

− δ, x

∗

]

uchun o`rinli bo`lsin. Endi

a = x

0

< x

1

< · · · < x

n

= x

∗

bo`linishni shunday tanlaymizki,

V

x

∗

a

[f ] −

n

X

k=1

| f (x

k

) − f (x

k−1

) | <

ε

2

bo`lsin va biz x

n

− x

n−1

< δ

deb faraz qilishimiz mumkin. Bundan

| f (x

n

) − f (x

n−1

) | <

ε

2

tengsizlikka ega bo`lamiz. Natijada

V

x

∗

a

[f ] −

n−1

X

k=1

| f (x

k

) − f (x

k−1

) | < ε

ga ega bo`lamiz. Bu tengsizlik o`z navbatida

V

x

∗

a

[f ] − V

x

n−1

a

[f ] < ε

tengsizlikni keltirib chiqaradi, ya'ni v (x

∗

)−v (x

n−1

) < ε

o`rinli. Biz bilamizki,

v

kamaymaydigan funksiya, shuning uchun barcha x ∈ (x

n−1

, x

∗

)

lar uchun

v (x

∗

) − v (x) < ε

tengsizlik o`rinli. Bu esa v funksiyaning x

∗

nuqtada

chapdan uzluksiz ekanligini bildiradi.

∆

Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, agar f funksiya x

∗

nuqtada o`ngdan

uzluksiz bo`lsa, u holda v ham x

∗

nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`ladi. Demak,

agarda f funksiya biror x

0

nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda v ham shu

nuqtada uzluksiz bo`ladi.

Faraz qilaylik, f : [a, b] → R o`zgarishi chegaralangan ixtiyoriy funksiya,

v(x)

esa uning [a, x] kesmadagi to`la o`zgarishi bo`lsin. ϕ (x) = v (x)−f (x)

funksiyani qaraymiz.

16.1-lemma. ϕ : [a, b] → R monoton kamaymaydigan funksiyadir.

144

Isbot. Faraz qilaylik, x

0

< x

00

, x

0

, x

00

∈ [a, b]

ixtiyoriy nuqtalar bo`lsin,

u holda

ϕ(x

00

) − ϕ(x

0

) = [v(x

00

) − v(x

0

)] − [f (x

00

) − f (x

0

)].

(16.8)

Ma'lumki,

|f (x

00

) − f (x

0

)| ≤ V

x

00

x

0

[f ] = v(x

00

) − v(x

0

).

Shuning uchun (16.8) ning o`ng tomoni manymas, demak uning chap tomoni

ham manymas. Bu esa ϕ ning [a, b] da monoton kamaymaydigan funksiya

ekanligini bildiradi. f(x) = v(x) − ϕ(x) bo`lganligi uchun, biz quyidagi tas-

diqqa keldik.

16.1-teorema. Har qanday o`zgarishi chegaralangan funksiyani ikkita mo-

noton kamaymaydigan funksiyalar ayirmasi shaklida tasvirlash mumkin.

Teskari tasdiq doimo o`rinli, ya'ni ikkita monoton funksiyalar ayirmasi

shaklida tasvirlangan har qanday funksiya o`zgarishi chegaralangandir. Shu-

ning uchun ikkita monoton funksiya ayirmasi shaklida tasvirlanuvchi barcha

funksiyalar to`plami o`zgarishi chegralangan funksiyalar sin bilan ustma-ust

tushar ekan.

16.1 va 15.1-teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.

16.2-teorema. [a, b] kesmada aniqlangan o`zgarishi chegaralangan har

qanday funksiya deyarli hamma yerda chekli hosilaga ega.

Biz sakrashlar funksiyasini quyidagicha umumlashtirishimiz mumkin. Bizga

chekli yoki sanoqli a ≤ x

1

< x

2

< . . . < x

N

≤ b

nuqtalar berilgan bo`lsin.

Har bir x

k

ga ikkita g

k

va h

k

sonlarni mos qo`yamiz va

X

n=1

(|g

n

| + |h

n

|) < ∞

bo`lsin deb talab qilamiz. Bundan tashqari, agar x

1

= a

bo`lsa, g

1

= 0

va

x

N

= b

bo`lsa, h

N

= 0

deymiz.

