M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

φ

k

!

−

Ã

n

X

k=1

α

k

φ

k

, f

!

+

Ã

n

X

k=1

α

k

φ

k

,

n

X

j=1

α

j

φ

j

!

=

= (f, f ) − 2

n

X

k=1

α

k

(f, φ

k

) +

n

X

k=1

α

2

k

=

= k f k

2

− 2

n

X

k=1

α

k

c

k

+

n

X

k=1

α

2

k

+

n

X

k=1

c

2

k

−

n

X

k=1

c

2

k

=

= k f k

2

+

n

X

k=1

(α

k

− c

k

)

2

−

n

X

k=1

c

2

k

.

Bu ifoda barcha k ∈ {1, 2, . . . , n} larda

α

k

= c

k

(27.12)

bo`lgan holda minimumga erishadi. Bu holda

kf − S

n

k

2

= kf k

2

−

n

X

k=1

c

2

k

.

(27.13)

Biz isbotladikki, (27.11) ko`rinishdagi yig`indilar ichida f elementdan Furye

qatorining

f

n

=

n

X

k=1

c

k

φ

k

269

qismiy yig`indisi eng kam chetlanar ekan.

Bu tasdiqning geometrik ma'nosi shundan iboratki,

f −

n

X

k=1

α

k

φ

k

vektor φ

1

, φ

2

, . . . , φ

n

vektorlarning barcha chiziqli kombinatsiyalariga orto-

gonal, ya'ni f − S

n

element φ

1

, φ

2

, . . . , φ

n

vektorlardan hosil bo`lgan qism

fazoga ortogonal bo`lishi uchun (27.12) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.

k f − S

n

k

2

≥ 0

bo`lgani uchun (27.13) tenglikka ko`ra

n

X

k=1

c

2

k

≤ kf k

2

.

Bu tengsizlik ixtiyoriy n ∈ N uchun o`rinli, shunday ekan,

∞

X

k=1

c

2

k

qator yaqinlashuvchi va

∞

X

k=1

c

2

k

≤ kf k

2

.

(27.14)

So`nggi (27.14) tengsizlik Bessel tengsizligi deyiladi.

27.7-ta'rif. Agar ixtiyoriy f ∈ E uchun

∞

X

k=1

(f, φ

k

)

2

= kf k

2

(27.15)

tenglik o`rinli bo`lsa, {φ

n

}

ortonormal sistema yopiq sistema deyiladi. (27.15)

tenglik Parseval tengligi deyiladi.

(27.13) tenglikdan kelib chiqadiki, {φ

n

}

ortonormal sistemaning yopiq bo`lishi

uchun, har bir f ∈ E da

∞

X

k=1

c

k

φ

k

Furye qatorining qismiy yig`indilar ketma-ketligi f elementga yaqinlashishi

zarur.

270

27.2-teorema. Separabel Evklid fazosida har qanday to`la ortonormal sis-

tema yopiq va aksincha.

Isbot. E dan olingan ixtiyoriy {φ

n

}

to`la ortonormal sistemani qaraymiz.

Istalgan f ∈ E uchun c

k

= (f, φ

k

) , k = 1, 2, . . . , n , . . .

Furye koet-

siyentlarini olamiz. {φ

n

}

sistema to`la bo`lgani uchun ixtiyoriy ε > 0 songa

ko`ra, shunday

N

P

k=1

α

k

φ

k

chekli yig`indi mavjud bo`lib,

°

°

°

°

°

f −

N

X

k=1

α

k

φ

k

°

°

°

°

°

2

< ε

tengsizlik bajariladi. U holda n ≥ N bo`lganda

k f k

2

−

n

X

k=1

c

2

k

≤ k f k

2

−

N

X

k=1

c

2

k

=

°

°

°

°

°

f −

N

X

k=1

c

k

φ

k

°

°

°

°

°

2

≤

°

°

°

°

°

f −

N

X

k=1

α

k

φ

k

°

°

°

°

°

2

< ε.

