M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

}

qismiy ketma-ketlik ham x

0

ga yaqinlashadi. Bundan x

0

∈ K

ekanligi

kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik K ning yopiq to`plam ekanligini isbotlaydi.

∆

21.1-natija. R

n

(C

n

)

metrik fazodagi K to`plam nisbiy kompakt bo`lishi

uchun, uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.

21.2-natija. R

n

p

¡

C

n

p

¢

, p ≥ 1

metrik fazodagi K to`plam nisbiy kompakt

bo`lishi uchun, uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.

Metrik fazolarda nisbiy kompaktlik tushunchasi to`la chegaralanganlik tu-

shunchasi bilan ustma-ust tushadi. Shu maqsadda to`la chegaralangan to`plam

tushunchasini beramiz. Bizga (X, ρ) metrik fazodan olingan A, M to`plamlar

va ε > 0 son berilgan bo`lsin.

21.8-ta'rif. Agar ixtiyoriy x ∈ M uchun shunday a ∈ A mavjud bo`lib,

ρ(x, a) ≤ ε

tengsizlik bajarilsa, A to`plam M to`plam uchun ε to`r deyiladi.

A

to`plam M ning qismi bo`lishi shart emas, umuman A

T

M = ∅

bo`lishi

ham mumkin.

209

21.9-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 son uchun M to`plamning chekli ε

to`ri mavjud bo`lsa, M ga to`la chegaralangan to`plam deyiladi.

Har qanday to`la chegaralangan to`plam chegaralangan bo`ladi, lekin teskarisi

o`rinli emas.

21.5-teorema. (X, ρ) to`la metrik fazodagi M to`plam nisbiy kompakt

bo`lishi uchun, uning to`la chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir [1] .

Asosiy funksional fazolardan biri C[a, b] fazodir. Bu fazodagi to`plamning

kompaktlik kriteriysini keltiramiz. Paragraf so`ngida `

p

, p ≥ 1

fazodagi

to`plamlarning kompaktlik kriteriysini beramiz.

F ⊂ C[a, b]

funksiyalar oilasi berilgan bo`lsin.

21.10-ta'rif. Agar shunday C > 0 mavjud bo`lib, ixtiyoriy φ ∈ F va

barcha x ∈ [a, b] lar uchun |φ(x)| ≤ C tengsizlik bajarilsa, u holda F

funksiyalar oilasi tekis chegaralangan deyiladi.

21.11-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday δ > 0 son mavjud

bo`lib, |x

1

− x

2

| < δ

tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x

1

, x

2

∈ [a, b]

hamda barcha φ ∈ F lar uchun

|φ (x

1

) − φ (x

2

)| < ε

tengsizlik bajarilsa, F funksiyalar oilasi tekis darajada uzluksiz deyiladi.

21.6-teorema (Arsela teoremasi). M ⊂ C [a, b] to`plam nisbiy kompakt

bo`lishi uchun uning tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo`lishi

yetarli va zarurdir.

Isbot. Zaruriyligi. M ⊂ C[a, b]− ixtiyoriy nisbiy kompakt to`plam bo`lsin.

C[a, b]

to`la metrik fazo bo`lgani uchun 21.5-teoremaga ko`ra, ixtiyoriy ε da

M

ning chekli {ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

}

elementdan iborat ε/3− to`ri mavjud. Har

bir ϕ

i

funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo`lganligi uchun u chegaralangandir,

ya'ni

max

x∈[a, b]

| ϕ

i

(x) | ≤ K

i

, i = 1, 2, . . . , k.

210

K = max

1≤i≤k

K

i

+

ε

3

belgilash kiritamiz.

ε

3

−

to`r ta'riga ko`ra, har bir ϕ ∈ M

uchun birorta ϕ

i

da

ρ (ϕ, ϕ

i

) = max

x∈[a,b]

| ϕ (x) − ϕ

i

(x) | ≤

ε

3

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan kelib chiqadiki, har bir x ∈ [a, b] uchun

| ϕ (x) | ≤ | ϕ

i

(x) | +

ε

3

≤ K

i

+

ε

3

≤ K.

Shunday qilib, M to`plam funksiyalar oilasi sifatida tekis chegaralangan ekan.

