M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

2) p (a x) = a p (x) , ∀a ≥ 0 va ∀ x ∈ L shartlarni qanoatlantirsa, p ga

qavariq funksional deyiladi.

Biz bu yerda p(x) miqdorni chekli deb faraz qilmaymiz, ya'ni ayrim x ∈ L

lar uchun p(x) = ∞ bo`lishi mumkin. Agar barcha x ∈ L lar uchun p(x)

chekli bo`lsa, p chekli funksional deyiladi.

25.4-misol. p : C[a, b] → R va

p (x) =

Z

b

a

|x(t)| dt

akslantirishning chekli qavariq funksional ekanligini isbotlang.

Isbot. Integralning monotonlik xossasidan, ixtiyoriy x ∈ C[a, b] uchun

p(x) ≥ 0

ekanligi kelib chiqadi. Endi bizga C[a, b] fazoning ixtiyoriy x va y

elementlari berilgan bo`lsin. U holda

p (x + y) =

Z

b

a

|x(t) + y(t)| dt ≤

Z

b

a

|x(t)| dt +

Z

b

a

|y(t)| dt = p (x) + p (y)

tengsizlik o`rinli. Xuddi shunday ixtiyoriy x va α ≥ 0 uchun

p (α x) =

Z

b

a

|α x(t)| dt = α

Z

b

a

|x(t)| dt = α p (x)

tenglik o`rinli. Demak, p qavariq funksional ekan. Uning chekli qavariq funk-

sional ekanligi p (x) ≤ (b − a) max |x (t) | tengsizlikdan kelib chiqadi.

∆

25.5. q : C[a, b] → R va q (x) = V

1

0

[x]

akslantirish chekli bo`lmagan

qavariq funksional bo`lishini isbotlang.

Isbot. q funksionalning manymasligi va qavariq funksional ta'ridagi

1-2 shartlarning bajarilishi funksiya to`la o`zgarishi xossalaridan kelib chiqadi.

O`zgarishi chegaralangan funksiyalar mavzusidan ma'lumki, C[0, 1] fazoning

x

0

(t) = t sin(1/t), x

0

(0) = 0

elementi uchun q(x

0

) = V

1

0

[x] = +∞

tenglik

o`rinli. Demak, q chekli bo`lmagan qavariq funksionalga misol bo`ladi.

∆

Endi qavariq to`plamlar bilan qavariq funksionallar orasidagi bog`lanishni

qaraymiz.

246

25.2-teorema. Agar p : L → R

+

qavariq funksional va k > 0 bo`lsa, u

holda

E = { x ∈ L : p (x) ≤ k }

qavariq to`plam bo`ladi. Agar p funksional chekli bo`lsa, u holda E to`plam

yadrosi nol elementni saqlaydigan,

J (E) = { x ∈ L : p (x) < k}

yadroli qavariq jism bo`ladi.

Isbot. Agar x, y ∈ E va α + β = 1, α, β ≥ 0 bo`lsa, u holda

p (α x + β y) ≤ p (α x) + p (β y) = α p ( x) + β p ( y) < kα + kβ = k,

ya'ni E − qavariq to`plam. Endi p chekli funksional, p(x) < k , t > 0 va

y ∈ L

bo`lsin. U holda

p (x ± t y) ≤ p (x) + t p (±y)

Agar p(−y) = p(y) = 0 bo`lsa, u holda ixtiyoriy t uchun x±t y ∈ E bo`ladi.

Agar p(−y) , p(y) sonlardan hech bo`lmaganda birortasi noldan farqli bo`lsa,

u holda

t <

k − p (x)

max (p (y) , p (−y))

shartda x ± t y ∈ E bo`ladi. Qavariq funksionalning θ nuqtadagi qiymati

nolga teng bo`lgani uchun θ ∈ J(E).

∆

Endi k = 1 holni qaraymiz. U holda har qanday chekli p qavariq funk-

sional L da θ ∈ J(E) bo`ladigan yagona E = { x ∈ L : p (x) ≤ 1 } qavariq

jismni aniqlaydi. Aksincha, E − yadrosi nol elementni saqlaydigan qavariq

jism bo`lsin. U holda har bir x ∈ L ga

p

E

(x) = inf

n

r > 0 :

x

r

∈ E

o

sonni mos qo`yuvchi akslantirish qavariq funksional bo`ladi (mustaqil isbot-

lang). Bu funksional E qavariq jism uchun Minkovskiy funksionali deyiladi.