Olingan bu munosabatlardan

k f k

2

=

∞

X

k=1

c

2

k

Parseval tengligi kelib chiqadi, ya'ni {φ

n

}

sistema yopiq ekan.

Endi {φ

n

} − E

dan olingan ixtiyoriy yopiq ortonormal sistema bo`lsin.

f ∈ E

vektor qanday bo`lmasin, uning Furye qatori

∞

P

k=1

c

k

φ

k

ning qismiy

yig`indilar ketma-ketligi f elementga yaqinlashadi, chunki

lim

n→∞

°

°

°

°

°

f −

n

X

k=1

c

k

φ

k

°

°

°

°

°

2

= lim

n→∞

Ã

kf k

2

−

n

X

k=1

c

2

k

!

= 0.

Shuning uchun {φ

n

} −

sistemaning barcha chekli kombinatsiyalari to`plami

E

ning hamma yerida zich bo`ladi. Ya'ni {φ

n

}

to`la ortonormal sistema

bo`ladi.

∆

27.23. C

2

[−π, π]

separabel Evklid fazosida

©

φ

n

(t) = π

−1/2

sin n t

ª

∞

n=1

sistema ortonormal bo`ladimi? Agar {φ

n

}

ortonormal sistema bo`lsa, u to`lami?

271

Yechish. Ma'lumki,

©

π

−1/2

sin n t

ª

trigonometrik sistema ortogonaldir.

Endi (φ

n

, φ

n

) = 1

tenglikni tekshiramiz.

(φ

n

, φ

n

) =

1

π

Z

π

−π

sin

2

nt dt =

1

2π

Z

π

−π

(1 − cos 2n t) dt =

1

2π

(2π − 0) = 1.

Demak, {φ

n

}

ortonormal sistema ekan. Endi uni to`lalikka tekshiramiz. 27.2-

teoremaga ko`ra {φ

n

}

sistema to`la bo`lishi uchun uning yopiq bo`lishi zarur

va yetarlidir. f

0

(t) ≡ 1 ∈ C

2

[−π, π]

uchun Parseval tengligi bajarilishi-

ni tekshiramiz. f

0

ning Furye koetsiyentlarini hisoblaymiz. Ma'lumki, toq

funksiyaning [−a, a] kesma bo`yicha olingan integrali nolga teng. Shuning

uchun istalgan n ∈ N da

c

n

= (f

0

, φ

n

) =

1

√

π

Z

π

−π

sin nt dt = 0.

Bundan

2π = kf

0

k

2

> 0 =

∞

X

n=1

c

2

n

tengsizlik kelib chiqadi. Parseval tengligi bajarilmayapti, shuning uchun {φ

n

}

sistema yopiq emas, demak, u to`la bo`lmagan ortonormal sistema ekan.

27.2. To`la Evklidla Evklid fazolari. Riss-Fisher teoremasi

Bizni asosan to`la Evklid fazolari qiziqtiradi.

27.8-ta'rif. E Evklid fazosi kxk =

p

(x, x)

normaga nisbatan to`la bo`lsa,

u to`la Evklid fazosi deyiladi.

27.6-misol. C

2

[a, b]

to`la bo`lmagan separabel Evklid fazosi bo`ladi (21.8-

misolga qarang).

27.7. `

2

va L

2

[a, b]

to`la separabel Evklid fazolariga misol bo`ladi (21.7

va 26.18-misollarga qarang).

E −

to`la separabel Evklid fazosi va {φ

n

}

undagi ortonormal sistema (to`la

bo`lishi shart emas) bo`lsin. Bessel tengsizligidan kelib chiqadiki, c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .

272

sonlar biror f elementning Furye koetsiyentlari bo`lishi uchun

∞

X

n=1

c

2

n

(27.16)

qatorning yaqinlashishi zarur.

