M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

, . . .)

operatorga

qo`shma operatorni toping. Bu yerda a

n

∈ C, n ∈ N.

9.

B : L

2

[0, 1] → L

2

[0, 1],

(Bf )(x) = u(x)f (x)

operatorga qo`shma

operatorni toping. Bu yerda u : [a, b] → C uzluksiz funksiya.

10.

O`z-o`ziga qo`shma A, B : L

2

[0, 1] → L

2

[0, 1]

operatorlar berilgan:

(Af )(x) = xf (x),

(Bf )(x) =

Z

1

0

xyf (y)dy.

AB

va BA operatorlarni toping. Ular o`z-o`ziga qo`shma bo`ladimi?

11.

A : L

2

[−1, 1] → L

2

[−1, 1]

operator berilgan:

(Af )(x) =

Z

1

−1

(x

2

+ iy

2

)f (y)dy.

Uning invariant qism fazolarini toping. Juft funksiyalardan iborat

L

+

2

[−1, 1] = {f ∈ L

2

[−1, 1] : f (−x) = f (x)}

qism fazo A operator

uchun invariant qism fazo bo`ladimi?

359

34- § . Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan

biridir. Chiziqli operator spektrini o`rganish matematik zika uchun muhimdir.

Masalan, kvant mexanikasida sistema Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o`z-

o`ziga qo`shma operatordir, uning spektrini o`rganish sistema zik xususiyat-

larini o`rganish uchun muhimdir. Spektr tushunchasini dastlab chekli o`lchamli

fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz.

Faraz qilaylik, A : C

n

→ C

n

chiziqli operator berilgan bo`lsin. Agar biror

λ ∈ C

son uchun

Ax = λ x

tenglama nolmas x ∈ C

n

yechimga ega bo`lsa, u holda λ son A operator-

ning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esaxos vektor

deyiladi. Ma'lumki, har bir A : C

n

→ C

n

chiziqli operatorga {a

ij

} − n × n

matritsa mos keladi va aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma'lumki, agar λ

son A operatorning xos qiymati bo`lsa, det(A − λI) = 0 bo`ladi va aksincha.

n × n

matritsa determinanti det(A − λI), parametr λ ning n− darajali

ko`phadi bo`ladi va det(A − λI) = 0 tenglama ko`pi bilan n ta ildizga ega,

ya'ni A : C

n

→ C

n

chiziqli operator ko`pi bilan n ta xos qiymatga ega. Agar

λ

son A operatorning xos qiymati bo`lsa A − λI ga teskari operator mavjud

emas va aksincha. Agar λ son A operator uchun xos qiymat bo`lmasa, ya'ni

det(A − λI) 6= 0

bo`lsa, u holda A − λI ga teskari operator mavjud va u C

n

fazoning hamma yerida aniqlangan bo`ladi.

34.1-teorema. A : C

n

→ C

n

chiziqli operator chegaralangandir.

Isbot. C

n

fazoda e

1

, e

2

, . . . , e

n

ortonormal bazisni tanlaymiz. U holda

har bir x ∈ C

n

vektor yagona usulda

x =

n

X

i=1

x

i

e

i

360

ko`rinishda tasvirlanadi. Agar A operator C

n

da aniqlangan chiziqli operator

bo`lsa, u holda

Ax =

n

X

i=1

x

i

Ae

i

bo`ladi. Shunday ekan, chiziqli operator o`zining e

1

, e

2

, . . . , e

n

bazis vektor-

lardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi Ax ning normasini ba-

holaymiz:

k Ax k ≤

n

X

i=1

|x

i

| kAe

i

k ≤

Ã

n

X

i=1

|x

i

|

2

!

1

2

Ã

n

X

i=1

kAe

i

k

2

!

1

2

≤ M · kx k .

Bu yerda

M =

Ã

n

X

i=1

kAe

i

k

2

!

1

2

.

Demak, chekli o`lchamli fazoda aniqlangan har qanday chiziqli operator chega-

ralangan bo`lar ekan.

∆

Yuqorida aytilganlarning natijasi sifatida shuni ta'kidlash lozimki, chek-

li o`lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun quyidagi ikki holat sodir

bo`lishi mumkin:

1) λ son uchun Ax = λ x tenglama nolmas yechimga ega, ya'ni λ son

A

operator uchun xos qiymat, bu holda A − λI ga teskari operator mavjud

emas;

2) λ son uchun C

n

fazoning hamma yerida aniqlangan (A−λI)

−1

operator

mavjud va demak, chegaralangan.

