M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

π

−π

f (y)dy = 0

(37.21)

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (37.14) belgilashdan foydalansak,

(37.20) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

u(x) = f (x) +

1

2π

α +

1

2π

β cos x.

(37.22)

(37.22) ni (37.14) ga qo`yib, (37.16) va (37.21) tengliklardan foydalansak, α

va β larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:







α = α,

β = 2

R

π

−π

cos y f (y)dy.

Bu yerdan ko`rinib turibdiki, α sifatida ixtiyoriy sonni olish mumkin. Bu

qiymatlarni (37.22) ga qo`yib, (37.20) tenglamaning umumiy yechimini hosil

qilamiz:

u(x) = f (x) +

1

π

Z

π

−π

cos x cos y f (y)dy + C.

Bu yerda C− ixtiyoriy o`zgarmas son.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazosida

(Au)(x) =

1

π

Z

π

−π

cos(x − y)u(y)dy

integral operator normasini 37.2-teoremadan foydalanib baholang.

405

2.

37.3-teoremadan foydalanib, L

2

[−π, π]

fazoda

(Au)(x) =

Z

π

−π

(cos x sin y + i sin x cos y )u(y)dy

integral operatorga qo`shma operatorni toping.

3.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazosida quyidagi integral tenglamani yeching:

u(x) = sin x +

Z

π

−π

cos x sin yu(y)dy.

4.

Parametr λ ∈ R ning qanday qiymatlarida

u(x) = f (x) + λ

Z

π

−π

(2 + cos x cos y )u(y)dy

integral tenglama ixtiyoriy f ∈ L

2

[−π, π]

da yagona yechimga ega

bo`ladi?

5.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazosida

u(x) = f (x) +

1

π

Z

π

−π

cos x cos yu(y)dy

integral tenglama berilgan. Tenglama yechimga ega bo`ladigan f lar to`p-

lamini tavsiang. Bu to`plam qism fazo tashkil qiladimi? Agar u qism fazo

tashkil qilsa, uning o`lchamini toping.

38- §. Fredholm teoremalari

Bu yerda ham yuqorida ko`rilgan

φ = T φ + f

(38.1)

tenglamani o`rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T ope-

ratorning integral ko`rinishi emas, balki faqat uning kompaktligi muhim rol

o`ynaydi. Shuning uchun H Hilbert fazosida birorta T kompakt operatorni

406

olib, (38.1) ko`rinishdagi tenglamani o`rganamiz. Buning uchun A = I − T

operatorni kiritgan holda (38.1) tenglamani

Aφ = f

(38.2)

ko`rinishda yozamiz. (38.2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo`lgan

Aφ

o

= θ

(38.3)

tenglamani va bularga qo`shma bo`lgan

A

∗

ψ = g

(38.2

∗

)

A

∗

ψ

o

= θ

(38.3

∗

)

tenglamalarni qaraymiz. Bu yerda A

∗

operator A operatorga qo`shma, ya'ni

A

∗

= (I − T )

∗

= I − T

∗

.

Quyida isbotlanadigan teoremalar Fredholm teoremalari deb nomlanib, shu

to`rt tenglamaning yechimlari orasidagi bog`lanishlarni ifodalaydi.

38.1-teorema. (38.2) tenglama yechimga ega bo`lishi uchun f vektor

(38. 3

∗

) tenglamaning har bir yechimiga ortogonal bo`lishi zarur va yetarli.

Isbot. KerA va ImA lar A operatorning mos ravishda yadrosi va qiy-

matlari sohasi, ya'ni

KerA = {x ∈ H : Ax = θ},

ImA = {y = Ax : x ∈ H} = A(H)

ekanligini eslatamiz. Ma'lumki, A uzluksiz bo`lgani uchun KerA to`plam H

ning yopiq qism fazosi bo`ladi. ImA ham H ning yopiq qism fazosi ekanligini

isbotlaymiz. {y

n

} ⊂ ImA

ketma-ketlik biror y ∈ H elementga yaqinlashuv-

chi bo`lsin deb faraz qilaylik. Demak,

y

n

= Ax

n

= x

n

− T x

n

→ y

(38.4)