To`la Evklid fazolarida bu shart yetarli ham ekan.

27.3-teorema (Riss-Fisher). {φ

n

} − E

to`la Evklid fazosidagi ixtiyoriy

ortonormal sistema va c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .

sonlar shunday bo`lsinki, (27.16) qa-

tor yaqinlashsin. U holda shunday f ∈ E element mavjudki,

c

k

= (f, φ

k

) , k = 1, 2, . . . ,

va

∞

X

n=1

c

2

n

= (f, f ) = kf k

2

tengliklar o`rinli bo`ladi.

Isbot. E to`la Evklid fazosida {f

n

}

ketma-ketlikni quyidagicha aniqlay-

miz:

f

n

=

n

X

k=1

c

k

φ

k

.

(27.16) qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun ixtiyoriy ε > 0 son uchun shun-

day n(ε) > 0 mavjudki, barcha n > n(ε) va p ∈ N larda

k f

n+p

− f

n

k

2

= k c

n+1

φ

n+1

+ · · · + c

n+p

φ

n+p

k

2

=

n+p

X

k=n+1

c

2

k

< ε

2

tengsizlik o`rinli, ya'ni {f

n

} −

fundamental ketma-ketlik. E ning to`laligiga

ko`ra {f

n

}

ketma-ketlik biror f ∈ E elementga yaqinlashadi. Istalgan i ∈ N

uchun

(f, φ

i

) = (f

n

, φ

i

) + (f − f

n

, φ

i

) ,

(27.17)

tenglik o`rinli. (27.17) ning o`ng tomonidagi birinchi qo`shiluvchi n ≥ i da c

i

ga teng, ikkinchi qo`shiluvchi esa n → ∞ da nolga intiladi, chunki

|(f − f

n

, φ

i

)| ≤ k f − f

n

k · k φ

i

k = k f − f

n

k → 0, n → ∞ .

273

(27.17) tenglikning chap tomoni n ga bog`liq emas, shuning uchun n → ∞

da limitga o`tsak,

(f, φ

i

) = c

i

.

f

ning aniqlanishiga ko`ra,

k f − f

n

k

2

=

Ã

f −

n

X

k=1

c

k

φ

k

, f −

n

X

k=1

c

k

φ

k

!

= (f, f ) −

∞

X

k=1

c

2

k

→ 0, n → ∞.

Shuning uchun

∞

X

n=1

c

2

n

= (f, f ) = kf k

2

.

∆

Ortogonal sistemaning to`laligi haqida quyidagi teoremani isbotlaymiz.

27.4-teorema. To`la separabel Evklid fazosidagi {φ

n

}

ortonormal sistema

to`la bo`lishi uchun, E da {φ

n

}

sistemaning barcha elementlariga ortogonal

bo`lgan nolmas elementning mavjud bo`lmasligi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, {φ

n

}

to`la sistema bo`lsin, u holda 27.2-

teoremaga ko`ra u yopiq ham bo`ladi. Agar f element {φ

n

}

sistemaning bar-

cha elementlariga ortogonal bo`lsa, u holda uning barcha Furye koetsiyentlari

nolga teng, ya'ni c

n

= 0

bo`ladi. U holda Parseval tengligiga ko`ra,

(f, f ) =

∞

X

k=1

c

2

k

= 0,

ya'ni f = θ .

Yetarliligi. Teskarisini faraz qilaylik, {φ

n

}

to`la bo`lmagan sistema bo`lsin,

ya'ni E da shunday g 6= θ element mavjud bo`lib, (g, g) >

∞

P

k=1

c

2

k

, bu yerda

c

k

= (g, φ

k

)

tengsizlik bajarilsin. Riss-Fisher teoremasiga asosan, shunday

f ∈ E

element mavjudki,

(f, φ

k

) = c

k

,

(f, f ) =

∞

X

k=1

c

2

k

tengliklar o`rinli. Bu holda f − g element barcha φ

k

larga ortogonal bo`ladi.