Chekli o`lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to`plami

operatorning spektri deyiladi. Agar λ ∈ C son A operator uchun xos qiymat

bo`lmasa, u A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. Umuman aytganda,

chekli o`lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi.

Agar A operator cheksiz o`lchamli X fazoda berilgan bo`lsa, u holda

yuqorida keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo`lgan uchinchi holat ham

361

bo`ladi, ya'ni:

3) (A−λI)

−1

operator mavjud, ya'ni Ax = λ x tenglama faqat nol yechim-

ga ega, lekin (A − λI)

−1

operator X ning hamma yerida aniqlanmagan yoki

Im (A − λI) 6= X.

34.1-ta'rif. Agar λ ∈ C son uchun A − λI ga teskari operator mavjud

bo`lib, u X ning hamma yerida aniqlangan bo`lsa, λ soni A operatorning

regulyar nuqtasi deyiladi,

R

λ

(A) = (A − λI)

−1

operator esa A operatorning λ nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regul-

yar nuqtalar to`plami ρ(A) orqali belgilanadi.

34.2-ta'rif. A operatorning regulyar bo`lmagan barcha nuqtalari to`plami

A

operatorning spektri deyiladi va u σ(A) orqali belgilanadi.

34.3-ta'rif. Agar biror λ ∈ C son uchun (A−λI)x = 0 tenglama nolmas

(x 6= 0)

yechimga ega bo`lsa, λ son A operatorning xos qiymati deyiladi,

nolmas yechim x esa xos vektor deyiladi.

Ko`rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to`plami spektrda yotadi, chunki

λ

xos qiymat bo`lsa, A − λI operatorning teskarisi mavjud emas.

Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi.

34.4-ta'rif. a) Barcha xos qiymatlar to`plami A operatorning nuqtali spek-

tri deyiladi va σ

pp

(A)

bilan belgilanadi.

b) Agar λ xos qiymat bo`lmasa va Im(A − λI) 6= X, ya'ni A − λI ope-

ratorning qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday λ lar

to`plami A operatorning qoldiq spektri deyiladi va σ

qol

(A)

bilan belgilanadi.

Endi o`z-o`ziga qo`shma operatorlar uchun muhim spektr ta'rini kelti-

ramiz.

362

34.5-ta'rif. Agar biror λ ∈ σ(A) son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi

f

n

∈ H

birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo`lib

lim

n→∞

k(A − λI)f

n

k = 0

bo`lsa, u holda λ son A = A

∗

operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi.

A

operatorning muhim spektri σ

ess

(A)

bilan belgilanadi.

Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o`zaro kesishmaydi. Nuqtali va

muhim spektrlar o`zaro kesishishi mumkin.

34.2-teorema. Agar A ∈ L(X) va |λ| > kA k bo`lsa, u holda λ regulyar

nuqta bo`ladi.

Isbot. A − λI operatorni quyidagicha yozib olamiz:

A − λI = −λ(I −

1

λ

A).

(34.1)

Teorema shartidan

1

λ

A

operatorning normasi 1 dan kichik ekanligi kelib

chiqadi, shuning uchun 32.5-teoremaga ko`ra, I −

1

λ

A

operatorning chega-

ralangan teskarisi mavjud. Bundan va (34.1) tenglikdan A − λI operatorning

teskarisi mavjud va chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.

∆

Shunday qilib, chegaralangan A : X → X operatorning spektri markazi

koordinatalar boshida va radiusi kAk ga teng yopiq doirada saqlanar ekan.

34.3-teorema. Agar A ∈ L(X) bo`lsa, u holda σ(A) yopiq to`plamdir.

Isbot. Operatorning spektri σ(A) regulyar nuqtalar to`plamining to`ldiruv-

chi to`plami bo`lgani uchun, ρ(A) ning ochiq to`plam ekanligini ko`rsatish

yetarli. Endi λ ∈ ρ(A) ixtiyoriy nuqta bo`lsin, ya'ni A − λI operatorning

teskarisi mavjud va chegaralangan bo`lsin. U holda 32.6-teoremaga ko`ra, bar-

cha δ, δ <

¡ °

°(A − λI)

−1

°

°

¢

−1

lar uchun A − λI − δI operatorning ham

chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, λ ∈ ρ(A) nuqta o`zining ε = ( |(A

−λI)

−1

| )

−1

> 0

atro bilan ρ(A) ga qarashli ekan. Bu esa λ nuqtaning

ρ(A)

to`plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi. λ ning ixtiyoriyligidan

363

ρ(A)

ning ochiq to`plam ekanligi kelib chiqadi. Demak, 20.4-teoremaga ko`ra

σ(A) = C\ρ(A)

yopiq to`plam.

