M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

2

f (x

2

).

(33.2)

(33.2) tenglik barcha x

1

, x

2

∈ X

va ixtiyoriy α

1

, α

2

∈ C

lar uchun o`rinli. De-

mak, f chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluk-

sizligini) ko`rsatamiz. Ixtiyoriy x ∈ X uchun

|f (x)| = |g(Ax)| ≤ k gk · k A xk ≤ k gk · k A k · k x k

tengsizlik o`rinli. Bu yerdan f funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.

351

Agar f funksionalning x nuqtadagi qiymatini (f, x) deb belgilasak, u

holda

(f, x) = (g, Ax).

(33.3)

33.1-ta'rif. Bizga X, Y − chiziqli normalangan fazolar va A : X → Y

chiziqli chegaralangan operator berilgan bo`lsin. Agar biror A

∗

: Y

∗

→ X

∗

operator va barcha x ∈ X, g ∈ Y

∗

lar uchun

(g, Ax) = (A

∗

g, x)

tenglik o`rinli bo`lsa, A

∗

operator A ga qo`shma operator deyiladi.

Demak, har bir g ∈ Y

∗

funksionalga (33.3) tenglik bilan aniqlanuvchi

f ∈ X

∗

funksionalni mos qo`yuvchi A

∗

: Y

∗

→ X

∗

operator A operatorga

qo`shma operator deyiladi.

Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. A

∗

operator chiziqli.

2. (A + B)

∗

= A

∗

+ B

∗

.

3. Ixtiyoriy k son uchun (kA)

∗

= kA

∗

.

4. Agar A uzluksiz bo`lsa, u holda A

∗

ham uzluksiz bo`ladi.

Aniqrog`i, quyidagi tasdiq o`rinli.

33.1-teorema. Agar A ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u holda A

∗

∈ L(Y

∗

, X

∗

)

bo`ladi

va kA

∗

k = kA k

tenglik o`rinli.

Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko`ra,

|(A

∗

g, x)| = |(g, Ax)| ≤ kgk kAx k ≤ kAk kgk k x k .

Bu yerdan

kA

∗

gk ≤ kA k kgk

tengsizlikka ega bo`lamiz. Demak,

kA

∗

k ≤ kA k

(33.4)

352

Endi x ∈ X, Ax 6= θ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo`lsin, y

0

=

Ax

kAx k

∈ Y

deymiz. Ko`rinib turibdiki, ky

0

k = 1.

Xan-Banax teoremasining

30.1-natijasiga ko`ra, shunday g : Y → C funksional mavjudki, kg k = 1 va

g(y

0

) = ky

0

k = 1,

ya'ni

g(y

0

) = g

µ

Ax

kAx k

¶

=

1

k Ax k

g(Ax) = 1.

Bu yerdan,

g(Ax) = kAx k

tenglikka ega bo`lamiz. U holda

kAxk = g(Ax) = | (A

∗

g)(x) | ≤ kA

∗

gk kx k ≤ kA

∗

k kgk kxk = kA

∗

k kx k

munosabatdan

k A k ≤ kA

∗

k

(33.5)

tengsizlikni olamiz. (33.4) va (33.5) munosabatlardan

k A k = kA

∗

k

tenglik kelib chiqadi.

∆

33.2. Hilbert fazosida qo`shma operatorlar

Ma'lumki, Hilbert fazosiga qo`shma fazo uning o`ziga izomorf, ya'ni H =

H

∗

(tenglik izomorzm ma'nosida). Shuning uchun Hilbert fazolarida qo`shma

operatorlar xossalarini o`rganish ancha qulay.

33.2-ta'rif. H Hilbert fazosi va A ∈ L(H) operator berilgan bo`lsin.

Agar biror A

∗

: H → H

operator va ixtiyoriy x, y ∈ H lar uchun

(Ax, y) = (x, A

∗

y)

tenglik o`rinli bo`lsa, A

∗

operator A ga qo`shma operator deyiladi.