(f, f ) =

∞

X

k=1

c

2

k

< (g, g)

274

tengsizlikdan f − g 6= 0 ekanligi kelib chiqadi.

∆

27.8-misol. L

2

[−π, π]

Evklid fazosida {ψ

n

(t) = π

−1/2

cos n t}

∞

n=1

orto-

normal sistema to`la bo`ladimi?

Yechish. {ψ

n

}

larning barchasiga ortogonal bo`lgan f

0

(t) = 1

nolmas

element mavjud. Shuning uchun, 27.4-teoremaga ko`ra {ψ

n

}

sistema to`la

emas.

27.3. Evklid fazolarining xarakteristik xossalari

Quyidagicha savolni qaraymiz. E − normalangan fazo bo`lsin. E da aniqlan-

gan norma qanday qo`shimcha shartlarni qanoatlantirsa, E Evklid fazosi

ham bo`ladi? Boshqacha aytganda, qanday shartlarda norma orqali unga mos

skalyar ko`paytma kiritish mumkin?

27.5-teorema. E normalangan fazo Evklid fazosi bo`lishi uchun, ixtiyoriy

ikkita f, g ∈ E elementlar uchun

k f + g k

2

+ k f − gk

2

= 2 k f k

2

+ 2 k g k

2

(27.18)

tenglik bajarilishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. f + g va f − g tomonlari f va g vektorlardan ibo-

rat parallelogramm diagonallaridir. (27.18) tenglik Evklid fazosidagi parallel-

ogrammning ma'lum xossasini ifodalaydi, ya'ni parallelogramm diagonallari

kvadratlarining yig`indisi barcha tomonlar kvadratlarining yig`indisiga ten:

kf + gk

2

+ kf − gk

2

= (f + g, f + g) + (f − g, f − g) =

= 2 (f, f ) + 2 (g, g) = 2 kf k

2

+ 2 kgk

2

.

Yetarliligi. E normalangan fazoda normaning (27.18) ayniyatidan foy-

dalanib, E da skalyar ko`paytma kiritish mumkinligini ko`rsatish kifoya. Ix-

tiyoriy f, g ∈ E elementlar uchun

(f, g) =

1

4

³

k f + g k

2

− k f − gk

2

´

(27.19)

275

deymiz. Ko`rsatish mumkinki, agar (27.18) tenglik bajarilsa, (27.19) tenglik

yordamida aniqlangan funksional skalyar ko`paytma shartlarini qanoatlantira-

di.

∆

27.9-misol. R

n

p

− n

o`lchamli vektor fazoni qaraymiz. Bu fazoda x ele-

mentning normasi quyidagicha aniqlanadi (26.3-misolga qarang):

kxk

p

=

Ã

n

X

k=1

|x

k

|

p

!

1

p

.

Qanday p ≥ 1 larda R

n

p

normalangan fazo Evklid fazosi bo`ladi?

Yechish. R

n

p

dan f = (1, 1, 0, . . . , 0) va g = (1, −1, 0, . . . , 0) vektor-

larni olamiz. U holda

f + g = (2, 0, 0, . . . , 0) ,

f − g = (0, 2, 0, . . . , 0) .

Endi (27.18) tenglikning bajarilishini tekshirib ko`ramiz:

k f + g k

p

= (2

p

)

1/p

= 2, k f − gk

p

= 2, k f k

p

= k g k

p

= 2

1/p

,

2

2

+ 2

2

= 2 · 2

2/p

+ 2 · 2

2/p

,

2 = 2

2/p

.

So`nggi tenglik faqat p = 2 da o`rinli. Demak, faqat p = 2 da R

n

p

normalan-

gan fazo Evklid fazosi ham bo`ladi.

27.10. C[0, π/2] fazoni qaraymiz. Ma'lumki, bu fazoda f elementning

normasi quyidagicha aniqlanadi

k f k = max