H(x) =

X

x

n

≤x

g

n

+

X

x

n



h

n

.

(16.9)

145

(16.9) ko`rinishdagi har qanday funksiyani biz sakrashlar funksiyasi deb atay-

miz. H funksiyaning [a, b] dagi to`la o`zgarishi

X

n

(|g

n

| + |h

n

|)

ga teng. Agar g

n

va h

n

sonlardan birortasi noldan farqli bo`lsa, u holda x

n

nuqta H funksiyaning uzilish nuqtasi bo`ladi, hamda

H (x

n

) − H (x

n

− 0) = g

n

,

H (x

n

+ 0) − H (x

n

) = h

n

tengliklar o`rinli. Quyidagi tasdiq o`rinli.

16.3-teorema. [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan har qanday f

funksiyani uzluksiz funksiya ϕ va sakrashlar funksiyasi H lar yig`indisi ko`ri-

nishida tasvirlash mumkin va bu tasvir yagonadir.

Isbot. Haqiqatan ham, f funksiyani ikkita monoton kamaymaydigan funk-

siyalar ayirmasi shaklida tasvirlaymiz

f (x) = v(x) − g(x).

Keyin ular yordamida sakrashlar funksiyasi H va uzluksiz funksiya ϕ ni

quramiz. Masalan, v funksiya uchun ( x

n

uzilish nuqtalari)

v(x

n

) − v(x

n

− 0) = g

n

,

v(x

n

+ 0) − v(x

n

) = h

n

deymiz va H

v

funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

H

v

(x) =

X

x

n

≤x

g

n

+

X

x

n



h

n

.

Uzluksiz funksiya sifatida ϕ

v

(x) = v(x) − H

v

(x)

ni olamiz. Xuddi shunday g

funksiya uchun ham H

g

va ϕ

g

larni aniqlaymiz. Natijada f funksiya uchun

quyidagiga ega bo`lamiz

f (x) = H

v

(x) − H

g

(x) + ϕ

v

(x) − ϕ

g

(x).

Bu yerda H

f

(x) = H

v

(x) − H

g

(x)

sakrash funksiyasi ϕ

f

(x) = ϕ

v

(x) − ϕ

g

(x)

uzluksiz funksiya bo`ladi.

∆

146

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Agar f funksiya [a, b] kesmada chegaralangan hosilaga ega bo`lsa, f

ning [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan bo`lishini isbotlang.

2.

[0, 1]

kesmada aniqlangan uzluksiz

f (x) =







0, agar x = 0

x · sin

π

x

, agar x ∈ (0, 1]

funksiyaning [0, 1] kesmadagi to`la o`zgarishi V

1

0

[f ] = ∞

ekanligini

isbotlang.

3.

Agar f funksiya [a, b] da Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda f

ning [a, b] da o`zgarishi chegaralangan bo`lishini isbotlang.

17- §. Absolyut uzluksiz funksiyalar

17.1. Lebegning aniqmas integralidan hosila. 15− § da ko`rsatdikki,

Z

[a, x]

f (t) dµ =

Z

x

a

f (t) dt

Lebeg integrali x ning funksiyasi sifatida deyarli hamma yerda chekli hosilaga

ega. Lekin bu hosilani integral ostidagi funksiya bilan bog`lanishini tekshir-

madik. Quyidagi tasdiq o`rinli.

17.1-teorema. [a, b] kesmada integrallanuvchi har qanday f funksiya

uchun deyarli barcha x ∈ [a, b] larda

d

dx

Z

[a, x]

f (t) dµ = f (x)

tenglik o`rinli.

Bu teoremani isbotlashda biz quyidagi ta'rifdan ham foydalanamiz.

17.1-ta'rif. Agar x

0

∈ [a, b]

nuqta uchun shunday ξ (x

0

< ξ ≤ b)

nuqta mavjud bo`lib, g(x

0

) < g(ξ)

bo`lsa, u holda x

0

nuqta g funksiyaning

o`ngdan ko`rinmaydigan nuqtasi deyiladi.