Bu ta'rif Banax fazosidagi qo`shma operatorning ta'ridan biroz farq qiladi,

ya'ni bu yerda (kA)

∗

= kA

∗

(3-xossaga qarang) tenglik o`rinli.

353

Hilbert fazosi holida A va A

∗

operatorlar aynan bitta fazoda aniqlangani

uchun, ba'zan A = A

∗

tenglik ham o`rinli bo`lishi mumkin.

33.3-ta'rif. Agar A = A

∗

bo`lsa, ya'ni ixtiyoriy x, y ∈ H uchun

(Ax, y) = (x, Ay)

tenglik o`rinli bo`lsa, A operator o`z-o`ziga qo`shma operator deyiladi.

33.4-ta'rif. Bizga A : H → H chiziqli operator va H

0

⊂ H

qism fazo

berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ H

0

uchun Ax ∈ H

0

bo`lsa, u holda H

0

qism fazo A operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.

33.1-lemma. Bizga A : H → H chiziqli operator va H

0

⊂ H

qism

fazo berilgan bo`lsin. Agar H

0

qism fazo A operatorga nisbatan invariant

bo`lsa, u holda uning ortogonal to`ldiruvchisi bo`lgan H

⊥

0

⊂ H

qism fazo A

∗

operatorga nisbatan invariant bo`ladi.

Isbot. Haqiqatan ham, agar y ∈ H

⊥

0

bo`lsa, u holda ixtiyoriy x ∈ H

0

uchun (A

∗

y, x) = (y, Ax) = 0,

chunki Ax ∈ H

0

.

Demak, A

∗

y ∈ H

⊥

0

.

∆

Xususiy holda, agar A = A

∗

bo`lsa, u holda A(H

0

) ⊂ H

0

ekanligidan

A(H

⊥

0

) ⊂ H

⊥

0

ekanligi kelib chiqadi.

Hilbert fazosida qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

33.2-lemma. Agar A, B ∈ L(H) bo`lsa, u holda

1) (αA + βB)

∗

= αA

∗

+ βB

∗

,

2) (AB)

∗

= B

∗

A

∗

,

3) (A

∗

)

∗

= A

tengliklar o`rinli.

Isbot. Birinchi tenglikni isbotlaymiz:

((αA + βB)x, y) = (αAx + βBx, y) = α(Ax, y) + β(Bx, y) =

= α(x, A

∗

y) + β(x, B

∗

y) = (x, αA

∗

y) + (x, βB

∗

y) = (x, (αA

∗

+ βB

∗

)y).

Bundan (αA + βB)

∗

= αA

∗

+ βB

∗

tenglik kelib chiqadi.

354

2) ni isbotlaymiz:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A

∗

y) = (x, B

∗

A

∗

y).

Bundan (AB)

∗

= B

∗

A

∗

tenglik kelib chiqadi.

3) ning isboti bevosita qo`shma operator ta'ridan kelib chiqadi.

∆

Endi operatorlarning Banax va Hilbert qo`shmalarini topishga doir misollar

qaraymiz.

33.1-misol. X = Y = `

1

va T o`ngga siljitish operatori bo`lsin (32.1-

misolga qarang), ya'ni

T x = (0, x

1

, x

2

, x

3

, . . . , x

n−1

, . . .),

x ∈ `

1

bo`lsin. T ga qo`shma T

∗

operatorni toping.

Yechish. X = `

1

va Y = `

1

lar Banax fazolari bo`lganligi uchun T

operatorning Banax qo`shmasini topamiz. Ma'lumki, T ∈ L(`

1

)

operatorning

Banax qo`shmasi barcha x ∈ `

1

va f ∈ (`

1

)

∗

lar uchun

(T

∗

f )(x) = f (T x)

(33.6)

tenglikni qanoatlantiruvchi va (`

1

)

∗

fazoni (`

1

)

∗

fazoga akslantiruvchi oper-

atordan iborat. Bizga ma'lumki, (`

1

)

∗

= m,

boshqacha aytganda har qanday

f ∈ (`

1

)