247

25.5-ta'rif. L haqiqiy chiziqli fazo va L

0

uning biror qism fazosi bo`lsin.

L

0

qism fazoda f

0

chiziqli funksional va L fazoda f chiziqli funksional beril-

gan bo`lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ L

0

uchun f(x) = f

0

(x)

tenglik bajarilsa, f

chiziqli funksional f

0

funksionalning L fazoga davomi deyiladi.

Funksionalning davomi bir qiymatli emas. Funksionalning ixtiyoriy davomi

maqsadga muvoq emas. Odatda funksionalni qandaydir shartni saqlab qolgan

holda davom ettirish talab qilinadi.

25.3-teorema (XanBanax). Aytaylik, p − L haqiqiy chiziqli fazoda

aniqlangan qavariq funksional va L

0

− L

ning qism fazosi bo`lsin. Agar L

0

da aniqlangan f

0

chiziqli funksional

f

0

(x) ≤ p (x) ,

x ∈ L

0

(25.1)

shartni qanoatlantirsa, u holda f

0

ni L da aniqlangan va L da (25.1) shartni

qanoatlantiruvchi f chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin.

Isbot. L

0

6= L

bo`lgan holda f

0

chiziqli funksionalni L

0

dan kengroq

bo`lgan L

(1)

qism fazogacha (25.1) shartni saqlagan holda chiziqli davom et-

tirish mumkinligini ko`rsatamiz. L

0

ga qarashli bo`lmagan ixtiyoriy z ∈ L

elementni olamiz. L

(1)

bilan L

0

va z elementlardan tashkil topgan qism fa-

zoni belgilaymiz. L

(1)

quyidagicha ko`rinishdagi elementlardan tashkil topgan

{tz + x, t ∈ R, x ∈ L

0

} = L

(1)

.

Agar f

1

funksional f

0

ning L

(1)

qism fazogacha chiziqli davomi bo`lsa, u

holda

f

1

(t z + x) = f

1

(t z) + f

1

(x) = t f

1

( z) + f

0

(x) ,

yoki f

1

(z) = c

deb olsak,

f

1

(t z + x) = t c + f

0

(x)

248

tenglik o`rinli bo`ladi. Endi c ni shunday tanlaymizki, f

1

funksional (25.1)

shartni qanoatlantirsin, ya'ni

f

1

(t z + x) = t c + f

0

(x) ≤ p (t z + x)

(25.2)

tengsizlik bajarilsin. Agar t > 0 bo`lsa, (25.2) shart quyidagi shartga teng

kuchli:

c + f

0

³x

t

´

≤ p

³

z +

x

t

´

yoki c ≤ p

³

z +

x

t

´

− f

0

³x

t

´

t < 0

bo`lsa,

c + f

0

³x

t

´

≥ −p

³

−z −

x

t

´

yoki c ≥ −p

³

−z −

x

t

´

− f

0

³x

t

´

.

Bu ikkala shartni qanoatlantiruvchi c son har doim mavjudligini ko`rsatamiz.

L

0

qism fazodan olingan ixtiyoriy y

0

va y

00

elementlar uchun

−f

0

(y

00

) + p (y

00

+ z) ≥ −f

0

(y

0

) − p (−y

0

− z)

(25.3)

tengsizlik o`rinli. Haqiqatan ham, bu tengsizlik quyidagi tengsizlikdan bevosita

kelib chiqadi:

f

0

(y

00

) − f

0

(y

0

) = f

0

(y

00

− y

0

) ≤ p (y

00

− y

0

) =

= p ((y

00

+ z) + (−y

0

− z)) ≤ p (y

00

+ z) + p (−y

0

− z) .

Endi

c

00

= inf

y

00

(−f

0

(y

00

) + p(y

00

+ z)) ,

c

0

= sup

y

0

(−f

0

(y

0

) − p(−y

0

− z))

deb olamiz. (25.3) tengsizlik ixtiyoriy y

0

va y

00

lar uchun o`rinli bo`lganidan

c

00

≥ c

0

ekanligi kelib chiqadi. Agar c sonini c

00

≥ c ≥ c

0

qo`sh tengsizlikni

qanoatlantiradigan qilib tanlasak, u holda

f

1

(t z + x) = t c + f

0

(x)

249

formula bilan aniqlangan f

1

funksional chiziqli va (25.1) shartni qanoatlanti-

radi.

