M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

∗

fazolarda bir-biriga mos keluvchi nor-

malarga misol keltiramiz.

a) Yuqoridagi n − o`lchamli X va X

∗

fazolarni qaraymiz. Har bir x ∈ X

uchun (30.5) o`rinli bo`lib, x ning normasi

k x k =

Ã

n

X

i=1

|x

i

|

2

!

1

2

formula bilan aniqlangan bo`lsin. U holda ixtiyoriy f ∈ X

∗

uchun

|f (x) | =

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

g

i

(x)f (e

i

)

¯

¯

¯

¯

¯

=

=

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

f

i

· x

i

¯

¯

¯

¯

¯

≤

v

u

u

t

n

X

i=1

| x

i

|

2

·

v

u

u

t

n

X

i=1

| f

i

|

2

=

v

u

u

t

n

X

i=1

| f

i

|

2

· k x k

tengsizlikka ega bo`lamiz, bu yerda f

i

= f (e

i

), i ∈ {1, 2, . . . , n}

. Agar

x

f

=

n

X

i=1

f

i

· e

i

310

desak,

|f (x

f

)| =

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

f

i

· f (e

i

)

¯

¯

¯

¯

¯

=

n

X

i=1

¯

¯f

i

¯

¯

2

=

v

u

u

t

n

X

i=1

¯

¯f

i

¯

¯

2

· kx

f

k .

Bundan

k f k =

v

u

u

t

n

X

i=1

| f

i

|

2

tenglikni olamiz. Shunday ekan, X va X

∗

fazolarda

k x k =

v

u

u

t

n

X

i=1

| x

i

|

2

va

k f k =

v

u

u

t

n

X

i=1

| f

i

|

2

normalar bir-biriga mos normalar juftligi ekan.

b) Endi X fazodagi har bir x ∈ X element uchun uning normasi

k x k

p

=

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

, 1 < p < ∞

formula bilan aniqlangan bo`lsin. Bu normaga mos X

∗

fazodagi normani

aniqlash uchun Gyolder tengsizligidan ((19.15) formulaga qarang) foydalanamiz.

U holda har bir f ∈ X

∗

chiziqli funksional va ixtiyoriy x ∈ X uchun

x =

n

X

i=1

x

i

· e

i

va

f (x) =

n

X

i=1

f (e

i

) · g(x) =

n

X

i=1

f

i

· x

i

desak, Gyolder tengsizligiga asosan

| f (x) | =

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

f

i

x

i

¯

¯

¯

¯

¯

≤

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

=

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

k x k

p

tengsizlik barcha x ∈ X lar uchun o`rinli bo`ladi. Bu yerda

1 < p < ∞, 1 < q < ∞,

1

p

+

1

q

= 1.

(30.7)

Agar x

f

∈ X

elementning koordinatalarini

x

i

= f

i

| f

i

|

q−2

, i ∈ {1, 2, . . . , n}

311

ko`rinishda tanlasak (agar f

i

= 0

bo`lsa, x

i

= 0

deb olinadi), u holda

x

i

· f

i

= f

i

· |f

i

|

q−2

· f

i

= |f

i

|

q

≥ 0, i ∈ {1, 2, . . . , n}

va

x

i

· f

i

= | f

i

|

q

= | f

i

|

p

p−1

=

³

| f

i

|

1

p−1

´

p

= | x

i

|

p

tengliklar o`rinli bo`ladi. Chunki

| x

i

| = | f

i

|

q−1

= | f

i

|

1

p−1

,

q − 1 =

1

p − 1

.

U holda x

i

· f

i

= | f

i

|

q

va x

i

· f = | x

i

|

p

tengliklarga ko`ra

|f (x

f

)| =

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

i=1

x

i

· f

i

¯

¯

¯

¯

¯

=

n

X

i=1

x

i

· f

i

=

Ã

n

X

i=1

x

i

· f

i

!

1

q

Ã

n

X

i=1

x

i

· f

i

!

1

p

=

=

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

=

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

k x k

p

.

Demak, f funksionalning normasi uchun quyidagi tenglik o`rinli

k f k

q

=

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

.

Shunday qilib, X va X

∗

fazolarda mos normalar juftligi

k x k

p

=

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

,

k f k

q

=

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

(30.8)

ko`rinishda bo`lar ekan. Bu yerda p va q sonlar (30.7) munosabatni qanoat-

lantiradi.

c) X fazodagi har bir x ∈ X uchun (30.5) tasvir o`rinli bo`lib, x ning

normasi

k x k

1

=

n

X

i=1

| x

i

|

formula bilan aniqlangan bo`lsin. Ixtiyoriy f ∈ X

∗

chiziqli funksional va

barcha x ∈ X larda

f (x) =

n

X

i=1

f

i

x

i

, f

i

= f (e

i

), i ∈ {1, 2, . . . , n}

312

tenglik o`rinli bo`lgani uchun

| f (x) | =

n

X

i=1

| f

i

· x

i

| ≤ max

1≤i≤n

| f

i

| ·

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

!

= max

1≤i≤n

| f

i

| · k x k

1

,

ya'ni

k f k ≤ max

1≤i≤n

| f

i

| .

