M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

Bizning farazimizga asosan bu qatorning har bir hadi [a, b] kesmada uzluksiz

funksiyadan iborat. Demak, agar bu qator [a, b] kesmada tekis yaqinlashuvchi

bo`lsa, u holda uning yig`indisi biror uzluksiz funksiyani aniqlaydi.

K(x, t)

va f(x) funksiyalar mos ravishda [a, b] × [a, b] kvadrat va [a, b]

kesmada uzluksiz bo`lganligi uchun Veyershtrass teoremasiga ko`ra quyidagilar

o`rinli:

|K(x, t)| ≤ M, ∀(x, t) ∈ [a, b] × [a, b], |f (x)| ≤ M

f

, ∀x ∈ [a, b]. (39.11)

(39.10) qatorning n + 1 − chi hadidan iborat bo`lgan λ

n

(T

n

f )(x)

ifodani

quyidagicha yozib olamiz:

λ

n

(T

n

f )(x) =

= λ

n

Z

b

a

K(x, t)

Z

b

a

K(t, t

1

) · · ·

Z

b

a

K(t

n−2

, t

n−1

)f (t

n−1

)dt

n−1

· · · dt

1

dt.

(39.11) ga asosan λ

n

(T

n

f )(x)

ni quyidagicha baholash mumkin

|λ

n

(T

n

f )(x)| ≤ |λ|

n

M

f

M

n

(b − a)

n

.

(39.12)

Umumiy hadi (39.12) ko`rinishdagi bahoga ega bo`lgan qator yaqinlashuvchi

bo`lishi uchun

|λ|M(b − a) < 1

shartning bajarilishi yetarli. Demak, (39.10) qator λ parametrning

|λ| <

1

M (b − a)

(39.13)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.

Agar (39.3) tenglama biror u(x) uzluksiz yechimga ega bo`lsa, u holda u

(39.9) tenglamani ham qanoatlantiradi. u ning [a, b] kesmada uzluksizligidan

|u(x)| ≤ M

u

, ∀ x ∈ [a, b].

(39.14)

tengsizlik kelib chiqadi. U holda

|λ

n+1

(T

n+1

u)(x)| ≤ |λ|

n+1

M

u

M

n+1

(b − a)

n+1

.

421

Agar (39.13) tengsizlik bajariladi deb faraz etsak, u holda

lim

n→∞

λ

n+1

(T

n+1

u)(x) = 0.

Agar biz (39.9) da n → ∞ da limitga o`tsak

u(x) = f (x) + λ(T f )(x) + λ

2

(T

2

f )(x) + · · · + λ

n

(T

n

f )(x) + · · ·

tenglikni hosil qilamiz. Demak, biz har bir n da (39.9) tenglamani qanoat-

lantiruvchi u(x) funksiya (39.10) ko`rinishdagi qator shaklida tasvirlanishiga

ishonch hosil qildik.

Bevosita o`rniga qo`yish yordamida ko`rsatish mumkinki, (39.10) qator yi-

g`indisi bo`lgan u(x) funksiya (39.3) tenglamani qanoatlantiradi. Buning uchun

(39.10) qatorning yig`indisini u(x) bilan belgilab, bu tenglikning ikkala qis-

mini λK(x, t) ga ko`paytirib va hosil bo`lgan tekis yaqinlashuvchi qatorni

hadlab integrallaymiz. U holda biz quyidagilarni hosil qilamiz:

λ

Z

b

a

K(x, t)u(t)dt = λ

Z

b

a

K(x, t)[f (t) + λ

Z

b

a

K(t, t

1

)f (t

1

)dt

1

+ · · · ]dt =

= λ

Z

b

a

K(x, t)f (t)dt+λ

2

Z

b

a

K(x, t)

Z

b

a

K(t, t

1

)f (t

1

)dt

1

dt+· · · = u(x)−f (x).

Demak, haqiqatan ham (39.10) qatorning yig`indisi u(x) , (39.3) tenglamani

qanoatlantirar ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi.

39.1-teorema. Agar A) va B) shartlar hamda (39.13) tengsizlik bajaril-

sa, (39.3) integral tenglamaning yagona uzluksiz yechimi mavjud. Bu yechim

[a, b]

da absolyut va tekis yaqinlashuvchi (39.10) qator yig`indisi bilan ustma-

ust tushadi.

Ushbu

u(x) = f (x) +

Z

b

a

K(x, t)u(t)dt

(39.15)

tenglama (39.3) tenglamaning λ = 1 bo`lgan xususiy holidan iborat. Ush-

bu holda ham biz yuqorida keltirgan mulohazalarimiz hech bir o`zgarishsiz

takrorlanadi.

422

Qayd etish joizki, (39.3) integral tenglama (39.13) tengsizlik bajarilmasa

ham uzluksiz yechimga ega bo`lishi mumkin. Bunga quyidagi misolda ishonch

hosil qilish mumkin.

u(x) =

x

2

−

1

3

+

Z

1

0

(x + t)u(t)dt

integral tenglama uchun |λ|M(b − a) = 2 > 1 bo`lib, tenglama u(x) = x

ko`rinishdagi uzluksiz yechimga ega.

Volterra tipidagi integral tenglamalar. Endi biz Volterra tipidagi ope-

ratorlarning rezolventasini topish masalasini qaraymiz. Quyida keltirilgan tas-

diqlardan shu narsa kelib chiqadiki, Volterra operatorining rezolventasi noldan

farqli barcha nuqtalarda mavjud va chegaralangan bo`lar ekan.

(39.4) Volterra tenglamasining o`ng tamoniga u(t) funksiyaning ifodasini

ketma-ket qo`yib, quyidagini hosil qilamiz:

u(x) = f (x) + λ(V f )(x) + · · · + λ

n

(V

n

f )(x) + λ

n+1

(V

n+1

u)(x).

(39.16)

Umumiy hadi λ

n

(V

n

f )(x)

bo`lgan

f (x) + λ(V f )(x) + λ

2

(V

2

f )(x) + · · · + λ

n

(V

n

f )(x) + · · ·

(39.17)

funksional qatorni qaraymiz. (39.11) tengsizlik bajarilganda (39.17) qatorning

umumiy hadini quyidagicha baholash mumkin:

|λ

n

(V

n

f )(x)| ≤ |λ|

n

M

f

M

n

(x − a)

n

n!

≤ |λ|

n

M

f

M

n

(b − a)

n

n!

,

(a ≤ x ≤ b).

Umumiy hadi

|λ|

n

M

f

M

n

(b − a)

n

n!

bo`lgan musbat hadli qator λ, M

f

va M larning barcha qiymatlarida yaqin-

lashadi. Shuning uchun (39.17) funksional qator absolyut va tekis yaqinlashadi.

Agar (39.4) integral tenglama biror uzluksiz u(x) yechimga ega bo`lsa, u

holda bu yechim (39.16) tenglamani ham qanoatlantiradi. (39.16) ning so`nggi

423

qo`shiluvchisi λ

n+1

(V

n+1

u)(x)

uchun quyidagi baho ( x ∈ [a, b] ) o`rinli:

|λ

n+1

(V

n+1

u)(x)| ≤ |λ|

n+1

M

u

M

n+1

(x − a)

n+1

(n + 1)!

≤ |λ|

n+1

M

u

M

n+1

(b − a)

n+1

(n + 1)!

.

Bundan quyidagi limitik munosabatni olamiz:

lim

n→∞

λ

n+1

(V

n+1

u)(x) ≡ 0.

(39.16) da n → ∞ da limitga o`tib, biz (39.4) tenglamani qanoatlantiruv-

chi u(x) funksiya (39.17) qator ko`rinishida ifodalanishini hosil qilamiz. Xud-

di yuqorida ko`rsatilgani kabi, (39.17) qator yig`indisi u(x) funksiya (39.4)

tenglamani qanoatlantirishini isbotlash mumkin. Demak, biz quyidagi tasdiqni

isbotladik.

39.2-teorema. Agar A) va B) shartlar bajarilsa, u holda barcha λ lar

uchun (39.4) integral tenglama yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechim [a, b]

da absolyut va tekis yaqinlashuvchi (39.17) qator ko`rinishida ifodalanadi.

Bu yerda olingan natijalarni o`zgarishsiz ravishda

u(x) = f (x) +

Z

x

a

K(x, t)u(t)dt

tenglamaga λ = 1 deb tadbiq etish mumkin.

39.2. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli. Shuni qayd etish joizki, ketma-

ket yaqinlashishlar usuli yuqorida bayon qilingan ketma-ket o`rniga qo`yish

usulidan farq qiladi. Ketma-ket yaqinlashishlar usulida C[a, b] dan ixtiyoriy

u

0

funksiyani olamiz va uni (39.3) tenglama o`ng tomonidagi u(t) ning o`rniga

qo`yib

u

1

(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t) u

0

(t)dt

ni olamiz. Hosil qilingan u

1

(x)

funksiya ham A) va B) shartlarga ko`ra [a, b]

kesmada uzluksiz funksiya bo`ladi. (39.3) tenglama o`ng tomonidagi u(t) ning

o`rniga u

1

(t)

ni qo`yib

u

2

(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)u

1

(t)dt

424

ni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida biz

u

0

(x), u

1

(x), u

2

(x), · · · , u

n

(x), · · ·

funksiyalar ketma-ketligini hosil qilamiz. Agar biz (39.1) Fredholm operatori

ko`rinishidan foydalansak, u holda yuqoridagi ketma-ketlikning hadlari mos

ravishda quyidagi tengliklar bilan aniqlanishi kelib chiqadi:

u

1

(x) = f (x) + λ(T u

0

)(x)

... ...

...

...

... ...

u

n−1

(x) = f (x) + λ(T u

n−2

)(x)

u

n

(x) = f (x) + λ(T u

n−1

)(x).































Bu tengliklardan u

n

(x)

uchun quyidagini hosil qilamiz

u

n

(x) = f (x) + λ(T f )(x) + λ

2

(T

2

f )(x) + · · · + λ

n−1

(T

n−1

f )(x) + R

n

(x).

Bu yerda

R

n

(x) = λ

n

(T

n

u

0

)(x).

u

0

(x)

funksiyaning uzluksizligidan R

n

(x)

uchun quyidagi bahoga ega bo`lamiz:

|R

n

(x)| ≤ |λ|

n

M

u

0

M

n

(b − a)

n

.

Bu yerdan, (39.13) tengsizlik bajarilgan holda quyidagi limitik munosabat

kelib chiqadi:

lim

n→∞

R

n

(x) ≡ 0.

(39.10) qator (39.13) shartda absolyut va tekis yaqinlashadi. Shuning uchun

n

ning ortishi bilan u

n

(x)

ketma-ketlik (39.10) qator yig`indisi bo`lgan u(x)

funksiyaga tekis yaqinlashadi, ya'ni

lim

n→∞

u

n

(x) = u(x).

Ushbu jarayonda hosil qilinayotgan har bir u

n

(x)

funksiya tanlangan u

0

(x)

funksiyaga bog`liq bo`lib, lekin u(x)− limitik funksiya u

0

(x)

funksiyaning tan-

lanishidan bog`liq emas.

425

Endi biz yechimni yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilamiz, yana bitta v(x) 6=

u(x)

yechim mavjud bo`lsin. u

0

(x)

sifatida shu v(x) funksiyani o`zini olamiz,

ya'ni u

0

(x) = v(x).

U holda ravshanki, har bir u

n

(x)

funksiya v(x) bilan

ustma-ust tushadi va o`z navbatida ularning limiti yana v(x) funksiyadan

iborat bo`ladi. Yuqorida ta'kidlaganimizdek, u

n

(x)

larning limiti u(x) , u

0

(x)

ning tanlanishidan bog`liq emas. Bu esa u(x) = v(x) ekanligini anglatadi. Bu

zidlik qaralayotgan tenglama yechimining yagonaligini isbotlaydi.

Fredholm tenglamasining Volterra tomonidan berilgan yechimi.

39.1-ta'rif. Agar M(b − a) < 1 shart bajarilsa, ushbu

−(K

1

(x, t) + K

2

(x, t) + · · · + K

n

(x, t) + · · · )

(39.18)

qator absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo`ladi. Uning yig`indisi k(x, t) funk-

siya K(x, t) yadroning o`zaro to`ldiruvchi funksiyasi deb ataladi.

Bu yerda K

n

(x, t)

lar (39.5) tenglik bilan aniqlanadi.

O`zaro to`ldiruvchi funksiya k(x, t) quyidagi tengliklarni qanoatlantiradi:

K(x, t) + k(x, t) =

Z

b

a

K(x, s)k(s, t)ds =

Z

b

a

k(x, s)K(s, t)ds.

(39.19)

Haqiqatan ham,

−K(x, t) − k(x, t) =

Z

b

a

K

1

(x, s)[K

1

(s, t) + · · · + K

n−1

(s, t) + · · · ]ds =

=

Z

b

a

[K

1

(x, s) + · · · + K

n−1

(x, s) + · · · ]K

1

(s, t)ds.

Bu tengliklardagi kvadrat qavs ichidagi ifodalar (39.18) ga asosan mos ravishda

−k(s, t)

va −k(x, s) ga teng bo`lib, bu (39.19) ni isbotlaydi.

Fredholm tenglamasi, ya'ni (39.3) tenglamaning λ = 1 bo`lgan holda

Volterra tomonidan berilgan yechish usulini bayon qilamiz.

Faraz qilaylik, k(x, t) funksiya K(x, t) yardroning o`zaro to`ldiruvchi

funksiyasi, u(x) esa (39.15) tenglamaning uzluksiz yechimi bo`lsin, ya'ni

u(t) = f (t) +

Z

b

a

K(t, t

1

)u(t

1

)dt

1

.

426

Bu tenglikning ikkala qismini k(x, t)− o`zaro to`ldiruvchi funksiyaga ko`paytirib,

t

o`zgaruvchi bo`yicha [a, b] kesmada integrallaymiz:

Z

b

a

u(t)k(x, t)dt =

Z

b

a

k(x, t)f (t)dt +

Z

b

a

Z

b

a

k(x, t)K(t, t

1

) dt u(t

1

)dt

1

=

=

Z

b

a

k(x, t)f (t)dt +

Z

b

a

[K(x, t

1

) + k(x, t

1

)] u(t

1

)dt

1

.

Bu yerda biz (39.19) munosabatdan foydalandik. Oxirgi tenglikdan esa

Z

b

a

k(x, t)f (t) dt +

Z

b

a

K(x, t) u(t) dt = 0

(39.20)

ni olamiz. (39.15) ga asosan

Z

b

a

K(x, t)u(t)dt = u(x) − f (x)

bo`lib, uni (39.20) ga qo`yib, quyidagi ifodani olamiz:

u(x) = f (x) −

Z

b

a

k(x, t)f (t)dt.

(39.21)

Shunday qilib, agar (39.15) integral tenglama biror uzluksiz yechimga ega

bo`lsa, u yagona bo`ladi va (39.21) tenglik bilan ifodalanadi. Demak, biz

quyidagi tasdiqni isbotladik.

39.3-teorema. A), B) va M(b − a) < 1 shartlar bajarilsin, (39.15)

tenglama yagona uzluksiz yechimga ega va u (39.21) formula bilan ifodalanadi.

Integral tenglamalarni yechishga doir misollar. Endi biz integral

tenglamalarni yuqorida keltirilgan usullar bilan yechishga doir misollar kelti-

ramiz.

39.1-misol. Quyidagi

u(x) = 1 + λ

Z

x

0

u(t)dt

(39.22)

integral tenglamani ketma-ket o`rniga qo`yish usuli bilan yeching.

Yechish. Bu Volterra tipidagi integral tenglama, 39.2-teoremaga ko`ra u

barcha λ larda yagona yechimga ega. Bu integral tenglama uchun ketma-ket

427

o`rniga qo`yish usulini qo`llash mumkin. Bu misolda f(x) = 1 . Endi (V

n

f )(x)

larni hisoblaymiz:

(V f )(x) =

Z

x

0

f (t)dt =

Z

x

0

dt = x,

(V

2

f )(x) =

Z

x

0

Z

t

0

f (t

1

)dt

1

dt =

Z

x

0

dt

Z

t

0

dt

1

=

Z

x

0

tdt =

x

2

2

.

Xuddi shunday (V

3

f )(x)

ni hisoblash mumkin.

(V

3

f )(x) =

Z

x

0

dy

Z

y

0

dt

Z

t

0

ds =

Z

x

0

dy

Z

y

0

tdt =

Z

x

0

y

2

2

dy =

x