M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

.

Bu yerda quyidagi ikki hol bo`lishi mumkin.

i) Chekli qadamdan so`ng, biz shunday M

⊥

n

qism fazoga ega bo`lamizki,

bu fazoning barcha ξ elementlarida (Aξ, ξ) = 0 bo`ladi.

ii) Ixtiyoriy n ∈ N uchun M

⊥

n

qism fazoda (Aξ, ξ) 6≡ 0.

Birinchi holda 36.6-lemmadan kelib chiqadiki, A operator M

⊥

n

qism fazoni

nolga o`tkazadi, ya'ni M

⊥

n

qism fazo λ = 0 xos qiymatga mos keluvchi xos

vektorlardan iborat. Bu holda qurilgan {φ

n

}

vektorlar sistemasi chekli sondagi

elementdan iborat.

Ikkinchi holda xos vektorlarning {φ

n

}

ketma-ketligi hosil bo`lib, ularning

har biri uchun λ

n

6= 0.

Bu holda λ

n

→ 0

ekanligini ko`rsatamiz. {φ

n

}

ketma-

ketlik (har qanday ortonormal sistema kabi) nolga kuchsiz yaqinlashadi, chunki

ixtiyoriy f ∈ H uchun uning Furye koetsiyentlari c

n

= (f, φ

n

)

uchun

∞

X

n=1

|c

n

|

2

≤ k f k

2

munosabat o`rinli. Qator yaqinlashishining zaruriy shartidan lim

n→∞

(f, φ

n

) = 0

ekanligi kelib chiqadi. A operatorning kompaktligidan Aφ

n

= λ

n

φ

n

ketma-

ketlik nolga kuchli ma'noda yaqinlashadi, ya'ni

lim

n→∞

kAφ

n

k = lim

n→∞

|λ

n

| = 0.

Quyidagicha belgilash kiritamiz

M

⊥

= H ª M ({φ

k

}

∞

k=1

) =

\

n=1

M

⊥

n

.

Faraz qilaylik, M

⊥

bo`sh bo`lmasin. Agar ξ ∈ M

⊥

va ξ 6= 0 bo`lsa, u holda

ixtiyoriy n ∈ N uchun

|(Aξ, ξ)| ≤ |λ

n

| · kξ k

2

.

390

Bu yerdan limitga o`tsak,

(Aξ, ξ) = 0.

36.6-lemmani M

⊥

qism fazo uchun qo`llab, Aξ = 0 ga ega bo`lamiz, ya'ni

KerA = M

⊥

. {φ

n

}

sistemaning qurilishidan ko`rinib turibdiki, ixtiyoriy ξ ∈

H = M ⊕ M

⊥

vektor

ξ =

X

k

c

k

φ

k

+ ξ

0

, ξ

0

∈ M

⊥

= KerA,

ko`rinishda tasvirlanadi. Bu yerdan

Aξ =

X

k

λ

k

c

k

φ

k

.

∆

Endi H da kompakt operatorlarga misollar keltiramiz.

36.2. `

2

Hilbert fazosida {a

n

}

ga ko`paytirish operatorini, ya'ni

A : `

2

→ `

2

, Ax = (a

1

x

1

, a

2

x

2

, . . . , a

n

x

n

, . . .)

operatorni qaraymiz. A ∈ K(`

2

)

bo`lishi uchun

lim

n→∞

a

n

= 0

(36.4)

shartning bajarilishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

Isbot. Yetarliligi. (36.4) shart bajarilsin. Agar biz A operatorga tekis

yaqinlashuvchi kompakt operatorlar ketma-ketligi mavjud ekanligini ko`rsata

olsak, u holda 36.1-natijaga ko`ra, A kompakt operator bo`ladi. A

n

operator-

larni quyidagicha quramiz:

A

n

: `

2

→ `

2

, A

n

x = (a

1

x

1

, a

2

x

2

, . . . , a

n

x

n

, 0, 0, . . .) .

35.3-misolga ko`ra, har bir n ∈ N da A

n

operatorlar kompakt. Bundan

tashqari A

n

operatorlar ketma-ketligi A operatorga tekis yaqinlashadi. Haqi-

qatan ham, 29.9-misolga ko`ra

kA − A

n

k = sup

n

|a

k

| .