Kantor teoremasiga ko`ra har bir ϕ

i

funksiya [a, b] kesmada tekis uzluksiz

bo`ladi. Demak, ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday δ

i

> 0

mavjud bo`lib,

|x

1

− x

2

| < δ

i

bo`lganda

| ϕ

i

(x

1

) − ϕ

i

(x

2

) | <

ε

3

tengsizlik bajariladi. Aytaylik, δ = min

1≤i≤k

δ

i

bo`lsin. Ixtiyoriy ϕ ∈ M uchun ϕ

i

funksiyani shunday tanlaymizki, ρ (ϕ, ϕ

i

) <

ε

3

bo`lsin. U holda |x

1

− x

2

| < δ

shart bajarilganda

| ϕ (x

1

) − ϕ (x

2

) | ≤

≤ | ϕ (x

1

) − ϕ

i

(x

1

) |+| ϕ

i

(x

1

) − ϕ

i

(x

2

) |+| ϕ

i

(x

2

) − ϕ (x

2

) | <

ε

3

+

ε

3

+

ε

3

= ε

o`rinli. Bundan M ning tekis darajada uzluksizligi kelib chiqadi.

Yetarliligi. Funksiyalarning M ⊂ C[a, b] oilasi tekis chegaralangan va

tekis darajada uzluksiz bo`lsin. Agar biz, ixtiyoriy ε > 0 son uchun M

ning chekli ε to`ri mavjud ekanligini ko`rsatsak, 21.5-teoremaga ko`ra M

ning nisbiy kompakt to`plam ekanligi kelib chiqadi. Hamma ϕ ∈ M va

barcha x ∈ [a, b] uchun | ϕ (x) | ≤ K bo`lsin. Ixtiyoriy ε > 0 uchun

δ > 0

ni shunday tanlaymizki, barcha ϕ ∈ M lar uchun |x

1

− x

2

| < δ

bo`lganda | ϕ (x

1

) − ϕ (x

2

) | <

ε

5

shart bajarilsin. Koordinatalar sistemasi-

ning OX o`qidagi [a, b] kesmani

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n

= b

211

nuqtalar bilan uzunliklari δ > 0 dan kichik oraliqlarga bo`lamiz va bu nuqtalar

orqali OY o`qiga parallel (vertikal) to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. Keyin OY

o`qidagi [−K, K] kesmani

−K = y

0

< y

1

< y

2

< . . . < y

m

= K

nuqtalar bilan uzunliklari

ε

5

dan kichik oraliqlarga bo`lamiz va bu bo`linish

nuqtalari orqali OX o`qiga parallel (gorizontal) to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz.

Shunday qilib, [a, b] × [−K, K] to`g`ri to`rtburchak gorizontal tomoni δ dan

kichik va vertikal tomoni

ε

5

dan kichik yacheykalarga ajraladi. Har bir ϕ ∈ M

funksiyaga uchlari (x

k

, y

l

)

nuqtalarda bo`lgan va har bir x

k

nuqtada ϕ(x

k

)

dan

ε

5

dan kichik chetlangan ψ siniq chiziqni mos qo`yamiz (bunday siniq

chiziq mavjud).

Bu ψ(x) siniq chiziqning tanlanishiga ko`ra

|ϕ (x

k

) − ψ (x

k

) | <

ε

5

, |ϕ (x

k+1

) − ψ (x

k+1

) | <

ε

5

, |ϕ (x

k

) − ϕ (x

k+1

)| <

ε

5

bo`lgani uchun

| ψ (x

k

) − ψ (x

k+1

) | <

3ε

5

.

tengsizlik bajariladi. Tuzilishiga ko`ra ψ funksiya [x

k

, x

k+1

]

kesmada chiziqli

bo`lganligi sababli, barcha x ∈ [x

k

, x

k+1

]

lar uchun

| ψ (x

k

) − ψ (x) | <

3ε

5

.

Endi x − [a, b] kesmaning ixtiyoriy nuqtasi va x

k

esa x ga chapdan eng

yaqin bo`linish nuqtasi bo`lsin. U holda

| ϕ (x) − ψ (x) | ≤ | ϕ (x) − ϕ (x

k

) |+| ϕ (x

k

) − ψ (x

k

) |+| ψ (x

k

) − ψ (x) | ≤ ε.

