M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

Bundan kelib chiqadiki, R ning elementlaridan tuzilgan barcha funda-

mental ketma-ketliklar to`plami har biri o`zaro ekvivalent ketma-ketliklardan

tashkil bo`lgan va kesishmaydigan sinarga ajraladi. Endi R

∗

fazoni aniqlaymiz.

R

∗

ning elementlari sifatida yuqorida aniqlangan o`zaro ekvivalent funda-

mental ketma-ketliklardan iborat sinarni qabul qilamiz va unda masofani

quyidagicha aniqlaymiz. x

∗

va y

∗

shunday sinardan ikkitasi bo`lsin. Bu sinf-

larning har biridan ixtiyoriy ravishda bittadan vakil tanlaymiz, ya'ni {x

n

} ∈

x

∗

va {y

n

} ∈ y

∗

fundamental ketma-ketliklarni olamiz. x

∗

va y

∗

orasidagi

masofani

ρ

∗

(x

∗

,y

∗

) = lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

) .

(21.10)

usulda aniqlaymiz. Masofani bu usulda aniqlash nuqsonlardan xoli ekanligini

ko`rsatamiz, ya'ni (21.10) limit mavjud, hamda {x

n

} ∈ x

∗

va {y

n

} ∈ y

∗

vakillarning tanlanishiga bog`liq emas.

Ushbu

| ρ (x

n

, y

n

) − ρ (x

m

, y

m

) | ≤ ρ (x

n

, x

m

) + ρ (y

n

, y

m

)

(21.11)

203

tengsizlik ko`rsatadiki, agar {x

n

}

va {y

n

}

lar fundamental ketma-ketliklar

bo`lsa, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday n va m lar mavjudki,

| ρ (x

n

, y

n

) − ρ (x

m

, y

m

) | < ε

tengsizlik bajariladi. U holda c

n

= ρ (x

n

, y

n

)

sonli ketma-ketlik Koshi kri-

teriysini qanoatlantiradi va shunday ekan, {c

n

}

chekli limitga ega.

Bu limit {x

n

} ∈ x

∗

va {y

n

} ∈ y

∗

larning tanlanishiga bog`liq emas.

Haqiqatan ham, {x

n

} ∈ x

∗

, {x

0

n

} ∈ x

∗

va {y

n

} ∈ y

∗

, {y

0

n

} ∈ y

∗

bo`lsin.

{x

n

} ∼ {x

0

n

}

va {y

n

} ∼ {y

0

n

}

bo`lgani uchun

lim

n→∞

ρ

³

x

n

, x

0

n

´

= 0

va lim

n→∞

ρ

³

y

n

, y

0

n

´

= 0

bo`ladi. U holda

¯

¯

¯ρ (x

n

, y

n

) − ρ

³

x

0

n

, y

0

n

´ ¯

¯

¯ ≤ ρ

³

x

n

, x

0

n

´

+ ρ

³

y

n

, y

0

n

´

tengsizlikdan

lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

) = lim

n→∞

ρ (x

0

n

, y

0

n

)

tenglik kelib chiqadi.

Endi R

∗

da (21.10) formula bilan aniqlangan ρ

∗

akslantirish metrika ak-

siomalarini qanoatlantirishini ko`rsatamiz. Ishonch hosil qilish qiyin emaski, 1-

va 2-aksiomalar bajariladi. Endi uchburchak aksiomasining bajarilishini tek-

shiramiz. Berilgan R fazoda uchburchak aksiomasi bajarilgani uchun ixtiyoriy,

{x

n

} ∈ x

∗

va {y

n

} ∈ y

∗

va {z

n

} ∈ z

∗

fundamental ketma-ketliklar uchun,

barcha n larda

ρ (x

n

, z

n

) ≤ ρ (x

n

, y

n

) + ρ (y

n

, z

n

)

tengsizlik o`rinli. Bu tengsizlikda n → ∞ da limitga o`tib,

lim

n→∞

ρ (x

n

, z

n

) ≤ lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

) + lim

n→∞

ρ (y

n

, z

n

)

204

tengsizlikni olamiz, ya'ni

ρ

∗

(x

∗

, z

∗

) ≤ ρ

∗

(x

∗

, y

∗

) + ρ

∗

(y

∗

, z

∗

) .