∗

uchun shunday yagona y ∈ m mavjudki,

f (x) =

∞

X

k=1

x

k

y

k

, y = (y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .),

y ∈ m

(33.7)

tenglik barcha x ∈ `

1

lar uchun o`rinli bo`ladi. Xuddi shuningdek, shunday

ζ ∈ m

mavjudki,

(T

∗

f )(x) =

∞

X

k=1

x

k

ζ

k

, ζ = (ζ

1

, ζ

2

, . . . , ζ

n

, . . .) ∈ m

(33.8)

tenglik barcha x ∈ `

1

lar uchun bajariladi. (33.7) va (33.8) tengliklarni hisobga

olsak, berilgan operator uchun (33.6) shart quyidagi ko`rinishga keladi:

∞

X

k=1

x

k

ζ

k

=

∞

X

k=2

x

k−1

y

k

=

∞

X

k=1

x

k

y

k+1

.

(33.9)

355

Bu tenglik barcha lar uchun bajariladi. Xususiy holda, (23.8) tenglik bilan

aniqlanuvchi {e

k

= (0, . . . , 1, 0. . . .)}, k ∈ N

elementlar uchun (33.9) tenglik

ζ

k

= y

k+1

, k = 1, 2, . . . , n, . . .

aylanadi. Shunday qilib, T

∗

: m → m

operator

T

∗

y = T

∗

(y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .) = (y

2

, y

3

, . . . , y

n+1

, . . .),

y ∈ m

formula bilan aniqlanar ekan.

33.1-teoremaga ko`ra, T ∈ L(X, Y ) ekanligidan T

∗

∈ L(Y

∗

, X

∗

)

ekan-

ligi kelib chiqadi va kT k = kT

∗

k

tenglik bajariladi. Qaralayotgan misolda

33.1-teoremaning o`rinli ekanligini tekshirib ko`ramiz. T

∗

operatorning chiz-

iqli ekanligi uning aniqlanishidan ko`rinib turibdi. kT k = kT

∗

k

tenglik baja-

rilishini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham,

kT k = sup

kxk=1

kT xk = sup

kxk=1

∞

X

k=1

|x

k

| = 1,

kT

∗

k = sup

kyk=1

kT

∗

yk =

sup

2≤|y

k

|<∞

|y

k

| = 1.

33.2. `

2

fazoda ko`paytirish operatorini, ya'ni (29.9-misolga qarang)

A : `

2

→ `

2

, (Ax)

n

= a

n

x

n

,

sup |a

n

| = a < ∞

(33.10)

operatorni qaraymiz. Unga qo`shma operatorni toping.

Yechish. X = Y = `

2

Hilbert fazolari bo`lganligi uchun A ga Hilbert

ma'nosidagi qo`shma operatorni topamiz. A operatorning chiziqli va chega-

ralanganligi 29.9-misolda ko`rsatilgan. A ga qo`shma operatorni topish uchun

(Ax, y)

skalyar ko`paytmani qaraymiz. `

2

fazodagi skalyar ko`paytmadan foy-

dalansak,

(Ax, y) =

∞

X

k=1

(Ax)

k

y

k

=

∞

X

k=1

a

k

x

k

y

k

=

∞

X

k=1

x

k

a

k

y

k

= (x, A

∗

y)

356

Bundan

A

∗

: `

2

→ `

2

,

(Ax)

n

= a

n

x

n

,

ni olamiz. Bu yerdan A ning qo`shmasi o`ziga teng bo`lishi uchun a

n

, n ∈ N

sonlarning haqiqiy bo`lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.

∆

33.3. L

2

[a, b]

kompleks Hilbert fazosida, u(x) funksiyaga ko`paytirish

operatorini, ya'ni

(Af )(x) = u(x)f (x), f ∈ L

2

[a, b]

operatorni qaraymiz. Bu yerda u chegaralangan va o`lchovli funksiya. A ga

qo`shma operatorni toping.

Yechish. X = Y = L

2

[a, b]

Hilbert fazolari bo`lganligi uchun A ga

Hilbert ma'nosidagi qo`shma operatorni topamiz. u funksiyaning chegara-

langan va o`lchovli ekanligidan A operatorning aniqlanish sohasi D(A) =

L

2

[a, b]

ekanligi va A ning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Ta'rifga

ko`ra, A operatorning qo`shmasi hamma f, g ∈ L

2

[a, b]

lar uchun

(Af, g) = (f, A

∗

g)

(33.11)

tenglikni qanoatlantiruvchi A

∗

∈ L(L

2

[a, b])

operatordan iborat. Agar biz

L

2

[a, b]

fazodagi skalyar ko`paytmadan foydalansak, (33.11) tenglikni quyida-

gicha yozishimiz mumkin:

(Af, g) =

Z

b

a

(Af )(x)g(x) dx =

Z

b

a

u(x) f (x)g(x) dx =

=

Z

b

a

f (x)u(x)g(x) dx = (f, A

∗

g).

Bu tenglikdan

(A

∗

g)(x) = u(x) g(x), g ∈ L

2

[a, b]

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan A = A

∗

bo`lishi uchun, deyarli barcha x ∈

[a, b]

larda u(x) ∈ R bo`lishi zarur va yetarlidir.

357

33.4. Endi L

2

[a, b]

Hilbert fazosida K(x, y) yadro bilan aniqlanuvchi in-

tegral operatorni, ya'ni

(Af )(x) =

Z

b

a

K(x, y)f (y)dy,

f ∈ L

2

[a, b]

(33.12)

operatorni qaraymiz. Bu yerda K − [a, b] × [a, b] kvadratda aniqlangan che-

garalangan va o`lchovli funksiya. A operatorga qo`shma operatorni toping.

Yechish. K funksiyaning chegaralangan va o`lchovli ekanligidan, uning

L

2

([a, b] × [a, b])

fazoga qarashli ekanligi kelib chiqadi. Fubini teoremasidan

(37.1-teorema) foydalanib, quyidagiga ega bo`lamiz:

(Af, g) =

b

Z

a







b

Z

a

K(x, y)f (y)dy







g(x) dx =

b

Z

a

b

Z

a

K(x, y)f (y) dy g(x) dx =

=

b

Z

a







b

Z

a

K(x, y) g(x) dx







f (y) dy =

=

b

Z

a

f (x)











b

Z

a

K(y, x) g(y) dy











dx = (f, A

∗

g).

Bu yerdan

(A

∗

g)(x) =

Z

b

a

K(y, x) g(y) dy

(33.13)

tenglik kelib chiqadi. Õususan, (33.12) ko`rinishdagi A operator L

2

[a, b]

fa-

zoda o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi uchun, deyarli barcha x, y ∈ [a, b] lar uchun

K(x, y) = K(y, x)

(33.14)

tenglikning bajarilishi yetarli va zarurdir.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Banax fazosida operatorning qo`shmasi qanday ta'rianadi?

2.

Hilbert fazosida operatorning qo`shmasi qanday ta'rianadi?

358

3.

Yuqoridagi ta'riarda qanday farq bor? Javobni xossalarda tushuntiring.

4.

O`z-o`ziga qo`shma va o`z-o`ziga qo`shma bo`lmagan operatorlarga mi-

sollar keltiring.

5.

Hilbert fazosida birlik operatorga qo`shma operatorni toping. U o`z-o`ziga

qo`shma bo`ladimi?

6.

Chiziqli chegaralangan operatorga qo`shma operator har doim chiziqli

chegaralangan bo`ladimi?

7.

A : `

2

→ `

2

,

Ax = (a

1

x

1

, a

2

x

2

, . . . , a

n

x

n

, . . .)

operatorga qo`shma

operatorni toping. Bu yerda a

n

∈ C, n ∈ N.

33.2-misoldan foydalaning.

8.

A : `

2

→ `

2

,

Ax = (0, a

1

x

1

, 0, a

3

x

3

. . . , 0, a

2n−1

x

2n−1