M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko`rsatib, normasini to- ping.
Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Uzluksiz funk- siyalarning ko`paytmasi uzluksiz ekanligidan B operatorning aniqlanish sohasi D(B) = C[−1, 1] ekanligi kelib chiqadi. Endi B operatorning chegaralangan ekanligini ko`rsatamiz.
Bu tengsizlikdan B operatorning chegaralangan ekanligi va kB k ≤ 1 kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, agar f 0 (x) = 1 desak, u holda (B f 0 )(x) = x, kB f 0 k = 1, kBk ≥ kB f 0
kf 0
= 1 302
ni olamiz. Yuqoridagilardan kB k = 1 kelib chiqadi. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, L 2 [−1, 1] Hilbert fazosida ham (29.10) tenglik bilan aniqlangan B operator chiziqli chegaralangan bo`lib, normasi 1 ga teng bo`ladi. 29.9. Endi ` 2 fazoda ko`paytirish operatorini, ya'ni A : ` 2
2
= a n x n , sup n≥1 |a n | = a < ∞ (29.11) operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko`rsatib, normasini to- ping.
Yechish. Ixtiyoriy x ∈ ` 2 uchun Ax ∈ ` 2 ekanligini ko`rsatamiz: ∞ X
|(Ax) n | 2 = ∞ X
|a n x n | 2
n≥1 |a n | 2
X
2 = a 2 kx k 2
(29.12) Bu munosabatlardan D(A) = ` 2 ekanligini olamiz. Endi uning chiziqli ekan- ligini ko`rsatamiz. A operatorning aniqlanishiga ko`ra (A(αx + βy)) n = a n (αx n + βy n ) = a n αx n + a n βy n = α(Ax) n + β(Ay) n . Demak, A chiziqli operator ekan. Uning chegaralangan ekanligi (29.12) teng- sizlikdan kelib chiqadi. Bundan tashqari (29.12) tengsizlikdan kAk ≤ a ekan- ligi ham kelib chiqadi. A operatorning normasi kA k = a ekanligini isbot- laymiz. Buning uchun ` 2 fazoda {e n } ∞ n=1 ortonormal sistemani ((23.8) ga qarang) olamiz. A operatorning aniqlanishiga ko`ra, ixtiyoriy n ∈ N uchun
= a n e n tenglik o`rinli. Bundan va (29.7) dan kA k ≥ kAe n k = ka n e n k = |a n | · ke n k = |a n | munosabat kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy n ∈ N da o`rinli bo`lgani uchun
(29.13) ni olamiz. Demak, kAk = a tenglik isbotlandi. ∆ Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 303 1. L 2 [−1, 1] Hilbert fazosida (29.10) tenglik bilan aniqlangan B ko`paytirish operatorining chiziqli chegaralangan ekanligini ko`rsatib, uning normasi- ni toping. 2.
2 [a, b] Hilbert fazosida (29.1) tenglik bilan aniqlangan B integral ope- ratorning chiziqli chegaralangan ekanligini ko`rsating. 3.
2 [−π, π] Hilbert fazosida (29.1) tenglik bilan aniqlangan B integral operatorning o`zagi K(x, t) = cos(x − t) bo`lgan holda, uning yadrosi KerB va qiymatlar sohasi R(B) ni tavsiang. 4. 29.3 va 29.8-misollarda keltirilgan operatorlar y ig`indisini toping. 5. Integral operator A : C[−1, 1] → C[−1, 1], (Af )(x) = Z 1 −1 (1 + xy)f (y)dy va 29.8-misolda keltirilgan x ga ko`paytirish operatori B larning ko`paytmasini toping. AB = BA tenglik to`g`rimi? 6. Agar A, B ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u holda | kAk − kBk | ≤ kA − Bk teng- sizlikni isbotlang. 7. Aytaylik, X chiziqli normalangan fazo bo`lsin. p : X → R , p(x) = kxk akslantirishning uzluksizligini isbotlang. 30- § . Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar Ma'lumki, chiziqli funksional va uning nollari 24- da o`rganilgan edi. 25- da esa L 0 qism fazoda aniqlangan f 0 chiziqli funksionalni p qavariq funksio- nalga bo`ysungan holda butun L fazogacha chiziqli davom ettirish mumkinli- gi haqidagi Xan-Banax teoremasi isbotlangan edi. Biz bu paragrafda chiziqli 304
funksionalning normasini saqlagan holda uni butun L fazogacha davom et- tirish mumkinligi haqidagi Xan-Banax teoremasini isbotlaymiz, hamda funk- sional fazolarda chiziqli uzluksiz funksionallarning umumiy ko`rinishidan foy- dalanib, asosiy funksional fazolarga qo`shma fazolarni izomorzm aniqligida topamiz. 30.1. Chiziqli funksionallar Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo`lsa, bunday operator funksional deyiladi (24.1-ta'rifga qarang). Agar X chiziqli fazoda aniqlangan f funksional uchun quyidagi shartlar bajarilsa 1) f(x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ), ∀x 1