Shunday qilib, biz f

0

funksionalni L

0

qism fazodan undan kengroq bo`lgan

L

(1)

qism fazogacha (25.1) shartni saqlagan holda chiziqli davom ettirdik.

Agar L chiziqli fazoda sanoqlita x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

elementlar sistemasi

mavjud bo`lib, bu sistemani saqlovchi L ({x

k

})

minimal qism fazo L ning

o`ziga teng bo`lsa, u holda f

0

funksionalni

L

(1)

= {L

0

, x

1

}, L

(2)

= {L

(1)

, x

2

}, . . .

kengayib boruvchi qism fazolarda yuqoridagidek aniqlab, f

0

funksionalni L

fazogacha (25.1) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin.

Agar chiziqli qobig`i L ga teng bo`ladigan sanoqli sistema mavjud bo`lmasa,

u holda teoremaning isboti Sorn lemmasi yordamida nihoyasiga etkaziladi ([1]

ga qarang).

∆

25.6. L = C[−1, 1] uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosi L

0

=

{x ∈ C[−1, 1] : suppx ⊂ [0, 1]}

ni qaraymiz. L

0

qism fazoda f

0

chiziqli

funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

f

0

(x) =

Z

1

−1

x (t) dt, x ∈ L

0

.

L = C[−1, 1]

chiziqli fazoda f va p funksionallarni quyidagicha aniqlaymiz:

f (x) =

Z

0

−1

x (t) y

0

(t) dt +

Z

1

0

x (t) dt, p(x) = 2 max

−1≤t≤1

| x(t) | , x ∈ L

Quyidagicha savollar qo`yamiz.

1) f

0

funksional (25.1) tengsizlikni qanoatlantiradimi?

2) f funksional f

0

funksionalning L fazogacha davomi bo`ladimi?

3) y

0

∈ C[−1, 0]

qanday tanlanganda f funksional Xan-Banax teoremasi-

ning shartlarini qanoatlantiradi?

250

Yechish. f

0

funksional (25.1) tengsizlikni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham,

f

0

(x) =

1

Z

−1

x (t) dt ≤

1

Z

−1

max

−1≤t≤1

| x (t) | dt = 2 max

−1≤t≤1

| x (t) | = p (x) , x ∈ L

0

.

Agar x ∈ L

0

, bo`lsa u holda

Z

0

−1

x (t) y

0

(t) dt = 0

bo`ladi. Shuning uchun, barcha y

0

∈ C[−1, 0]

larda f (x) = f

0

(x) , x ∈ L

0

tenglik o`rinli. Demak, barcha y

0

lar uchun f funksional f

0

funksionalning

L

fazogacha davomi bo`ladi. Nihoyat,

f (x) ≤ max

−1≤t≤0

|x (t)|

Z

0

−1

|y

0

(t)| dt +

Z

1

0

max

0≤t≤1

|x (t)| dt ≤

≤ 2 max

−1≤t≤1

|x (t)| = p (x) , x ∈ L

tengsizlik,

Z

0

−1

| y

0

(t) | dt = c ≤ 1

shartni qanoatlantiruvchi barcha y

0

∈ C[−1, 0]

larda o`rinli. Demak, c ∈

[0, 1]

bo`lsa, Xan-Banax teoremasining shartlari bajariladi. Shunday qilib f

0

funksionalni (25.1) shartni saqlagan holda cheksiz ko`p usul bilan L fazogacha

davom ettirish mumkin ekan.

Endi Xan-Banax teoremasining kompleks variantini isbot qilamiz.

25.6-ta'rif. L − kompleks chiziqli fazo va unda aniqlangan manymas p

funksional berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy x, y ∈ L va ixtiyoriy α ∈ C uchun

p (x + y) ≤ p (x) + p (y)

va p (α x) = |α| p (x) shartlar bajarilsa, u holda p

qavariq funksional deyiladi.