R

metrik fazoni R

∗

ning qism fazosi sifatida qarash mumkinligini ko`rsatamiz.

Har bir x ∈ R ga {x

n

= x}

statsionar ketma-ketlik va unga ekvivalent

fundamental ketma-ketliklardan tashkil bo`lgan sinfni mos qo`yamiz. Bu sinf

x

ga yaqinlashuvchi {x

n

} ⊂ R

ketma-ketliklardan iborat. Tuzilishiga ko`ra

bu sinf bo`sh emas. Shu bilan birgalikda, agar x, y ∈ R uchun x = lim

n→∞

x

n

va y = lim

n→∞

y

n

bo`lsa, u holda

ρ

∗

(x, y) = lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

) .

Chunki, (21.11) ko`ra

| ρ (x, y) − ρ (x

n

, y

n

) | ≤ ρ (x, x

n

) + ρ (y, y

n

) .

Shunday ekan, har bir x ∈ R ga unga yaqinlashuvchi fundamental ketma-

ketliklar sin x

∗

ni mos qo`yish bilan R ni R

∗

ning ichiga izometrik ak-

slantiramiz. Bundan keyin R va uning R

∗

dagi aksini farq qilmay R ni R

∗

ning qism fazosi deb qarash mumkin. Navbat R metrik fazoning R

∗

ning

hamma yerida zich ekanligini ko`rsatishga keldi. Ixtiyoriy x

∗

∈ R

∗

element va

ixtiyoriy ε > 0 sonni olamiz. x

∗

sinfdan vakil tanlaymiz, ya'ni {x

n

}

funda-

mental ketma-ketlikni olamiz.

Endi N nomerni shunday tanlaymizki, n > N va m > N bo`lganda

ρ (x

n

, x

m

) < ε

bo`lsin. U holda n > N da

ρ

∗

(x

n

, x

∗

) = lim

m→∞

ρ (x

n

, x

m

) ≤ ε.

ya'ni x

∗

ning ixtiyoriy ε− atro R ning nuqtasini saqlaydi. Shunday qilib,

R

ning R

∗

dagi yopig`i R

∗

ga teng.

Endi R

∗

ning to`laligini isbotlash qoldi. Dastlab shuni ta'kidlash lozimki,

R

∗

ning tuzilishiga ko`ra, R dan olingan ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik

205

shu ketma-ketlikni saqlovchi x

∗

∈ R

∗

elementga yaqinlashadi. R fazo R

∗

da

zich bo`lgani uchun R

∗

dan olingan nuqtalarning ixtiyoriy x

∗

1

, x

∗

2

, . . . , x

∗

n

, . . .

fundamental ketma-ketligi uchun R da shunday x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

fundamen-

tal ketma-ketlik topiladiki,

lim

n→∞

ρ

∗

(x

n

, x

∗

n

) = 0.

Buning uchun har bir n da x

n

∈ R

nuqtani ρ

∗

(x

n

, x

∗

n

) < 1/n

shart bo`yicha

tanlash yetarli. Tanlangan {x

n

}

ketma-ketlik R da fundamental va R

∗

ning

aniqlanishiga ko`ra, biror x

∗

∈ R

∗

ga yaqinlashadi. U holda

ρ

∗

(x

∗

, x

∗

n

) ≤ ρ

∗

(x

∗

, x

n

) + ρ

∗

(x

n

, x

∗

n

)

tengsizlikka ko`ra,

lim

n→∞

ρ

∗

(x

∗

, x

∗

n

) = 0,

ya'ni {x

∗

n

}

ketma-ketlik x

∗

ga yaqinlashadi.