∆

Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiaz.

34.4-teorema. A ∈ L(H) o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsin: U holda:

(a) σ

qol

(A) −

bo`sh to`plam.

(b) σ(A) to`plam R ning qismi, ya'ni σ(A) ⊂ R.

(c) A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari

o`zaro ortogonaldir.

34.1-misol. L

2

[a, b]

Hilbert fazosida erkin o`zgaruvchi x ga ko`paytirish

operatori (33.3-misolga qarang), ya'ni

A : L

2

[a, b] → L

2

[a, b],

(Af )(x) = xf (x)

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping.

Yechish. 33.3-misol natijasiga va u(x) = x = x = u(x) tenglikka ko`ra,

A = A

∗

.

34.4-teoremaning (a) tasdig`iga ko`ra, σ

qol

(A) = ∅

. Ma'lumki,

(Af )(x) = λf (x)

ya'ni (x − λ)f(x) = 0

(34.2)

tenglama ixtiyoriy λ ∈ C uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A op-

erator xos qiymatlarga ega emas, ya'ni σ

pp

(A) = ∅

. (34.2) tenglama faqat

nol yechimga ega ekanligidan 32.3-teoremaga ko`ra, (A − λI)f(x) = g(x)

tenglamaning ixtiyoriy g ∈ Im A da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqa-

di. Ko`rsatish mumkinki A − λI operatorga teskari operator

(A − λI)

−1

g(x) = (x − λ)

−1

g(x)

(34.3)

formula bilan aniqlanadi. Agar λ 6∈ [a, b] bo`lsa, u holda x − λ 6= 0, natijada

(A − λI)

−1

operator L

2

[a, b]

fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax

teoremasiga ko`ra, u chegaralangan bo`ladi. Demak, λ 6∈ [a, b] regulyar nuqta,

ya'ni σ(A) ⊂ [a, b]. Lekin (34.3) formula bilan aniqlangan teskari operator

364

λ ∈ [a, b]

bo`lganda L

2

[a, b]

fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak,

[a, b] ⊂ σ(A).

Bulardan, σ(A) = [a, b]. Endi A operatorning spektridagi ix-

tiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy

λ ∈ [a, b)

uchun

f

n

(x) =







p

n(n + 1), agar x ∈ A

n

:= [λ +

1

n + 1

, λ +

1

n

),

0,

agar

x ∈ [a, b]\A

n

deymiz. Ma'lum nomerdan boshlab λ +

1

n

< b

bo`ladi va bunday nomer-

lar uchun kf

n

k = 1

tenglik o`rinli. Bundan tashqari har xil n va m lar-

da A

n

T

A

m

= ∅

bo`lgani uchun (f

n

, f

m

) = 0

tenglik o`rinli, ya'ni {f

n

}

ortonormal sistema ekan. Ma'lumki, ixtiyoriy ortonormal sistema nolga kuch-

siz ma'noda yaqinlashadi, shuning uchun {f

n

}

ketma-ketlik ham nolga kuchsiz

ma'noda yaqinlashadi. Endi k(A − λI)f

n

k

norma kvadratini hisoblaymiz:

k(A − λI)f

n

k

2

= n(n + 1)

λ+

1

n

Z

λ+

1

n+1

(t − λ)

2

dt =

3n

2

+ 3n + 1

3 n

2

(n + 1)

2

→ 0, n → ∞.

Demak, ta'rifga ko`ra, λ ∈ [a, b) son A operatorning muhim spektriga

qarashli ekan. λ = b nuqtani A operatorning muhim spektriga qarashli

bo`lishini o`quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, A

operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo`lib, u [a, b] kesma

bilan ustma-ust tushadi. Xulosa

σ

qol

(A) = σ

pp

(A) = ∅,

σ

ess

(A) = σ(A) = [a, b].

∆

34.2. 34.1-misolda qaralgan A operatorni C[a, b] Banax fazosida, ya'ni

A : C[a, b] → C[a, b],

Af (x) = xf (x)

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping.