2
; additivlik, 2) f(λx) = λf(x), ∀x ∈ X, ∀λ ∈ C , (yoki R), bir jinslilik f ga chiziqli funksional (24.2, 24.3-ta'riarga qarang) deyiladi. 30.1-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ = δ(ε) > 0 mavjud bo`lib, kx − x 0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D(f) lar uchun |f(x) − f(x 0 )| < ε tengsizlik bajarilsa, f funksional x = x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar f funksional ixtiyoriy x ∈ D(f) nuqtada uzluksiz bo`lsa, f uzluksiz funksional deyiladi. 30.1-ta'rifga teng kuchli bo`lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz. 30.2-ta'rif. Agar x 0 nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy x n ketma-ketlik uchun lim
) − f (x 0 )| = 0 bo`lsa, u holda f funksional x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. C − kompleks sonlar to`plami ( R − haqiqiy sonlar to`plami) Banax fazosi bo`lganligi uchun 29- da chiziqli operatorlar uchun o`rnatilgan teorema va tasdiqlar chiziqli funksionallar uchun ham o`rinli bo`ladi. 30.1-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funk- sional biror x 0
nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda bu chiziqli funksional butun X fazoda uzluksiz. 305
30.2-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli f funk- sional uzluksiz bo`lishi uchun uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli. Xuddi chiziqli operatorlardagidek |f(x)| ≤ M kxk tengsizlikni qanoat- lantiruvchi M sonlarning aniq quyi chegarasi f funksionalning normasi deyi- ladi va kfk bilan belgilanadi. Shunday qilib,
Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi kfk uchun quyidagi tenglik o`rinli:
(30.1) 30.3-teorema (Xan-Banax). E kompleks chiziqli normalangan fazo, E 0
E ning qism fazosi va f 0
0 da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional bo`lsin. U holda f 0 ni normasini saqlagan holda E da aniqlangan f chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya'ni f (x) = f 0 (x), x ∈ E 0 va kf k E = kf 0
0 shartlarni qanoatlantiruvchi f : E → C chiziqli funksional mavjud. Isbot. Aytaylik, kf 0
E 0 = K bo`lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib chiqadiki, barcha x ∈ E larda p(x) = K kxk tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qavariq funksional bo`ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy x ∈ E 0 uchun | f 0 (x) | ≤ kf 0 k E 0
tengsizlik o`rinli. Shunday ekan, f 0 25.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda E da aniqlangan shunday f chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi: f (x) = f 0 (x), ∀x ∈ E 0 , |f (x) | ≤ p(x) = kf 0
306
Bu yerdan f ning chegaralanganligi va k f k ≤ k f 0
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, k f k E = sup
x∈E, x6=θ |f (x)| k x k ≥ sup
x∈E 0
|f (x)| k x k = k f 0
0
Demak, k f k
= k f 0
0
∆ 30.1-natija. X chiziqli normalangan fazo va x 0 6= θ undagi ixtiyoriy bel- gilangan element bo`lsin. U holda butun X da aniqlangan shunday f chiziqli funksional mavjudki, k f k = 1, f (x 0 ) = kx 0 k (30.2) tengliklar o`rinli bo`ladi. Isbot. f funksionalni bir o`lchamli X 0 = {αx 0 } qism fazoda quyidagicha aniqlaymiz: f 0 (αx 0 ) = α kx 0
Ko`rinib turibdiki, f (x 0 ) = kx 0 k , |f 0 (x)| = | α | k x 0 k = k x k , x = α x 0 Bu yerdan kf 0 k E 0 = 1. f 0 funksionalni butun X gacha chiziqli davom etti- ramiz. Hosil bo`lgan funksional (30.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo`ladi.