147

17.1-teorema isboti. Har bir x ∈ [a, b] ga

Φ (x) =

Z

[a, x]

f (t) dµ

sonni mos qo`yuvchi Φ : [a, b] → R funksiyani qaraymiz. 15.2-teoremaga

ko`ra, bu funksiya deyarli hamma yerda chekli hosilaga ega. Dastlab, deyarli

hamma yerda

f (x) ≥ Φ

0

(x)

(17.1)

tengsizlik bajarilishini ko`rsatamiz. E orqali f (x) < Φ

0

(x)

tengsizlikni

qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plamini belgilaymiz. Agar biror x nuqtada

f (x) < Φ

0

(x)

tengsizlik bajarilsa, u holda shunday α, β ∈ Q ratsional sonlar

mavjud bo`lib,

f (x) < α < β < Φ

0

(x)

(17.2)

tengsizlik bajariladi. Har bir α, β ∈ Q (α < β) sonlar juftiga

E

αβ

= { x ∈ [a, b] : f (x) < α < β < Φ

0

(x) }

to`plamni mos qo`yamiz. U holda

E = {x : f (x) < Φ

0

(x)} =

[

{α,β}

E

αβ

tenglikni yozish mumkin. (17.1) tengsizlikni isbotlash uchun har bir (α, β)

juftlik uchun µ (E

αβ

) = 0

ni ko`rsatish yetarli. U holda E

αβ

to`plamlar ko`pi

bilan sanoqli ekanligidan µ(E) = 0 kelib chiqadi. Lebeg integralining ab-

solyut uzluksizlik xossasiga (12.4-teorema) ko`ra ixtiyoriy ε > 0 uchun shun-

day δ > 0 mavjudki, C ⊂ [a, b], µ(C) < δ to`plam uchun

|

Z

C

f (t)dµ| < ε

tengsizlik bajariladi. O`lchovli to`plam ta'riga ko`ra,

E

αβ

⊂ G ⊂ [a, b]

va µ(G) < µ(E

αβ

) + δ

148

shartni qanoatlantiruvchi G ochiq to`plam mavjud. Endi µ(E

αβ

) = 0

teng-

likni isbotlash uchun [a, b] da g(x) = Φ(x) − β x funksiyani aniqlaymiz.

Φ(x)

ning aniqlanishiga ko`ra, g : [a, b] → R uzluksiz funksiya bo`ladi.

Bu g(x) = Φ(x) − β x funksiyaning barcha o`ngdan ko`rinmaydigan nuq-

talari to`plamini E orqali belgilaymiz. U holda ixtiyoriy x

0

∈ E

uchun

shunday ξ(x

0

< ξ ≤ b)

nuqta mavjud bo`lib, g(x

0

) < g(ξ)

bo`ladi. Agar

0 < ε < g(ξ) − g(x

0

)

desak, g ning uzluksizligiga ko`ra, shunday δ > 0

mavjudki, barcha x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ)

lar uchun |g(x) − g(x

0

)| < ε

yo-

ki g(x) < g(x

0

) + ε < g(ξ)

bo`ladi. Shunday ekan (x

0

− δ, x

0

+ δ) ⊂ E,

ya'ni x

0

E

ning ichki nuqtasi bo`ladi. Demak E faqat ichki nuqtalardan

iborat, ya'ni E ochiq to`plam ekan. Sonlar o`qidagi ochiq to`plamlar struk-

turasi haqidagi teoremaga ko`ra, chekli yoki sanoqli sondagi {(a

k

, b

k

)}

o`zaro

kesishmaydigan intervallar mavjud bo`lib,

E = ∪

k

(a

k

, b

k

)

yoyilma o`rinli. Ko`rsatish mumkinki, ixtiyoriy k da

g(a

k

) ≤ g(b

k

)

(17.3)

tengsizlik o`rinli. Haqiqatan ham, agar teskarisini faraz qilsak, ya'ni

g(a

k

) > g(b

k

)

(17.4)

desak, u holda (a

k

, b

k

)

intervalda x

0

ichki nuqta mavjud bo`lib, g(x

0

) >

g(b

k

)

bo`ladi. x

∗

orqali (a

k

, b

k

)

intervaldagi g(x) = g(x