Yechish. Ma'lumki, ((34.2) ga qarang) (Af)(x) = λf(x) ya'ni

(x − λ)f (x) = 0,

f ∈ C[a, b]

(34.4)

365

tenglama ixtiyoriy λ ∈ C uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A op-

erator xos qiymatlarga ega emas, ya'ni σ

pp

(A) = ∅.

(34.4) tenglama faqat

nol yechimga ega ekanligidan 32.3-teoremaga ko`ra (A − λI)f(x) = g(x)

tenglamaning ixtiyoriy g ∈ ImA da yagona yechimga ega ekanligi kelib

chiqadi. Demak, A − λI operatorga teskari operator mavjud va u (34.3) for-

mula bilan aniqlanadi. Xuddi 34.1-misoldagi kabi ko`rsatishimiz mumkinki,

σ(A) = [a, b]

tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, agar λ 6∈ [a, b] bo`lsa, u holda

(34.3) ning o`ng tomoni ixtiyoriy g ∈ C[a, b] da uzluksiz funksiya bo`ladai,

ya'ni D((A − λI)

−1

) = C[a, b]

va teskari operatorlar haqidagi Banax teore-

masiga ko`ra, (A − λI)

−1

operator chegaralangan bo`ladi, demak λ regulyar

nuqta, ya'ni σ(A) ⊂ [a, b]. Agar λ ∈ [a, b] bo`lsa, u holda (34.3) formu-

la bilan aniqlangan (A − λI)

−1

operator C[a, b] fazoning hamma yerida

aniqlanmagan, bundan [a, b] ⊂ σ(A). Bulardan, σ(A) = [a, b] ekanligi kelib

chiqadi. Endi σ(A) = σ

qol

(A)

ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy λ ∈ [a, b]

uchun A − λI operatorning qiymatlar sohasi

Im(A − λI) = {g ∈ C[a, b] : g(x) = (x − λ)f (x)}

C[a, b]

fazoda zich emas. Haqiqatan ham, Im(A−λI) chiziqli ko`pxillilikdagi

ixtiyoriy g uchun g(λ) = 0 shart bajariladi. Agar biz f

0

(x) ≡ 1

desak, u

holda ixtiyoriy g ∈ Im(A − λI) uchun

kg − f

0

k = max

x∈[a, b]

|g(x) − f

0

(x)| ≥ |g(λ) − f

0

(λ)| = 1

tengsizlik o`rinli. Demak, Im(A − λI) chiziqli ko`pxillilikdan f

0

(x) ≡ 1

elementga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spek-

tr ta'riga ko`ra, ixtiyoriy λ ∈ [a, b] uchun λ ∈ σ

qol

(A)

munosabat o`rinli.

Bundan σ(A) ⊂ σ

qol

(A)

kelib chiqadi. Teskari munosabat σ(A) ⊃ σ

qol

(A)

doim o`rinli. Demak, σ(A) = σ

qol

(A) = [a, b].

∆

34.1 va 34.2-misollarda bir xil qonuniyat bo`yicha ta'sir qiluvchi A ope-

rator har xil L

2

[a, b]

va C[a, b] fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham

366

A

operatorning spektri [a, b] kesma bilan ustma-ust tushgan, lekin spektr-

ning qismlarida (strukturasida) o`zgarish bo`ldi. Birinchi holda (34.1-misolda)

σ

qol

(A) = ∅

edi, ikkinchi holda σ

qol

(A) = [a, b].

34.3. Endi `

2

Hilbert fazosida ko`paytirish operatorini, ya'ni

A : `

2

→ `

2

,

Ax = (a

1

x

1

, a

2

x

2

, a

3

x

3

, . . . , a

n

x

n

, . . .)

(34.5)

operatorni qaraymiz (29.9, 33.2-misollarga qarang). Uning xos qiymatlarini va

spektrini toping.

Yechish. sup

n≥1

|a

n

| = a < ∞

bo`lgan holda, A ning chegaralangan ekanligi

29.9-misolda ko`rsatilgan. Bundan tashqari kAk = sup

n≥1

|a

n

| = a

tenglik isbot-

langan edi. Ax = λ x tenglama λ = a

n

bo`lganda e

n

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

nolmas yechimga ega. Demak, a

n

, n ∈ N

sonlar A operatorning xos qiymat-

lari bo`lar ekan. Agar birorta ham n ∈ N da λ 6= a

n

bo`lsa, u holda (A − λI)

operator teskarilanuvchan bo`ladi va

(A − λI)

−1

x = −

µ

x

1

λ − a

1

,