391

Bundan va (36.4) shartdan

lim

n→∞

kA − A

n

k = lim

n→∞

sup

n

|a

k

| = 0.

Demak, 36.1-natijaga ko`ra, A kompakt operator bo`ladi.

Zaruriyligi. Faraz qilaylik, A kompakt operator bo`lsin. U holda nolga

kuchsiz yaqinlashuvchi ixtiyoriy {x

n

} ⊂ `

2

ketma-ketlik uchun Ax

n

ketma-

ketlik nolga kuchli yaqinlashuvchi bo`ladi. Nolga kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-

ketlik sifatida `

2

fazodagi ortonormal bazis {e

n

}

∞

n=1

ni ((23.8) ga qarang)

olamiz. 34.3-misolga ko`ra, Ae

n

= a

n

e

n

tenglik o`rinli. {Ae

n

}

ketma-ketlik-

ning nolga yaqinlashishidan

lim

n→∞

kAe

n

k = lim

n→∞

ka

n

e

n

k = lim

n→∞

|a

n

| ke

n

k = lim

n→∞

|a

n

| = 0

ni olamiz. Demak, (36.4) shart bajariladi.

∆

36.3. 35.4-misolda qaralgan integral operatorni, ya'ni

(Af )(x) =

Z

π

−π

cos(x − y) f (y) dy, f ∈ L

2

[−π, π]

operatorni qaraymiz. A operator Hilbert-Shmidt teoremasi shartlarini qanoat-

lantiradimi?

Yechish. A operatorning kompaktligi 35.4-misolda ko`rsatilgan edi. 33.4-

misolda L

2

[a, b]

fazoda K(x, y) yadroli integral operatorning qo`shmasi topi-

lib, integral operatorning o`z-o`ziga qo`shma bo`lishining zarur va yetarli sharti

(33.14) ko`rinishda bo`lishi keltirilgan edi. Qaralayotgan A operator uchun

(33.14) shartning bajarilishini tekshiramiz.

Bizning holimizda K(x, y) = cos(x − y) bo`lgani uchun

K(x, y) = cos(x − y) = cos(y − x) = cos(y − x) = K(y, x)

tenglik o`rinli. Demak, A = A

∗

.

Shunday qilib, A operator Hilbert-Shmidt

teoremasi shartlarini qanoatlantiradi.

∆

392

36.4. 36.3-misolda qaralgan A operatorning xos qiymat va xos funksiya-

larini toping.

Yechish. Xos qiymatga nisbatan tenglama Af = λf, ya'ni

Z

π

−π

cos(x − y) f (y) dy = λf (x)

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani quyidagicha ham yozish mumkin.

λf (x) = cos x

Z

π

−π

cos y f (y) dy + sin x

Z

π

−π

sin y f (y) dy =

= α cos x + β sin x.

(36.5)

Bu yerda

α =

Z

π

−π

cos y f (y) dy,

β =

Z

π

−π

sin y f (y) dy.

(36.6)

Ikki holni alohida qaraymiz: i) λ = 0, ii) λ 6= 0.

i) Bu holda α cos x + β sin x = 0 ga ega bo`lamiz. u

1

(x) = cos x

va

v

1

(x) = sin x

elementlar chiziqli bog`lanmagan, shuning uchun α = β = 0.

Demak, (36.6) ga ko`ra,

Z

π

−π

cos y f (y) dy = 0,

Z

π

−π

sin y f (y) dy = 0

(36.7)

bo`ladi. (36.7) shartni qanoatlantiruvchi elementlar to`plami A operatorning

yadrosini tashkil qiladi. Boshqacha aytganda, (36.7) shartni qanoatlantiruvchi

elementlar to`plami u

1

(x) = cos x

va v

1

(x) = sin x

elementlarga ortogonal

qism fazo. Bu qism fazoda

1

√

2π

,

½

u

n

(x) =

1

√

π

cos nx

¾

∞

n=2

,

½

v

n

(x) =

1

√

π

sin nx

¾

∞

n=2

sistema ortonormal bazis bo`ladi. Demak, dim KerA = ∞. Shunday ekan

λ = 0

soni A operator uchun cheksiz karrali xos qiymat bo`ladi.