407

shartni qanoatlantiruvchi {x

n

}

ketma-ketlik mavjud. x

n

vektorlarni KerA

fazoga ortogonal deb hisoblash mumkin, aks holda x

n

ning o`rniga x

0

n

=

x

n

− prx

n

vektorlarni olish mumkin; bu yerda prx

n

element x

n

vektorning

KerA

qism fazoga proyeksiyasi. Bundan tashqari, {x

n

}

ketma-ketlik chega-

ralangandir. Aks holda kx

n

k → ∞

deb hisoblash mumkin, demak, (38.4) ga

asosan

x

n

kx

n

k

− T

µ

x

n

kx

n

k

¶

=

y

n

kx

n

k

→ θ

(38.5)

munosabat o`rinli.

Ikkinchi tomondan {x

n

kx

n

k

−1

}

ketma-ketlik birlik sharga tegishli bo`lgani

va T kompakt operator ekanligi tufayli biror {x

n

k

}

qismiy ketma-ketlik uchun

T

³

x

n

k

kx

n

k

k

−1

´

ketma-ketlik biror z elementga yaqinlashuvchi bo`ladi. Bun-

dan (38.5) ga asosan

n

kx

n

k

k

−1

· x

n

k

o

ketma-ketlik ham shu z elementga

yaqinlashuvchi bo`ladi. Ravshanki, kzk = 1, (chunki

°

°

°kx

n

k

−1

· x

n

°

°

° = 1

),

Az = z − T z =

= lim

k→∞

kx

n

k

k

−1

x

n

k

− lim

k→∞

T

³

kx

n

k

k

−1

x

n

k

´

= lim

k→∞

A

³

kx

n

k

k

−1

x

n

k

´

= θ,

ya'ni z ∈ KerA. Ammo har bir x

n

element KerA ga ortogonal edi, demak,

z⊥KerA

. Bu ikki munosabatdan z = θ kelib chiqadi. Bu k z k = 1 tenglikka

zid. Bu ziddiyat {x

n

}

ketma-ketlikning chegaralangan ekanligini ko`rsatadi.

T

operator kompakt bo`lgani uchun {T x

n

}

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi

bo`lgan {T x

n

i

}

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. (38.4) ga asosan {x

n

i

}

ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu limitni x bilan belgilasak, u

holda

y = lim

n→∞

Ax

n

= lim

i→∞

Ax

n

i

= A( lim

i→∞

x

n

i

) = Ax.

Bu yerdan y ∈ ImA ekanligi kelib chiqadi. Demak, ImA yopiqdir. 36.3-

teoremaga asosan, T

∗

operator ham T bilan bir qatorda kompakt bo`lgani

sababli, ImA

∗

ham H ning yopiq qism fazosi bo`ladi.

408

Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz:

KerA ⊕ ImA

∗

= H,

(38.6)

KerA

∗

⊕ ImA = H.

(38.7)

Ravshanki, KerA va ImA

∗

o`zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan,

iõtiyoriy h ∈ KerA va x ∈ H uchun

(h, A

∗

x) = (Ah, x) = (θ, x) = 0.

Ma'lumki, ImA

∗

ga ortogonal har qanday qism fazo (ImA

∗

)

⊥

ning qismidir.

Shunday ekan, KerA ⊂ (ImA

∗

)

⊥

.

Agar biz (ImA

∗

)

⊥

⊂ KerA

ekanligini

ko`rsatsak, (38.6) tenglik isbot bo`lgan bo`ladi. Faraz qilaylik, z vektor ImA

∗

ga ortogonal bo`lgan ixtiyoriy element bo`lsin, u holda barcha x ∈ H uchun

(Az, x) = (z, A

∗

x) = 0.

Demak, Az = 0, ya'ni z ∈ KerA. Bundan (ImA

∗

)

⊥

⊂ KerA

ekanligi

kelib chiqadi.

Xuddi shunday, KerA

∗

= (ImA)

⊥

tenglikni ko`rsatib, (38.7) tenglikning

isbotiga ega bo`lamiz. (38.7) tenglikdan 38.1-teorema bevosita kelib chiqadi,

ya'ni f ∈ ImA bo`lishi uchun f⊥KerA

∗

bo`lishi yetarli va zarurdir.

∆

Har bir k natural son uchun H

k

orqali ImA

k

fazoni belgilaymiz, õususan

H

1

= Im A. H

k

ning tuzilishidan ravshanki, A(H

k

) = H

k+1

va

H ⊃ H

1

⊃ H

2

⊃ · · ·

38.1-teoremani isbotlash davomida ko`rsatilganidek, har bir H

k

yopiqdir.

38.1-lemma. Shunday j

0

natural son mavjudki, barcha k ≥ j

0

uchun

H

k+1

= H

k

tenglik o`rinli.

Isbot. Teskaridan faraz qilaylik, hamma H

k

fazolar har õil bo`lsin. Bu

holda shunday {x

k

}

ortonormal sistema mavjudki, x

k

∈ H

k

va x

k

⊥H

k+1

.

409

Demak, iõtiyoriy l, k (l > k) sonlar uchun

T x

l

− T x

k

= −x

k

+ (x

l

+ Ax

k

− Ax

l

).

Bu yerda x

l

+ Ax

k

− Ax

l

∈ H

k+1

bo`lgani uchun

kT x

l

− T x

k

k

2

= k x

k

k

2

+ k x

l

+ Ax

k

− Ax

l

k

2

≥ 1,

ya'ni {T x

k

}

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin

emas. Bu esa T operatorning kompaktligiga zid.

∆

38.2-teorema (Fredholm alternativasi). Yo (38.2) tenglama iõtiyoriy f ∈

H

uchun yagona yechimga ega, yo (38.3) tenglamaning noldan farqli yechimi

mavjud.

Isbot. Agar KerA = {θ} bo`lsa (ya'ni (38.3) tenglama noldan farqli

yechimga ega bo`lmasa), u holda A o`zaro bir qiymatli akslantirishdir. Shuning

uchun, agar H

1

= ImA 6= H

deb faraz qilsak, u holda H

2

6= H

1

, . . . , H

k+1

6=

H

k

munosabatlar iõtiyoriy k uchun o`rinlidir. Bu esa 38.1-lemmaga zid. De-

mak, ImA = H, ya'ni (38.2) tenglama iõtiyoriy f uchun yagona yechimga

ega.

Agar (38.2) tenglama iõtiyoriy f uchun yagona yechimga ega bo`lsa, u hol-

da Im A = H va (38.7) munosabatga asosan KerA

∗

= {θ}.

Bu tenglikdan

yuqoridagidek Im A

∗

= H

munosabat kelib chiqadi. Endi (38.6) munosabat-

dan foydalansak, KerA = {θ}, ya'ni (38.3) tenglama faqat nol yechimga ega

ekanligi kelib chiqadi.

∆

38.3-teorema. (38.3) va (38.3

∗

)

tenglamalarning chiziqli erkli bo`lgan

yechimlari soni chekli va o`zaro tengdir. Boshqacha qilib aytganda,

dim KerA = dim KerA

∗

< ∞.

Isbot. KerA fazoning o`lchami cheksiz deb faraz qilaylik. Bu holda KerA

da cheksiz elementli {x

n

}

ortonormal sistema mavjud. x

n

∈ KerA,

ya'ni

410

Ax

n

= x

n

− T x

n

= θ

bo`lgani sababli, x

n

= T x

n

.

Demak,

kT x

n

− T x

m

k = kx

n

− x

m

k =

√

2, n 6= m.

Bu yerdan kelib chiqadiki, {T x

n

}

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ket-

ma-ketlik ajratish mumkin emas. Bu esa T ning kompaktligiga zid. Shunday

qilib, dim KerA < ∞ ekan. Xuddi shunday dim KerA

∗

< ∞

ekanligi isbot-

lanadi. Faraz qilaylik,

dim KerA = µ,

dim KerA

∗

= ν

bo`lib, µ < ν bo`lsin. Endi KerA va KerA

∗

fazolardan mos ravishda

{φ

1

, φ

2

, . . . , φ

µ

} ⊂ Ker A

va {ψ

1

, ψ

2

, . . . , ψ

ν

} ⊂ Ker A

∗

ortonormal basizlarni tanlab olamiz va

Sx = Ax +

µ

X

j=1

(x, φ

j

)ψ

j

operatorni qaraymiz. S operator A operatorga chekli o`lchamli operatorni

qo`shish natijasida hosil bo`lganligi sababli, S operator uchun ham yuqorida

A

uchun isbotlangan barcha tasdiqlar o`rinli. Bu operator uchun Sx = θ

tenglama faqat nol yechimga ega. Haqiqatan ham,

Sx = Ax +

µ

X

j=1

(x, φ

j

)ψ

j

= θ

(38.8)

bo`lsin, u holda (38.7) munosabatga asosan Ax⊥

µ

P

j=1

(x, φ

j

)ψ

j

.

Bu yerdan va

(38.8) tenglikdan

Ax = θ va

µ

X

j=1

(x, φ

j

)ψ

j

= θ

(38.9)

ga ega bo`lamiz. {ψ

1

, ψ

2

, . . . , ψ

ν

}

sistemaning ortogonalligidan (chiziqli erkliligi-

dan) hamda (38.9) dan barcha j ∈ {1, 2, . . . , µ} larda

(x, φ

j

) = 0

411

tengliklarni olamiz. Shunday qilib, bir tomondan x ∈ KerA, ya'ni x vektor

{φ

1

, φ

2

, . . . , φ

µ

}

vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidir, ikkinchi tomondan,

x

bu vektorlarga ortogonal. Bundan x = θ. Demak, KerS = {θ}. 38.2-

teoremani S operatorga qo`llagan holda f = ψ

µ+1

deb olsak,

Ay +

µ

X

j=1

(y, φ

j

)ψ

j

= ψ

µ+1

tenglama biror y yechimga ega bo`ladi. Bu tenglikning ikkala qismini ψ

µ+1

vektorga skalyar ko`paytirsak, 0 = 1 ziddiyat hosil bo`ladi (chunki ImA⊥KerA

∗

va Ay ∈ ImA, ψ

µ+1

∈ KerA

∗

). Demak, µ < ν farazimiz ziddiyatga olib

keldi, ya'ni µ ≥ ν ekan. Xuddi shunday, A operator o`rniga A

∗

operator

olinsa, µ ≤ ν tengsizlik isbotlanadi. Demak, µ = ν.

∆

Yuqoridagi teoremalarda biz T −I operatorga teskari operatorning mavjud-

lik shartlarini ko`rdik. Ravshanki, 38.1-38.3-teoremalar T − λI (λ 6= 0) ope-

ratorlar uchun ham o`rinlidir. Fredholm teoremalaridan quyidagi natija kelib

chiqadi.

38.1-natija. Kompakt operatorning spektridan olingan iõtiyoriy noldan

farqli son bu operator uchun chekli karrali õos qiymatdir.

Isbot. Faraz qilaylik, nolmas λ ∈ σ(T ) bo`lsin. U holda 38.2-teoremani

T −λI

operator uchun qo`llab (T −λI) f = 0 tenglama noldan farqli yechimga

ega ekanligiga kelamiz. Bu yerdan λ 6= 0 soni T operatorning xos qiymati

ekanligi kelib chiqadi. 38.3-teoremaga ko`ra dim Ker (T − λI) = n < ∞ . Bu

esa λ soni T operatorning n − karrali xos qiymati ekanligini bildiradi.

∆

Misol sifatida ajralgan yadroli integral tenglamalarni qaraymiz.

φ(s) =

Z

b

a

K(s, t)φ(t)dt + f (s).

(38.10)

Fredholm integral tenglamasining yadrosi

K(s, t) =

n

X

i=1

P

i

(s)Q

i

(t)

(38.11)

412

ko`rinishga ega bo`lsa, u holda K(s, t) ajralgan yadro deyiladi. Bu yerda

P

i

, Q

i

funksiyalar L

2

[a, b]

fazodan olingan. Ravshanki, P

1

, P

2

, . . . , P

n

funksi-

yalarni chiziqli erkli deb hisoblash mumkin, aks holda K(s, t) yadroni chiziqli

erkli bo`lgan P

1

, P

2

, . . . , P

i

(i < n)

lar orqali ifodalash mumkin. (38.11) teng-

likdan foydalanib, (38.10) tenglamani quyidagi ko`rinishga keltiramiz: