M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
|
[a, b] × [a, b] da absolyut, [a, b] × [a, b] da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi. De- mak, uning yig`indisi bo`lgan D(x, t; λ) funksiya (x, t) bo`yicha uzluksiz va
parametrning analitik funksiyasi bo`ladi. (39.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechimi quyida- gi 40.2, 40.4 va 40.5-teoremalarda o`z ifodasini topgan. 40.2-teorema. A) shart bajarilsin va ∆(λ) 6= 0 bo`lsin. U holda ixtiyoriy
2 [a, b] da (39.3) integral tenglama u(x) = f (x) + 1 ∆(λ) Z b a D(x, t; λ)f (t)dt (40.5) formula bilan ifodalanuvchi yagona yechimga ega. Isbot. Faraz qilaylik, (39.3) tenglama u(x) yechimga ega bo`lsin. Uni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz
Z
a K(t, s)u(s)ds. (40.6) (40.6) tenglikni ikkala qismini D(x, t; λ) ko`paytirib t− o`zgaruvchi bo`yicha
dan b gacha integrallab, natijada Z
= Z b a D(x, t; λ)f (t) dt + λ Z
a Z
a D(x, t; λ)K(t, s)u(s)dsdt (40.7) tenglikni hosil qilamiz. Ikki karrali integral ostidagi ifoda t va s lar bo`yicha integrallanuvchi bo`lganligi uchun, Fubini teoremasiga (37.1-teoremaga qarang) 435
ko`ra, unda integrallash tartibini o`zgartirish mumkin. Uni quyidagicha yoza- miz
Z b a u(s) ½
Z
¾
(40.8) (40.3) Fredholm fundamental munosabatiga ko`ra (40.8) ni quyidagicha yozish mumkin Z
a {D(x, s; λ) − λ ∆(λ) K(x, s)} u(s)ds. Bu tenglikka ko`ra (40.7) tenglama ko`rinishi quyidagicha bo`ladi b Z
D(x, t; λ) u(t) dt = =
Z
Z
D(x, s; λ)u(s)ds − λ ∆(λ) b Z
K(x, s)u(s)ds. Agar biz
Z b a D(x, t; λ) u(t) dt = Z
a D(x, s; λ)u(s)ds ayniyatni hisobga olsak oxirgi tenglikdan quyidagini olamiz: λ Z
a K(x, t) u(t)dt = 1 ∆(λ) Z b a D(x, t; λ)f (t) dt. λ R
a K(x, t) u(t)dt ning bu ifodasini (39.3) ga qo'yib u(x) = f (x) + 1 ∆(λ) Z b a D(x, t; λ)f (t)dt ni olamiz. Demak, (39.3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi (40.5) ko`rinishga ega ekan. Bu 40.2-teoremani isbotlaydi. ∆ Bu teoremadan natija sifatida aytish mumkinki, agar ∆(λ) 6= 0 bo`lsa, (39.3) integral tenglamaga mos bir jinsli integral tenglama faqat nol yechimga ega bo`ladi. 40.1. Bir jinsli tenglamaning yechimi. Endi (39.3) integral tengla- maga mos bir jinsli tenglamani, ya'ni u(x) = λ Z
a K(x, t)u(t)dt (40.9) 436
tenglamani qaraymiz. Quyidagi tasdiq o`rinli. 40.3-teorema. Agar ∆(λ 0 ) = 0
va D(x, t; λ 0 ) aynan nol funksiya bo`lmasa, u holda shunday t 0
mavjudki, D(x, t 0 ; λ 0 ) funksiya u(x) = λ 0 Z b a K(x, t)u(t)dt (40.10) tenglamaning aynan nolga teng bo`lmagan uzluksiz yechimi bo`ladi. Isbot. (40.10) integral tenglamaning yechimini topish uchun barcha λ larda o`rinli bo`lgan Fredholmning (40.4) fundamental munosabatidan foy- dalanamiz. Teorema shartida (40.4) munosabat D(x, t; λ 0 ) = λ 0 Z