Shunday ekan, yuqorida ko`rsatilgan usulda qurilgan barcha ψ siniq chiziqlar

to`plami chekli va u M to`plam uchun ε to`r bo`ladi. 21.5-teoremaga ko`ra

M

nisbiy kompakt to`plam bo`ladi.

∆

212

21.11-misol. C[a, b] fazoda

F =

½

y (s) =

Z

b

a

K (s, t) x (t) dt , x ∈ B[0, 1]

¾

(21.13)

funksiyalar oilasini nisbiy kompaktlikka tekshiring. Bu yerda B[0, 1] to`plam

C[a, b]

fazodagi markazi nol nuqtada radiusi 1 ga teng bo`lgan yopiq shar.

K(s, t) − [a, b] × [a, b]

kvadratda aniqlangan uzluksiz funksiya.

Yechish. Arsela teoremasiga ko`ra F funksiyalar oilasining tekis chega-

ralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini ko`rsatish yetarli. K(s, t) funk-

siya [a, b]×[a, b] kvadratda uzluksiz bo`lganligi uchun u chegaralangan, ya'ni

shunday C > 0 son mavjudki, barcha s, t ∈ [a, b] lar uchun |K(s, t)| ≤ C

tengsizlik o`rinli. x ∈ B[0, 1] shartdan max

a≤t≤b

| x (t) | ≤ 1

ekanligi kelib chiqa-

di. Endi F funksiyalar oilasining tekis chegaralangan ekanligini ko`rsatamiz:

|y (s)| =

¯

¯

¯

¯

Z

b

a

K (s, t) x (t) dt

¯

¯

¯

¯ ≤

Z

b

a

|K (s, t)| · |x (t)| dt ≤ C · 1 · (b − a) .

Bu tengsizlik F funksiyalar oilasining tekis chegaralangan ekanligini isbotlay-

di. Endi F funksiyalar oilasining tekis darajada uzluksiz ekanligini ko`rsatamiz:

| y (s

1

) − y (s

2

) | =

¯

¯

¯

¯

Z

b

a

K (s

1

, t) x (t) dt −

Z

b

a

K (s

2

, t) x (t) dt

¯

¯

¯

¯ ≤

≤

Z

b

a

|K (s

1

, t) − K (s

2

, t) | · | x (t) | dt ≤ ε · 1 · (b − a) .

So`nggi munosabat |s

1

− s

2

| < δ

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha s

1

, s

2

∈

[a, b]

va barcha x ∈ B[0, 1] lar uchun o`rinli. Demak, F funksiyalar oilasi

tekis darajada uzluksiz ekan. Shunday qilib, Arsela teoremasiga ko`ra (21.13)

tenglik bilan aniqlangan F funksiyalar oilasi nisbiy kompakt to`plam bo`ladi.

∆

Endi tekis chegaralangan, lekin tekis darajada uzluksiz bo`lmagan Φ funksi-

yalar oilasiga misol keltiramiz.

21.12. C[0, 1] fazoda

Φ =

½

x

α

(t) =

2 α t

1 + α

2

t

2

,

α ∈ (0, ∞)

¾

(21.14)

213

funksiyalar oilasini nisbiy kompaktlikka tekshiring.

Yechish. Arsela teoremasiga ko`ra (21.14) tenglik bilan aniqlangan Φ funksi-

yalar oilasining tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini tek-

shirishimiz kerak. (1 − α t)

2

= 1−2α t+α

2

t

2

≥ 0

tengsizlikdan |x

α

(t) | ≤ 1

ekanligi kelib chiqadi. Demak, Φ funksiyalar oilasi tekis chegaralangan ekan.

Tekis darajada uzluksiz emas degan tushunchani ta'riaymiz.

Agar biror ε > 0 son va ixtiyoriy δ > 0 uchun shunday x

α

∈ Φ

va

shunday t

1

, t

2

∈ [0, 1]

lar mavjud bo`lib | t

1

− t

2

| < δ

tengsizlik bajarilganda

| x

α

(t

1

) − x

α

(t

2

) | ≥ ε

tengsizlik bajarilsa, Φ funksiyalar oilasi tekis darajada uzluksiz emas deyiladi.