∆

21.10-misol. X deb ratsional sonlar to`plamini belgilasak, u to`la bo`lmagan

metrik fazo bo`ladi. Uning to`ldirmasi X

∗

−

haqiqiy sonlardan iborat metrik

fazo bo`ladi. C

2

[a, b]

to`la bo`lmagan metrik fazo bo`ladi. Uning to`ldirmasi

L

2

[a, b]

fazodir (26-Ÿ ning 26.18-misoliga qarang).

21.3. Metrik fazolarda kompakt to`plamlar

Matematik analiz faniga qat'iy asos solishda va uning rivojida Bolsano-

Veyershtrass teoremasi va Geyne-Borel lemmalari fundamental ahamiyatga

ega. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga ko`ra sonlar o`qidagi istalgan chegara-

langan cheksiz to`plam kamida bitta limitik nuqtaga ega. Geyne-Borel lem-

masiga ko`ra sonlar o`qidagi [a, b] kesmaning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan

chekli qism qoplama ajratib olish mumkin.

Sonlar o`qidagi chegaralangan cheksiz to`plamlar va kesmalarning bu xos-

salarini metrik fazolarda umumlashtirish maqsadida biz kompaktlik tushun-

chasiga kelamiz.

206

Kompakt to`plamlar tushunchasi metrik fazolardagi asosiy tushunchalardan

biri hisoblanadi. Kompakt to`plamlar kompakt operatorlarni ta'riashda va

ularni tekshirishda qo`llaniladi.

Bizga X metrik fazo berilgan bo`lsin. M va A

α

to`plamlar X ning qism

to`plamlari bo`lsin. {A

α

0

}

to`plamlar sistemasi {A

α

}

to`plamlar sistemasining

qismi bo`lsin.

21.4-ta'rif. Agar M ⊂

S

α

A

α

bo`lsa, {A

α

}

to`plamlar sistemasi M to`p-

lamning qoplamasi deyiladi. Agar {A

α

0

} ⊂ {A

α

}

qism sistema uchun M ⊂

S

α

0

A

α

0

bo`lsa, u holda {A

α

0

}

sistema M ning qism qoplamasi deyiladi. Xusu-

siy holda, X =

S

α

A

α

bo`lsa, u holda {A

α

}

to`plamlar sistemasi X fazoning

qoplamasi deyiladi.

21.5-ta'rif. Agar K ⊂ X to`plamning istalgan ochiq qoplamasidan chekli

qism qoplama ajratish mumkin bo`lsa, u holda K kompakt to`plam deyiladi.

Agar X fazoning istalgan ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratish

mumkin bo`lsa, u holda X kompakt metrik fazo deyiladi.

Quyida ko`rsatamizki, sonlar o`qida [a, b] kesma kompakt to`plam bo`lishi

bilan bir qatorda R

n

va C

n

fazolarda istalgan chegaralangan yopiq to`plam

kompakt to`plam bo`ladi. Aksincha, sonlar o`qi, R

n

va C

n

fazolar kompakt

bo`lmagan metrik fazolarga misol bo`ladi.

Endi 21.5-ta'rifga ekvivalent bo`lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz.

21.6-ta'rif. Agar K to`plamdan olingan ixtiyoriy {x

n

}

ketma-ketlikdan

K

da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, K ga kom-

pakt to`plam deyiladi.

21.7-ta'rif. Agar M to`plamning yopig`i [M] kompakt to`plam bo`lsa, yoki

ixtiyoriy {x

n

} ⊂ M

ketma-ketlikdan X da yaqinlashuvchi qismiy ketma-

ketlik ajratish mumkin bo`lsa, M ga nisbiy kompakt to`plam deyiladi.

Endi biz R

n

yoki C

n

fazolardagi to`plamlarning kompaktlik kriteriysini

207

beramiz. Quyida θ bilan (0, 0, . . . , 0) ∈ R

n

nuqta belgilangan.

21.4-teorema. R

n

(C

n

)

metrik fazodagi K to`plam kompakt bo`lishi uchun,

uning chegaralangan va yopiq bo`lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Yetarliligi. Chegaralangan va yopiq K ⊂ R

n

to`plam berilgan

bo`lsin. K chegaralangan to`plam bo`lganligi uchun u biror B [θ, r] sharda

saqlanadi, ya'ni ixtiyoriy x ∈ K uchun

ρ (x, θ) =

v

u

u

t

n

X

k=1

|x

k

|

2

≤ r.