a K(x, s)D(s, t; λ 0 )ds (40.11) ko`rinishni oladi. Teorema shartiga ko`ra t 0
ni shunday tanlash mumkunki, D(x, t 0 ; λ 0 ) aynan nolga teng bo`lmagan funksiya bo`ladi. (40.11) munosabat barcha t ∈ [a, b] larda, xususan, t = t 0 bo`lganda ham o`rinli, ya'ni D(x, t 0 ; λ 0 ) = λ 0 Z
a K(x, s)D(s, t 0 ; λ 0 )ds. Bu esa D(x, t 0 ; λ 0 ) funksiya (40.10) integral tenglamaning yechimi ekanligini anglatadi. Yuqorida keltirilgan Adamar teoremasidan ko`rinadiki, D(x, t; λ) funksiya barcha x, t ∈ [a, b] larda tekis yaqinlashuvchi va hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat qator yig`indisi sifatida uzluksizdir. ∆ 40.1-ta'rif. Agar biror λ = λ 0 uchun ∆(λ 0 ) = 0
bo`lsa, λ 0 ga K(x, t) yadroning xarakteristik soni deyiladi. (40.10) tenglamaning nolmas yechimi esa K(x, t) yadroning λ 0 xarakteristik songa mos fundamental funksiyasi deyiladi. Agar λ 0
yadroning xarakteristik soni bo`lsa, u holda µ = 1/λ 0 soni (39.1) tenglik bilan aniqlangan T operatorning xos qiymati bo`ladi. K(x, t) yadroning fundamental funksiyalari, T operatorning xos funksiyalari bo`ladi. 437
40.3-teoremada D(x, t; λ 0 ) aynan nolga teng emas shartini ∆ 0 (λ 0 ) 6= 0 shart bilan almashtirish mumkin. Buning ucnun biz barcha λ larda o'rinli bo`lgan quyidagi tenglikdan ([10] ga qarang) foydalanamiz Z
(λ). (40.12) Faraz qilaylik, ∆(λ 0 ) = 0
va ∆ 0 (λ 0 ) 6= 0 bo`lsin. Ma'lumki ((40.1) ga qarang), ∆(0) = 1
shuning uchun λ 0
. Agar biz (40.12) formulada λ = λ 0 desak, uning o`ng tomoni noldan farqli bo`ladi, shunday ekan uning chap tomoni ham nolmas bo`ladi. Bundan D(x, x; λ 0 )
navbatida D(x, t; λ 0 ) ning ham aynan nolga teng emasligi kelib chiqadi. Agar ∆(λ 0 ) = 0
bilan birgalikda D(x, t; λ 0 ) ≡ 0 bo`lsa, u holda (40.10) bir jinsli tenglamaning nolmas yechimlarini topish uchun yuqori tartibli mi- norlarni qarashga to`g`ri keladi. Yuqori tartibli minorlarni kiritish uchun biz quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: K s 1
2
1
2
= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ K(s 1
1 ) K(s 1 , t 2 ) · · · K(s 1 , t n )
2
1 ) K(s 2 , t 2 ) · · · K(s 2 , t n ) ... ··· ··· ... ··· ... K(s n , t 1 ) K(s n , t 2 ) · · · K(s n , t n ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (40.13) va B n x 1
2
1
2
= = Z
a · · · Z
a K x 1
p , t 1
n y 1
p , t 1
n dt 1 · · · dt n . (40.14) Xususan n = 0 da
0 x 1
2
1
2
= K
1
2
p y 1
2
. (40.15) 438
U holda ∆(λ) ning p − tartibli minori quyidagicha aniqlanadi D x 1
2
1
2
= ∞ X
(−1)
x 1
2
1
2