Endi ε =

1

2

va δ > 0− ixtiyoriy son bo`lsin. Agar α >

1

δ

va t

1

=

1

α

, t

2

= 0

bo`lsa, u holda | t

1

− t

2

| =

1

α

< δ

bo`ladi, ammo

| x

α

(t

1

) − x

α

(t

2

) | =

2 α ·

1

α

1 + α

2

·

1

α

2

= 1 > ε

tengsizlik o`rinli. Demak, Φ funksiyalar oilasi tekis darajada uzluksiz emas

ekan. Shunday qilib, (21.14) tenglik bilan aniqlangan Φ funksiyalar oilasi nis-

biy kompakt to`plam emas ekan.

∆

Arsela teoremasining umumlashmasi quyidagicha. C

M N

bilan M to`plamni

N

to`plamga akslantiruvchi barcha uzluksiz akslantirishlar to`plamini belgi-

laymiz. Bu yerda M va N lar kompakt to`plamlar.

21.7-teorema (Arsela teoremasining umumlashmasi). D ⊂ C

M N

to`plam

nisbiy kompakt bo`lishi uchun D ning tekis darajada uzluksiz bo`lishi zarur va

yetarli.

Endi `

p

, p ≥ 1

fazoda to`plamning nisbiy kompaktlik kriteriysini beramiz.

21.8-teorema. K ⊂ `

p

to`plam nisbiy kompakt bo`lishi uchun uning chega-

ralangan va ε > 0 son qanday bo`lmasin, shunday n

0

nomer mavjud bo`lib,

214

ixtiyoriy n ≥ n

0

va barcha ξ = (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

, . . .) ∈ K

lar uchun

∞

X

j=n+1

|ξ

j

|

p

< ε

p

shartning bajarilishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. Bizga nisbiy kompakt K ⊂ `

p

to`plam berilgan bo`lsin.

U holda u to`la chegaralangan bo`lgani uchun, chegaralangan ham bo`ladi.

Endi ikkinchi shartning bajarilishini ko`rsatamiz.

Biror η > 0 sonni olamiz va K uchun chekli η− to`r {x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

ni

quramiz. Har bir x ∈ K uchun η− to`rga tegishli x

i

elementni shunday tan-

laymizki, ρ

p

(x, x

i

) < η

bo`lsin. Har bir x = (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

, . . .) ∈ `

p

element

uchun S

n

x = (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

, 0, 0, . . .)

va R

n

x = (0, 0, . . . , ξ

n+1

, ξ

n+2

, . . .)

belgilashlarni kiritamiz. U holda x va θ = (0, 0, . . . , 0, . . .) elementlar uchun

ρ

p

(R

n

x, θ) = ρ

p

(x, S

n

x) ≤ ρ

p

(x, x

i

)+ρ

p

(x

i

, S

n

x) ≤ ρ

p

(x, x

i

)+ρ

p

(S

n

x

i

, S

n

x) +

+ρ

p

(R

n

x

i

, θ) ≤ 2ρ

p

(x, x

i

) + ρ

p

(R

n

x

i

, θ) < 2η + ρ

p

(R

n

x

i

, θ) .

Aniqlanishiga ko`ra, har bir belgilangan x element uchun

lim

n→∞

ρ

p

(R

n

x, θ) = lim

n→∞

Ã

∞

X

j=n+1

|ξ

j

|

p

!

1

p

= 0.

Shuning uchun, shunday n

0

nomer mavjudki, n ≥ n

0

bo`lganda barcha

i = 1, 2, . . . , k

lar uchun ρ

p

(R

n

x

i

, θ) < η

bo`ladi. Shunday ekan, n ≥ n

0

bo`lganda

ρ

p

(R

n

x, θ) < 3η.

Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun η =

ε

3

desak,

ρ

p

(R

n

x, θ) =

Ã

∞

X

j=n+1

|ξ

j

|

p

!

1

p

< ε

yoki

∞

X

j=n+1

|ξ

j

|

p

< ε

p

bo`ladi.

215

Yetarliligi. Chegaralangan K ⊂ `

p

to`plam uchun ε > 0 son qanday

bo`lmasin, shunday n

0

nomer mavjud bo`lib, ixtiyoriy n ≥ n

0

va x =

(ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

, . . .) ∈ K

larda

∞

X

j=n+1

|ξ

j

|

p

< ε

p

tengsizlik bajarilsin. Ixtiyoriy ε > 0 uchun K to`plamning chekli ε− to`ri