Faraz qilaylik, biror i

0

∈ {1, 2, . . . , n}

uchun | f

i

0

| = max

1≤i≤n

| f

i

|

bo`lsin. Agar

x

0

=



0, 0, . . . , 0, 1

|

{z

}

i

0

, 0, . . . , 0





desak, k x

0

k

1

= 1

va

| f (x

0

) | = | f

i

0

| = max

1≤i≤n

| f

i

| = max

1≤i≤n

| f

i

| · k x

0

k

1

tengliklar o`rinli bo`ladi. Bundan

k f k = max

1≤i≤n

| f

i

|

tenglikka ega bo`lamiz. So`nggi normani biz k · k

∞

bilan belgilaymiz. Mate-

matik analizdan ma'lumki, ((19.19) ga qarang)

lim

p→∞

k x k

p

= lim

p→∞

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

= max

1≤i≤n

| x

i

| = k x k

∞

.

Shunday qilib, X va X

∗

chekli n − o`lchamli fazolarda

k x k

1

=

n

X

i=1

| x

i

| , k f k

∞

= max

1≤i≤n

| f

i

|

(30.9)

lar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligini hosil qiladi. Agar biz (30.7)

munosabatni saqlagan holda q → ∞ da limitga o`tsak, p = 1 va q = ∞

ni olamiz. Demak, (30.9) normalar juftligi (30.8) normalar juftligining limitik

holati ekan.

d) Endi n − o`lchamli X fazoda norma

k x k

∞

= max

1≤i≤n

| x

i

|

313

formula vositasida aniqlangan bo`lsin. Ixtiyoriy f ∈ X

∗

chiziqli funksional

uchun f

i

= f (e

i

), i ∈ {1, 2, . . . , n}

(e

1

, e

2

, . . . , e

n

lar X fazoning bazisi)

desak, barcha x ∈ X lar uchun

f (x) =

n

X

i=1

f

i

x

i

tenglik va

| f (x) | =

n

X

i=1

| f

i

· x

i

| ≤ max

1≤i≤n

| x

i

| ·

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

!

= max

1≤i≤n

| f

i

| · k x k

∞

,

tengsizlik o`rinli. Ikkinchi tomondan

x

f

=

µ

f

1

|f

1

|

,

f

2

|f

2

|

, . . . ,

f

n

|f

n

|

¶

, k x

f

k

∞

= 1

element uchun

| f (x

f

) | =

n

X

i=1

f

i

f

i

|f

i

|

=

n

X

i=1

| f

i

| =

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

!

· k x

f

k

∞

.

U holda

k f k

1

=

n

X

i=1

| f

i

|

tenglikka ega bo`lamiz. Demak, X va X

∗

fazolarda

k x k

∞

= max

1≤i≤n

| x

i

| ,

k f k

1

=

n

X

i=1

| f

i

|

(30.10)

normalar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligi bo`ladi. (30.10) tenglik (30.8)

tenglikning p → ∞ dagi limitik holatiga mos keladi.

30.3. Endi `

p

fazoni qaraymiz. Ma'lumki, bu fazo

n

X

i=1

| x

i

|

p

< ∞

shartni qanoatlantiruvchi barcha x = {x

n

}

ketma-ketliklardan iborat va unda

x

elementning normasi

k x k

p

=

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

314

tenglik bilan aniqlanadi. Agar biz q > 1 sonni (30.7) munosabatdan aniqlasak,

u holda `

∗

p

fazo `

q

fazoga izomorf bo`ladi. Buni isbotlash uchun `

q

fazoning

ixtiyoriy f = {f

n

}

elementi yordamida `

p

fazoda

e

f (x) =

∞

X

n=1

f

n

· x

n

(30.11)

chiziqli funksionalni aniqlaymiz. Dastlab (30.11) tenglikning o`ng tomonidagi

qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligini ko`rsatamiz. Ma'lumki, ixtiyoriy

n

natural son uchun

n

X

i=1

|f

i

x

i

| ≤

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

Ã

n

X

i=1

| x

i

|

p

!

1

p

≤

Ã

n

X

i=1

| f

i

|

q

!

1

q

k x k

p

(30.12)

o`rinli. Birinchi tengsizlikni yozishda biz Gyolder tengsizligidan ((19.15) for-

mulaga qarang) foydalandik. Bu yerdan (30.11) tenglikning o`ng tomonida-

gi qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi hamda e

f

funksional uchun quyidagi

munosabatlar kelib chiqadi:

¯

¯

¯ e

f (x)

¯

¯

¯ =

∞

X

i=1

| f

i

x

i

| ≤ k f k

q

k x k

p

,

°

°

° e

f

°

°

° ≤ k f k

q

.

Demak, (30.11) tenglik bilan aniqlangan e

f

funksional chiziqli va uzluksiz.

Agar x

f

∈ `

p

elementning hadlarini

x

i

= f

i

| f

i

|

q−2

, i ∈ {1, 2, . . . , ∞}

(agar f

i

= 0

bo`lsa, x

i

= 0

deb olinadi) ko`rinishda tanlasak, 30.1-misolning

b) bandidagidek quyidagilarga ega bo`lamiz:

x

i

f

i

= | f

i

|

q

≥ 0, x

i

f

i

= | x

i

|

p

≥ 0, i ∈ {1, 2, . . . , ∞} .

Biz x

f

∈ `

p

va f = {f

i

} ∈ `

q

ekanligini hisobga olsak,

| e

f (x

f

)| = |

∞

X

i=1

x

i

f

i

| =

∞

X

i=1

x

i

f

i

=

Ã

∞

X

i=1

x