:= = D p (x, y; λ) (40.16) Xususiy hol p = 1 da D 1 (x, y; λ) = D(x, y; λ) . Ta'kidlash joizki, agar biror i 6= j uchun x i = x j bo`lsa, u holda (40.13) tenglik bilan aniqlangan K x 1
2
1
2
determinantning i− chi va j− chi satrlari bir xil bo`ladi va natijada K x 1
2
1
2
≡ 0 bo`ladi. Bundan D p (x, y; λ) ≡ 0 ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday biror
uchun y i = y j bo`lsa ham D p (x, y; λ) ≡ 0 bo`ladi. Agar (40.13) tenglik bilan aniqlangan K x 1
2
1
2
determinantda x i bilan x j ning o`rnini almashtirsak (40.13) determinantda i− chi va j− chi satrlarning o`rni almashadi, bu esa (40.13) determinantning ishorasini o`zgartiradi. Bu xossa p − tartibli minor D
(x, y; λ) uchun ham o`rinli, ya'ni agar biz p − tartibli minor D x 1
2
1
2
:= D p (x, y; λ) da ((40.16) formulaga qarang) x
bilan x j ni o`rnini almashtirsak, p − tartibli minor D
(x, y; λ) ning faqat ishorasi almashadi. Fredholmning umumlashgan fundamental munosabatlari quyidagilar: D x 1
2
1
2
= 439 = p X
(−1)
) D
1 , . . . , x α−1 , x α+1 , . . . , x p , λ y 1
β−1 , y β+1 , . . . , y p , λ + +λ Z
a K(t, y β ) D
1 , . . . , x α−1 , x α , x α+1 , . . . , x p , λ y 1
β−1 , t, y β+1 , . . . , y p , λ dt. (40.17) D x 1
2
1
2
= = p X
(−1)
) D
1 , . . . , x α−1 , x α+1 , . . . , x p , λ y 1
β−1 , y β+1 , . . . , y p , λ + +λ Z
a K(x α , t) D x 1
α−1 , t, x α+1 , . . . , x p , λ y 1
β−1 , y β , y β+1 , . . . , y p , λ dt. (40.18) Yuqorida keltirilgan (40.12) munosabat quyidagi umumiy munosabatning xu- susiy holidir
Z
· · · b Z
D x 1
2
1
2
dx 1 · · · dx p = (−1) p λ p ∆ (p) (λ). (40.19) (40.17)-(40.19) tengliklarning isboti [10] da keltirilgan. Faraz qilaylik, λ 0 soni ∆(λ) = 0 tenglamaning ildizi bo`lsin. Ma'lumki, ∆(0) = 1 shuning uchun λ 0
. ∆(λ) analitik funksiya bo`lganligi uchun λ 0 uning chekli r karrali noli bo`ladi, ya'ni ∆(λ 0 ) = 0, ∆ 0 (λ 0 ) = 0, . . . , ∆ (r−1) (λ 0 ) = 0, ∆ (r) (λ 0 ) 6= 0. Agar biz (40.19) formulada λ = λ 0 va p = r desak, u holda (40.19) ning o'ng tomoni nolmas bo`ladi. Demak, uning chap tomoni ham nolmas, bu esa o`z navbatida p − tartibli D p (x, x; λ 0 )
keltirib chiqaradi. Bu yerdan D p (x, y; λ 0 )
kelib chiqadi. Agar λ 0 soni ∆(λ) funksiyaning r karrali noli bo`lsa, u holda 440 shunday q ≤ r natural son mavjudki, quyidagilar bajariladi: ∆(λ 0 ) = 0, D(x, y; λ 0 ) ≡ 0, . . . , D q−1 (x, y; λ 0 ) ≡ 0 bo`lib, D q (x, y; λ 0 )
40.2-ta'rif. Yuqorida aniqlangan q soniga λ 0 xarakteristik sonning kar- raligi deyiladi. Shuni ta'kidlaymizki, simmetrik yadrolar uchun q = r tenglik o`rinli. Xusu- san bizning holimizda ham q = r bo`ladi.
(x, y; λ 0 )
1 = x 0 1
x 2 = x 0 2
Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|