25.4-teorema (Xan-Banax). p − L kompleks chiziqli fazoda aniqlangan

qavariq funksional, f

0

esa L

0

qism fazoda aniqlangan bo`lib,

| f

0

(x) | ≤ p (x) ,

x ∈ L

0

251

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional bo`lsin. U holda butun L da aniq-

langan va

f (x) = f

0

(x) , ∀x ∈ L

0

, | f (x) | ≤ p (x) ,

∀x ∈ L

shartlarni qanoatlantiruvchi f chiziqli funksional mavjud.

Isbot. L va L

0

fazolarni haqiqiy chiziqli fazo sifatida qarab, mos ravishda

L

R

va L

0R

bilan belgilaymiz. Tushunarliki, p funksional L

R

da aniqlangan

qavariq funksional bo`ladi, f

0R

(x) = Ref

0

(x)

esa

| f

0R

(x) | ≤ p (x) ,

x ∈ L

0R

(= L

0

)

shartni, bundan esa f

0R

(x) ≤ p (x)

shartni qanoatlantiruvchi L

0R

dagi

haqiqiy chiziqli funksional bo`ladi. 25.3-teoremaga ko`ra, L

R

da aniqlangan

va

f

R

(x) ≤ p (x) ,

x ∈ L

R

(= L) ,

f

R

(x) = f

0R

(x) ,

x ∈ L

0R

(= L

0

)

shartni qanoatlantiruvchi f

R

chiziqli funksional mavjud. Tushunarliki,

−f

R

(x) = f

R

(−x) ≤ p (−x) = p (x) .

Demak,

|f

R

(x) | ≤ p (x) , x ∈ L

R

(= L)

(25.4)

Endi f funksionalni L da quyidagicha aniqlaymiz

f (x) = f

R

(x) − i f

R

(ix) .

Murakkab bo`lmagan hisoblashlar yordamida ko`rsatish mumkinki, f − L

kompleks chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksional bo`ladi hamda

f (x) = f

0

(x) , ∀x ∈ L

0

,

Ref (x) = f

R

(x) ,

∀x ∈ L.

252

Ixtiyoriy x ∈ L uchun |f (x) | ≤ p (x) ekanligini ko`rsatsak, teorema is-

bot bo`ladi. Teskaridan faraz qilamiz. Biror x

0

∈ L

uchun |f (x

0

) | > p (x

0

)

bo`lsin. f (x

0

)

kompleks sonni f (x

0

) = ρ e

iϕ

, ρ > 0

ko`rinishda yozamiz va

y

0

= e

−iϕ

x

0

deb olamiz. U holda

f

R

(y

0

) = Ref (y

0

) = Re

£

e

−iϕ

f (x

0

)

¤

= ρ > p (x

0

) = p (y

0

) .

Bu esa (25.4) shartga zid.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

V

0

[a, b]

qism fazoda aniqlangan f

0

(x) = x(b)

funksional uchun f :

V [a, b] → R , f (x) = α x(a) + x (b)

funksional uning davomi bo`ladimi?

p(x) = |x(a)| + |x(b)| , x ∈ V [a, b]

funksional qavariqmi? Parametr

α ∈ R

ning qanday qiymatlarida bu funksionallar uchun 25.3-teorema

shartlari bajariladi?

2.

Yadrosi bo`sh to`plam bo`lgan qavariq to`plamga misol keltiring.

3.

R

2

fazoda qavariq va qavariq bo`lmagan funksionalga misol keltiring.

Bu fazoda p

1

(x) = x

2

1

+ x

2

2

va p

2

(x) =

p

x

2

1

+ x

2

2

funksionallarni

qavariqlikka tekshiring.

4.

25.6-misolda keltirilgan f

0

va f funksionallarning chiziqli ekanligini

ko`rsating.

5.

25.6-misolda keltirilgan p akslantirishning chekli qavariq funksional ekan-

ligini ko`rsating.

6.

Berilgan E = { x ∈ C [a, b] : max

a≤t≤b

| x (t) | ≤ 1 }

qavariq jismga mos

Minkovskiy funksionalini quring.

7.

p : R

2

→ R, p(x) = |x

1

+ x

2

|

funksionalning chekli qavariq funksio-

nal ekanligini ko`rsating. Unga mos E =

©

x ∈ R

2

: p(x) ≤ 1

ª

qavariq

jismni R

2

fazoda chizib ko`rsating.