∆ Endi chiziqli funksionalning davomiga doir misol qaraymiz. 30.1-misol. L = C[−1, 1] uzluksiz funksiyalar fazosi va uning L 0 = {f ∈ C[−1, 1] : suppf ⊂ [0, 1]} qism fazosini qaraymiz. L 0 qism fazoda f 0 chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: f 0 (x) = Z 1
x(t)dt, x ∈ L 0
f 0 funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring. Yechish. f 0 funksionalning normasini hisoblaymiz. Agar x ∈ L 0 bo`lsa,
u holda Z 0 −1 x(t)dt = 0 307
bo`ladi. Shuning uchun |f 0 (x)| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z 1 −1 x(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ =
¯ ¯ ¯ ¯ Z 1 0 x(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ max 0≤t≤1
Z 1 0 dt = k x k L 0
Demak,
0
Endi k f 0
tengsizlikni ko`rsatamiz. Buning uchun C[−1, 1] fazoda uzluksiz funksiyalarning x n (t) =
0, t ∈ [−1, 0] nt, t ∈ (0, 1/n), 1, t ∈ [1/n, 1] ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik uchun quyidagilar o`rinli: x n ∈ L 0
n k = 1, ∀n ∈ N , |f 0 (x n )| = ¯ ¯
¯ Z 1 0 x n (t)dt ¯ ¯
¯ ≥ Z 1 1 n dt = 1 − 1
. (30.3) (30.3) tengsizlikda n lar bo`yicha aniq yuqori chegara olsak,
0
n≥1 |f 0 (x n )| = sup n≥1 ½ 1 − 1 n ¾ = 1 tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu ikkala tengsizlikdan kf 0
tenglikni olamiz. 25.6-misoldagi kabi C[−1, 1] chiziqli fazoda g y , y ∈ V 0 [−1, 0] funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: g y (x) = Z 0
x(t)y(t)dt + Z 1 0 x(t)dt , x ∈ L. (30.4) Ma'lumki, istalgan y ∈ V 0 [−1, 0] uchun g y funksional f 0 funksionalning C[−1, 1] fazogacha davomi bo`ladi. g y funksional uchun Xan-Banax teore- masining tasdig`i o`rinlimi? Boshqacha aytganda k f 0
y k tenglik qanday y ∈ V 0 [−1, 0] lar uchun o`rinli? C[a, b] fazodagi chiziqli uzluksiz funksional- ning umumiy ko'rinishi haqidagi Riss - 30.4-teorema, hamda (30.19) tenglik- dan foydalansak, (30.4) ko`rinishdagi davomlar ichida yagona g 0 funksional 308 f 0 funksionalning normasini saqlagan holda L = C[−1, 1] fazogacha davo- mi bo`ladi. 25.6-misolda f 0 funksionalni (25.1) shartni saqlagan holda cheksiz ko`p (kontinuum) usul bilan L fazogacha davom ettirish mumkin edi. 30.2. Qo`shma fazolar Chiziqli funksionallarning umumiy ko`rinishidan foydalanib, qo`shma fazoni ayrim hollarda izomorzm aniqligida topish mumkin. 30.3-ta'rif. X normalangan fazoda aniqlangan, chiziqli uzluksiz funksio- nallar fazosi X ga qo`shma fazo deyiladi va X ∗ bilan belgilanadi, ya'ni X ∗ =
Bundan keyingi 31- da ya'ni chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi mavzusi- da biz Y to`la fazo bo`lgan holda L(X, Y ) fazoning Banax fazosi bo`lishini isbotlaymiz. Shunga ko`ra (31.1-natijaga qarang) X chiziqli normalangan fa- zoga qo`shma bo`lgan X ∗ = L(X, C) fazo Banax fazosi boladi. Chunki, kompleks sonlar to`plami C = Y to`la normalangan fazo. Qo`shma fazo- larni o`rganishni eng sodda holdan, yani X fazo n o`lchamli (haqiqiy yoki compleks) chiziqli fazo bo`lgan holdan boshlaymiz. 30.2-misol. X n o`lchamli (haqiqiy yoki compleks) chiziqli fazo bo`lsin. Bu fazoda biror e 1
2
n bazisni tanlaymiz. U holda har bir x ∈ X vektor yagona ravishda
X
x j e j (30.5) ko`rinishda tasvirlanadi. Agar f −X da aniqlangan chiziqli funksional bo`lsa, u holda ravshanki, f (x) = n X
x j f (e j ) (30.6) bo`ladi. Shunday ekan, chiziqli funksional o`zining e 1
2
bazis vektor- lardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bundan tashqari bu qiymat- 309
larni ixtiyoriy berish mumkin. Ushbu g 1
2
funksionallarni g i (e j ) =
0, agar i 6= j, 1, agar i = j deb aniqlaymiz. Ko`rsatish mumkinki, bu funksionallar chiziqli bog`lanmagan. Agar x ∈ X element (30.5) ko`rinishda bo`lsa, u holda g i (x) = x i tenglik
bajariladi. Shuning uchun (30.6) formulani f (x) = n X
g i (x)f (e i ) ko`rinishda yozish mumkin. Shunday qilib g 1 , g 2
n funksionallar X ∗ fa-
zoda bazis tashkil qilar ekan, ya'ni X ∗ ham n o`lchamli fazodir. X ∗ dagi
g 1
2
bazis X dagi e 1
2
n bazisga ikkilamchi bazis deyiladi. X fazoda aniqlangan har xil normalar X ∗ fazoda har xil normalarni keltirib chiqaradi. Hozir biz X va X
Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling