M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

φ(s) =

n

X

i=1

P

i

(s)

Z

b

a

Q

i

(t)φ(t)dt + f (s).

Agar biz

Z

b

a

Q

i

(t)φ(t)dt = q

i

, i ∈ {1, 2, . . . , n}

belgilashlarni kiritsak, u holda (38.10) tenglama

φ(s) =

n

X

i=1

q

i

P

i

(s) + f (s)

(38.12)

ko`rinishga keladi. φ funksiyaning bu ifodasini berilgan integral tenglamaga

qo`ysak,

n

X

i=1

q

i

P

i

(s) + f (s) =

n

X

i=1

P

i

(s)

Z

b

a

Q

i

(t)

"

n

X

j=1

q

j

P

j

(t) + f (t)

#

dt + f (s),

ya'ni

n

X

i=1

q

i

P

i

(s) =

n

X

i=1

P

i

(s)

"

n

X

j=1

a

ij

q

j

+ b

i

#

(38.13)

ko`rinishdagi tenglikka kelamiz. Bu yerda

a

ij

=

Z

b

a

Q

i

(t)P

j

(t)dt,

b

i

=

Z

b

a

Q

i

(t)f (t)dt.

Endi P

i

(s)

funksiyalar chiziqli erkli ekanligini hisobga olsak, (38.13) munosa-

batdan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

q

i

=

n

X

j=1

a

ij

q

j

+ b

i

, i ∈ {1, 2, . . . , n}.

(38.14)

Agar biz bu chiziqli tenglamalar sistemasini q

i

larga nisbatan yechsak, u holda

(38.12) tenglikdan φ(s) funksiya ham topiladi. Shunday qilib, ajralgan yadroli

413

integral tenglamani yechish masalasi (38.14) chiziqli tenglamalar sistemasini

yechish masalasiga teng kuchli. Bunday tenglamalar yechimlarining õossalari

bizga chiziqli algebra kursidan ma'lum.

Yuqorida bayon qilingan Fredholm teoremalarini chekli o`lchamli fazolarda

quyidagicha bayon qilish mumkin.

38.4-teorema. Ax = y,

A = (a

ij

), i, j ∈ {1, 2, . . . , n},

x = (x

1

, . . . , x

n

),

y = (y

1

, . . . , y

n

)

chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lishi uchun y vektor qo`shma

bir jinsli

A

∗

z = θ (A

∗

= (a

ji

))

tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo`lishi yetarli va zarurdir.

38.5-teorema. Agar A matritsaning determinanti noldan farqli bo`lsa,

u holda Ax = y tenglama iõtiyoriy y uchun yagona yechimga ega. Agar

A

matritsaning determinanti nolga teng bo`lsa, u holda bir jinsli Ax = θ

tenglama noldan farqli yechimga ega.

38.6-teorema. A = (a

ij

)

va A

∗

= (a

ji

)

matritsalarning ranglari o`zaro

teng. Xuddi shunday bir jinsli Ax = θ va A

∗

z = θ

sistemalarning chiziqli

erkli yechimlari soni ham o`zaro teng.

Ko`rinib turibdiki, ajralgan yadroli Fredholm tenglamalari uchun Fredholm-

ning 38.1-38.3 teoremalari yuqoridagi 38.4-38.6 teoremalardan kelib chiqadi.

38.1-misol. T operatorni L

2

[−π, π]

fazoda quyidagicha aniqlaymiz

(T f )(x) =

Z

π

−π

(1 + cos x cos y + 3 sin x sin y)f (y)dy.

(38.15)

Bu operatorni o`z-o`ziga qo`shma va kompaktlikka tekshiring, uning xos qiy-

mat va xos funksiyalarini toping.

Yechish. Qaralayotgan operatorning yadrosi

K(x, y) = 1 + cos x cos y + 3 sin x sin y

414

haqiqiy qiymatli va (37.8) shartni qanoatlantiradi. Demak, T o`z-o`ziga qo`sh-

ma operator ekan. Integral operator T ning yadrosi (37.5) shartni qanoat-

lantiradi, shuning uchun 37.2-teoremaga ko`ra T kompakt operator bo`ladi.

Endi T operatorning xos qiymatlarini topamiz. Buning uchun xos qiymatga

nisbatan tenglama yozamiz:

T f = zf ⇐⇒

Z

π

−π

(1 + cos x cos y + 3 sin x sin y)f (y)dy = zf (x).

Bundan

zf (x) =

π

Z

−π

f (y)dy + cos x

π

Z

−π

cos yf (y)dy + 3 sin x

π

Z

−π

sin yf (y)dy (38.16)

tenglikka kelamiz.

i) Agar (38.16) tenglikda z = 0 bo`lsa, u holda 1, cos x, sin x funksi-

yalarning chiziqli erkli ekanligidan quyidagi

Z

π

−π

f (y)dy = 0,

Z

π

−π

cos yf (y)dy = 0,

Z

π

−π

sin yf (y)dy = 0

(38.17)

tengliklarga ega bo`lamiz. (38.17) tengliklar f funksiyaning 1, cos x, sin x

elementlarga ortogonal ekanligini bildiradi. Ma'lumki L

2

[−π; π]

fazoda bu

elementlarga ortogonal bo`lgan cheksiz ko`p chiziqli erkli elementlar mavjud,

bular:

{cos nx, sin nx}

∞

n=2

.

Demak, T f = 0 · f tenglama cheksiz ko`p chiziqli erkli yechimlarga ega ekan.

Bu esa o`z navbatida z = 0 soni T operator uchun cheksiz karrali xos qiymat

ekanligini bildiradi.

ii) Agar (38.16) tenglikda z 6= 0 bo`lsa, u holda xos funksiya f uchun

quyidagi ko`rinishni olamiz

f (x) =

1

z

[a + b cos x + 3c sin x].

(38.18)

415

Bu yerda

a =

Z

π

−π

f (y)dy,

b =

Z

π

−π

cos yf (y)dy,

c =

Z

π

−π

sin yf (y)dy.

(38.19)

f

ning (38.18) ifodasini (38.19) ga qo`yib, a, b, c larga nisbatan quyidagi

tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz:































a =

1

z

π

R

−π

[a + b cos y + 3c sin y]dy =

2aπ

z

,

b =

1

z

π

R

−π

cos y[a + b cos y + 3c sin y]dy =

bπ

z

,

c =

1

z

π

R

−π

sin y[a + b cos y + 3c sin y]dy =

3cπ

z

.

(38.20)

Biz bu yerda {1, cos x, cos 2x, sin x} funksiyalar sistemasining ortogonal

ekanligidan hamda

cos

2

y =

1

2

[1 + cos 2y],

sin

2

y =

1

2

[1 − cos 2y]

ayniyatlardan foydalandik. (38.20) tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega

bo`lishi uchun, uning determinanti

∆(z) =

µ

1 −

2π

z

¶ ³

1 −

π

z

´ µ

1 −

3π

z

¶

nolga teng bo`lishi zarur va yetarli.

Agar z = 2π bo`lsa, u holda ∆(z) = 0 bo`ladi. Bu holda (38.20) dan

b = c = 0

va a− ixtiyoriy son ekanligini olamiz. Endi (38.18) dan xos funksiya

f (x) = C = const

bo`lishiga kelamiz.

Agar z = π bo`lsa, u holda ∆(z) = 0 bo`ladi. Bu holda (38.20) dan

a = c = 0

va b− ixtiyoriy son bo`ladi. (38.18) dan esa xos funksiya uchun

f (x) = C · cos x

ko`rinishni olamiz.

Xuddi shunday z = 3π xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya f(x) =

C sin x

ekanligini olamiz.

Shunday qilib, biz (38.15) formula bilan aniqlangan T operatorning o`z-

o`ziga qo`shma ekanligini ko`rsatib, uning barcha xos qiymatlari va xos funksi-

416

yalarini topdik. z = 0 cheksiz karrali xos qiymat, qolgan π, 2π va 3π sonlar

bir karrali xos qiymatlar ekan.

38.2. T operator (38.15) tenglik bilan aniqlangan bo`lsin. Parametr λ ∈ C

ning qanday qiymatlarida

T f − λf = g

(38.21)

tenglama ixtiyoriy g ∈ L

2

[−π, π]

da yagona yechimga ega bo`ladi?

Yechish. A = T − λ I operatorga 38.1-teoremani qo`llaymiz. 38.1-misol-

dan ma'lumki, λ ∈ C\ {π; 2π; 3π} bo`lsa Ker A

∗

= Ker (T − λ I) = {θ}

.

Demak, barcha λ ∈ C\ {π; 2π; 3π} larda (38.21) tenglama ixtiyoriy g ∈

L

2

[−π, π]

da yagona yechimga ega. Agar λ = π ( λ = 2π, λ = 3π) bo`lsa, u

holda (38.21) tenglama yechimga ega bo`lishi uchun g ∈ L

2

[−π, π]

funksiya

T u − πu = 0 (T u − 2πu = 0,

T u − 3πu = 0)

tenglamaning yechimi

u(x) = C cos x (u(x) = C, u(x) = C sin x)

funksiyaga ortogonal bo`lishi

zarur va yetarlidir.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Ajralgan yadroli integral tenglamaga misollar keltiring.

2.

L

2

[a, b]

fazoda

u(x) = f (x) + λ

Z

b

a

ϕ(x)ψ(t)u(t)dt

integral tenglamani yeching. Bunda ϕ va ψ funksiyalar uzluksiz bo`lib,

(ϕ, ψ) = 0

shartni qatoatlantiradi.

3.

Parametr λ ∈ R ning qanday qiymatlarida

u(x) = sin xλ

Z

π

−π

(cos x cos t − sin x sin t)u(t)dt

tenglama yagona yechimga ega? Qanday qiymatlarda tenglama yechimga

ega emas? Qanday qiymatlarda tenglama cheksiz ko`p yechimga ega?

417

4.

A : L

2

[−π, π] → L

2

[−π, π]

operator yadrosining o`lchamini toping:

(Au)(x) = u(x) −

1

π

π

Z

−π

µ

1

2

+ cos(x − t)

¶

u(t)dt.

39- §. Ketma-ket o`rniga qo`yish va ketma-ket yaqinlashishlar usuli

Ushbu paragrafda C[a, b] fazoda berilgan Fredholm operatori

(T u)(x) =

Z

b

a

K(x, t) u(t)dt,

(39.1)

ni, Volterra tipidagi integral operatorni, ya'ni

(V u)(x) =

Z

x

a

K(x, t) u(t)dt,

(39.2)

operatorni va ular bilan bog`liq ((37.2) va (37.4) ga qarang)

u(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)u(t)dt,

(39.3)

u(x) = f (x) + λ

Z

x

a

K(x, t)u(t)dt

(39.4)

integral tenglamalarni qaraymiz. Butun 39-paragraf davomida f dan uzluk-

sizlik, K dan esa uzluksizlik va simmetriklik shartlarini talab qilamiz, ya'ni:

A) K(x, t) = K(t, x) 6≡ 0 va K ∈ C ([a, b] × [a, b]) haqiqiy qiymatli

funksiya;

B) f ∈ C[a, b] haqiqiy qiymatli funksiya.

Faraz qilaylik, Fredholm tipidagi integral operatorning µ 6= 0 nuqtadagi

rezolventasini topish talab qilingan bo`lsin, ya'ni

(T − µ I) u(x) = ϕ(x)

⇐⇒

Z

b

a

K(x, t) u(t)dt − µ u(x) = ϕ(x)

tenglamani, yoki bu yerda λ = µ

−1

va f(x) = −µ

−1

ϕ(x)

deb olsak, u holda

u (x) = λ

Z

b

a

K(x, t) u(t)dt + f (x)

418

tenglamani ya'ni (39.3) ko`rinishdagi tenglamani yechish masalasi qo`yiladi.