Endi λ 6= 0 bo`lsin, ya'ni ii) holni qaraymiz. (36.5) dan foydalansak, Af =

λf

tenglamaning yechimi f uchun quyidagi ko`rinishni olamiz:

f (x) =

α

λ

cos x +

β

λ

sin x.

(36.8)

393

Bu yerda α va β koetsiyentlar noma'lumlar, chunki ular izlanayotgan f

funksiyaning integrali orqali ifodalangan. Agar biz f ning (36.8) ifodasini

(36.6) ga qo`ysak, α va β noma'lumlarga nisbatan quyidagi tenglamalar sis-

temasiga ega bo`lamiz:















α =

π

R

−π

cos y

·

α

λ

cos y +

β

λ

sin y

¸

dy =

πα

λ

β =

π

R

−π

sin y

·

α

λ

cos y +

β

λ

sin y

¸

dy =

πβ

λ

.

Bu tenglama faqatgina λ = π da nolmas yechimga ega. Bu holda α va β lar

sifatida ixtiyoriy sonni olish munkin. (36.8) ga ko`ra

f (x) = C

1

cos x + C

2

sin x

(36.9)

element λ = π xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya bo`ladi. Demak, A −

πI

operatorning yadrosi ikki o`lchamli qism fazo ekan. Bundan λ = π xos

qiymatning karraligi 2 ga teng ekanligi kelib chiqadi.

∆

Agar biz 36.3-misolda qaralgan A operatorga Hilbert-Shmidt teoremasini

qo`llasak, λ

1

= λ

2

= π

va λ

n

= 0, n ≥ 3

ekanligini hosil qilamiz.

Kompakt operatorlarning muhim sin sifatida L

2

[a, b]

fazodagi integral

operatorlarni qarash mumkin.

36.5. Har bir x ∈ L

2

[a, b]

elementga

(Ax)(s) =

Z

b

a

K(s, t) x(t) dt

formula bo`yicha ta'sir qiluvchi A operatorni kompaktlikka tekshiring. Bu yer-

da K(·, ·) integral operatorning yadrosi, u [a, b]×[a, b] da uzluksiz funksiya.

Ko`rsatma. A operator uchun 37-Ÿ dagi 37.2-teorema shartlari bajarili-

shini ko`rsating.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

L

2

[0, 1] −

fazoda chekli o`lchamli operatorga misol keltiring.

394

2.

A : H → H

o`z-oziga qo`shma, chegaralangan operator. m va M

sonlar (Ax, x) funksionalning birlik shardagi aniq quyi va aniq yuqori

chegaralari bo`lsin. σ(A) ⊂ [m, M] munosabatni isbotlang.

3.

O`z-oziga qo`shma, chegaralangan A operator uchun m, M ∈ σ(A)

munosabatni isbotlang.

4.

Shunday o`z-oziga qo`shma, chegaralangan A operatorga misol keltir-

ingki, σ(A) ∩ (m, M) = ∅ bo`lsin.

5.

O`z-oziga qo`shma, chegaralangan A : H → H operator uchun

sup

kxk=1

|(Ax, x)| = S

1

= k A k

tenglikni isbotlang.

6.

u − [0, 1]

kesmada uzluksiz funksiya. L

2

[0, 1]

fazoda (Af)(x) =

u(x) f (x)

tenglik bilan aniqlangan A operatorga qo`shma operatorni

toping. Natijani u(x) = cos x + i sin x bo`lgan holda tekshirib ko`ring.

7.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazoda aniqlangan

(Af )(x) =

Z

π

−π

(1 + cos x cos y) f (y) dy

operatorning o`z-oziga qo`shma va kompakt ekanligini ko`rsating. |(Ax, x)| =

|Q(x)|

funksionalning birlik shardagi aniq yuqori chegarasini toping. A

operatorning noldan farqli xos qiymatlari sonini toping.

8.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazoda berilgan

(Af )(x) =

1

π

∞

X

n=1

1

2

n

Z

π

−π

cos nx cos ny f (y) dy

operatorning o`z-oziga qo`shma ekanligini ko`rsating. Kompaktlikka tek-

shiring. Noldan farqli xos qiymatlarini toping. Ularga mos xos funksiya-

larning {φ

n

}

sistemasini quring. Bu operatorga Hilbert-Shmidt teore-

masini qo`llang va M

⊥

qism fazoning tavsini bering.