(21.12)

Endi K to`plamdan ixtiyoriy x

(p)

=

³

x

(p)

1

, x

(p)

2

, . . . , x

(p)

n

´

ketma-ketlik olamiz.

{x

(p)

}

ketma-ketlik hadlari ham (21.12) tengsizlikni qanoatlantiradi. Bundan

esa

n

x

(p)

1

o

∞

p=1

,

n

x

(p)

2

o

∞

p=1

, . . . ,

n

x

(p)

n

o

∞

p=1

sonli ketma-ketliklarning chega-

ralangan ekanligi kelib chiqadi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga ko`ra

n

x

(p)

1

o

ketma-ketlikdan biror x

(0)

1

songa yaqinlashuvchi

½

x

(

p

k1

)

1

¾

qismiy ketma-

ketlik ajratish mumkin. Chegaralangan

½

x

(

p

k1

)

2

¾

ketma-ketlikdan Bolsano-

Veyershtrass teoremasiga ko`ra biror x

(0)

2

songa yaqinlashuvchi

½

x

(

p

k2

)

2

¾

qis-

miy ketma-ketlik ajratish mumkin. Bu holda ham

½

x

(

p

k2

)

1

¾

qismiy ketma-

ketlik x

(0)

1

songa yaqinlashuvchi bo`ladi. Xuddi shu yo`l bilan n -chi qadamda

chegaralangan

½

x

(

p

kn−1

)

n

¾

ketma-ketlikdan Bolsano-Veyershtrass teoremasi-

ga ko`ra biror x

(0)

n

songa yaqinlashuvchi

n

x

(p

kn

)

n

o

qismiy ketma-ketlik ajratish

mumkin. Natijada hosil bo`lgan

n

x

(p

kn

)

=

³

x

(p

kn

)

1

, x

(p

kn

)

2

, . . . , x

(p

kn

)

n

´ o

ketma-

ketlik x

(0)

=

³

x

(0)

1

, x

(0)

2

, . . . , x

(0)

n

´

elementga yaqinlashadi. K yopiq to`plam

bo`lganligi uchun x

(0)

∈ K

bo`ladi. 21.6-ta'rifga ko`ra K kompakt to`plam

bo`ladi.

Zaruriyligi. Bizga R

n

metrik fazodagi K kompakt to`plam berilgan bo`lsin.

R

n

fazoning {B (θ, n)}

∞

n=1

ochiq qoplamasini olamiz. Tabiiyki, {B (θ, n)}

∞

n=1

208

ochiq sharlar sistemasi K to`plamni ham qoplaydi. K kompakt to`plam

bo`lganligi uchun shunday chekli {B (θ, n

i

)}

l

i=1

qism sistema mavjudki, u ham

K

to`plamni qoplaydi. Agar biz n

1

, n

2

, . . . , n

l

sonlarning eng kattasini n

0

bi-

lan belgilasak, B (θ, n

0

)

ochiq shar K ni saqlaydi. Bu esa K to`plamning

chegaralangan ekanligini bildiradi.

Endi K ning yopiqligini isbotlaymiz. Teskarisidan faraz qilaylik, ya'ni K

yopiq bo`lmasin. U holda R

n

\K

to`plamda K ning hech bo`lmaganda bit-

ta limitik nuqtasi mavjud. Uni x

0

bilan belgilaymiz. Limitik nuqta ta'riga

ko`ra x

0

ga yaqinlashuvchi {x

k

} ⊂ K

, ketma-ketlik mavjud. K kompakt

to`plam bo`lganligi uchun {x

k

}

ketma-ketlikdan K da yaqinlashuvchi {x

k

l

}

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. {x

k

}

ketma-ketlik x

0

∈ R

n

\K

ele-

mentga yaqinlashganligi uchun uning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi, jumladan

{x

k

l