Biz ushbu paragrafda C[a, b] fazoda λ parametrli ikkinchi tur Fredholm

integral tenglamalarini yechish usullari bilan shug`ullanamiz. Dastlab Fred-

holm va Volterra tipidagi integral tenglamalar uchun ketma-ket o`rniga qo`yish

usulini bayon qilamiz. Keyin esa λ parametrli ikkinchi tur Fredholm integral

tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz. 40-paragrafda

esa integral tenglamalarni Fredholm tomonidan berilgan yechish usulini batafsil

bayon qilamiz.

Dastlab integrallash chegaralari o`zgarmas bo`lgan hol, ya'ni Fredholm ti-

pidagi operatorlar qatnashgan (39.3) tenglamani qaraymiz.

Qayd etish joizki, agar (39.3) tenglamaning biror uzluksiz u(x) yechimi

mavjud bo`lsa, u holda K(x, t) uzluksiz funksiya ekanligidan f(x) funksiya-

ning ham uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun biz B) shartni kiritdik.

Yadroni iteratsiyalash. Ma'lumki, (39.3) tenglik bilan aniqlangan T

operator  Fredholm operatori, K(x, t) esa Fredholm operatorining yadrosi

deyiladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

K

1

(x, t) = K(x, t),

K

2

(x, t) =

R

b

a

K(x, s)K

1

(s, t)ds,

· · ·

· · ·

· · ·

K

n

(x, t) =

R

b

a

K(x, s)K

n−1

(s, t)ds.































(39.5)

Bu ko`rinishda qurilgan K

1

, K

2

, . . . , K

n

funksiyalarga K(x, t) yadroni ite-

ratsiyalari deyiladi. Tekshirish qiyin emaski, K

n

(x, t)

iteratsiya T

n

integral

operatorning yadrosi bo`ladi.

(39.5) formulani ketma-ket qo`llab, K

n

uchun quyidagi ifodani olamiz:

K

n

(x, t) =

Z

b

a

· · ·

Z

b

a

K(x, s

1

)K(s

1

, s

2

) · · · K(s

n−1

, t)ds

n−1

· · · ds

1

. (39.6)

419

(39.6) formulaga asosan quyidagi munosabat o`rinli

K

n+p

(x, t) =

Z

b

a

K

n

(x, s)K

p

(s, t)ds.

(39.7)

39.1. Ketma-ket o`rniga qo`yish usuli. Endi (39.3) tenglamaning o`ng

tomonidagi u(t) funksiyaning o`rniga uning

u(t) = f (t) + λ

Z

b

a

K(t, t

1

)u(t

1

)dt

1

(39.8)

ifodasini qo`yib, quyidagini hosil qilamiz:

u(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)[f (t) + λ

Z

b

a

K(t, t

1

)u(t

1

)dt

1

]dt =

= f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)f (t)dt + λ

2

Z

b

a

K(x, t)

Z

b

a

K(t, t

1

)u(t

1

)dt

1

dt =

= f (x) + λ(T f )(x) + λ

2

(T

2

u)(x).

Bu tenglamaning o`ng tomonidagi u ning o`rniga, uning (39.8) ifodasini qo`-

yamiz:

u(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)f (t)dt+

+λ

2

Z

b

a

K(x, t)

Z

b

a

K(t, t

1

)[f (t

1

) + λ

Z

b

a

K(t

1

, t

2

)u(t

2

)dt

2

]dt

1

dt =

= f (x) + λ(T f )(x) + λ

2

(T

2

f )(x) + λ

3

(T

3

u)(x).

Bu yerda biz yadroni iteratsiyalash formulalaridan foydalandik. Ushbu jara-

yonni davom ettirib, n − o`rniga qo`yishdan keyin, biz quyidagi tenglamani

olamiz

u(x) = f (x) + λ(T f )(x) + · · · + λ

n

(T

n

f )(x) + λ

n+1

(T

n+1

u)(x).

(39.9)

Shunday qilib, biz quyidagi cheksiz qatorni o`rganish masalasiga kelamiz:

f (x) + λ(T f )(x) + λ

2

(T

2

f )(x) + · · · + λ

n

(T

n

f )(x) + · · · .

(39.10)

420