395

37- §. Chiziqli integral tenglamalar

Funksional fazoda (masalan, C[a, b], L

2

[a, b], C

2

[a, b] )

tenglama beril-

gan bo`lib, noma'lum element funksiyadan iborat bo`lsa, bunday tenglama

funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma'lum funksiya

integral ostida bo`lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,

φ(s) =

Z

b

a

K(s, t) g(φ(t), t) dt

tenglama φ ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K(s, t), g(s, t) −

berilgan funksiyalar.

Integral tenglamadagi ifoda noma'lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo`lgan

holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chi-

ziqli integral tenglamalarga misol bo`ladi:

Z

b

a

K(s, t) φ(t) dt + f (s) = 0,

(37.1)

φ(s) =

Z

b

a

K(s, t) φ(t) dt + f (s).

(37.2)

Bu yerda φ noma'lum funksiya, K(s, t) va f(s) ma'lum funksiyalar. (37.1)

va (37.2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tengla-

malari deyiladi.

Õususan, K(s, t) funksiya t > s qiymatlar uchun K(s, t) = 0 shartni

qanoatlantirsa, u holda (37.1) va (37.2) tenglamalar mos ravishda

Z

s

a

K(s, t) φ(t) dt + f (s) = 0,

(37.3)

φ(s) =

Z

s

a

K(s, t) φ(t) dt + f (s)

(37.4)

ko`rinishlarga ega bo`ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volter-

ra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredholm tenglamalarining

õususiy holi bo`lsada, ular alohida o`rganiladi, chunki Volterra tenglamalari

o`ziga õos bo`lgan õossalarga ega.

396

Agar (37.1)-(37.4) tenglamalarda f funksiya nolga teng bo`lsa, bu tengla-

malar bir jinsli deyiladi.

37.1-misol. Quyidagi

f (s) =

Z

s

0

φ(t)

(s − t)

α

dt, (0 < α < 1, f (0) = 0)

tenglama φ noma'lumga nisbatan Abel tenglamasi deyiladi. Bu tenglama Vol-

terra tenglamalarining õususiy holi bo`lib, 1823 yilda N. Abel tomonidan qa-

ralgan, uning yechimi

φ(t) =

sin απ

π

Z

t

0

f

0

(s)ds

(t − s)

1−α

ko`rinishga ega.

Biz bu yerda faqat ikkinchi tur Fredholm tenglamasini qaraymiz. L

2

[a, b]

kompleks Hilbert fazosida ikkinchi tur Fredholm tenglamasini, ya'ni (37.2)

tenglamani olamiz. Bu tenglamada f ma'lum, φ noma'lum funksiyalar bo`lib,

ular L

2

[a, b]

fazoning elementlari deb faraz qilinadi.

(37.2) tenglamaning yadrosi deb nomlanuvchi K(s, t) funksiyadan quyida-

gilarni talab qilamiz, u  o`lchovli va

Z

b

a

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dsdt < ∞

(37.5)

shartni qanoatlantirsin, ya'ni K(s, t) kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya.

L

2

[a, b]

fazoda aniqlangan

(T φ)(s) =

Z

b

a

K(s, t) φ(t) dt

(37.6)

operatorni qaraymiz. Bu operator K yadroli Fredholm operatori deyiladi.

(37.2) tenglamani o`rganish shu operatorning õossalarini tekshirishga kelti-

riladi.

Navbatdagi teoremalarni isbotlashda biz integrallash tartibini almashtirish

haqidagi Fubini teoremasining natijasidan foydalanamiz. Fubini teoremasi nati-

jasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir.

397

37.1-teorema (Fubini). Agar |K(x, y)|

2

funksiya [a, b]×[a, b] kvadratda

integrallanuvchi bo`lsa, u holda deyarli barcha x ∈ [a, b] (y ∈ [a, b]) larda

b

Z

a

|K(x, y) |

2

dy





b

Z

a

|K(x, y) |

2

dx





integral mavjud va quyidagilar o`rinli

b

Z

a

b

Z

a

|K(x, y) |

2

dx dy =

b

Z

a

dx

b

Z

a

|K(x, y) |

2

dy =

b

Z

a

dy

b

Z

a

|K(x, y) |

2

dx.