M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

k=1

α

k

x

k

ko`rinishdagi elementlardan tashkil topgan. Har bir y ∈ X

n

uchun quyidagiga

382

egamiz

y −

1

λ

n

Ay =

n

X

k=1

α

k

x

k

−

n

X

k=1

α

k

λ

k

λ

n

x

k

=

n−1

X

k=1

α

k

µ

1 −

λ

k

λ

n

¶

x

k

.

Bu yerdan ko`rinadiki,

y −

1

λ

n

Ay ∈ X

n−1

.

Endi {y

n

}

ketma-ketlikni shunday tanlaymizki,

1) y

n

∈ X

n

;

2) ky

n

k = 1; 3) ρ(y

n

, X

n−1

) = inf

x∈X

n−1

ky

n

− xk >

1

2

shartlar bajarilsin (bunday ketma-ketlikning mavjudligi 35.1-lemmada isbot-

langan). Agar

©

λ

−1

n

ª

ketma-ketlik chegaralangan bo`lsa, u holda

©

λ

−1

n

y

n

ª

ketma-ketlik X da chegaralangan bo`ladi. Lekin shu bilan birga,

©

A(λ

−1

n

y

n

)

ª

ketma-ketlik o`zida birorta ham yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqla-

maydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy n > m da

°

°

°

°A

µ

y

n

λ

n

¶

− A

µ

y

m

λ

m

¶ °

°

°

° =

°

°

°

°y

n

−

µ

y

n

−

1

λ

n

Ay

n

+ A

µ

y

m

λ

m

¶¶°

°

°

° ≥

1

2

.

Chunki

y

n

−

1

λ

n

Ay

n

+ A

µ

y

m

λ

m

¶

∈ X

n−1

.

Hosil qilingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.

∆

36.1-misol. `

1

Banax fazosida

A : `

1

→ `

1

, Ax =

µ

x

1

,

1

2

x

2

, . . . ,

1

n

x

n

, . . .

¶

operatorni qaraymiz. Uning kompaktligini ko`rsating.

Yechish. Agar biz A operatorga tekis yaqinlashuvchi kompakt operator-

lar ketma-ketligi mavjud ekanligini ko`rsatsak, u holda 36.1-natijaga ko`ra, A

kompakt operator bo`ladi. A

n

operatorlarni quyidagicha tanlaymiz:

A

n

: `

1

→ `

1

, A

n

x =

µ

x

1

,

1

2

x

2

, . . . ,

1

n

x

n

, 0, 0, . . .

¶

.

383

A

n

operatorlarning chiziqliligi oson tekshiriladi. Ularning chegaralangan ekan-

ligini ko`rsatamiz.

kA

n

xk =

X

1≤k

¯

¯

¯

¯

1

k

x

k

¯

¯

¯

¯ ≤

X

1≤k<∞

|x

k

| ≤ k x k .

Bu yerdan kA

n

k ≤ 1

tengsizlik kelib chiqadi. 35.3-misolda ko`rsatilganidek

dim ImA

n

= n

tenglik o`rinli. Demak, A

n

chegaralangan va n − o`lchamli

operator. 35.2-teoremaga ko`ra, A

n

kompakt operator. Bundan tashqari A

n

operatorlar ketma-ketligi A operatorga tekis yaqinlashadi. Haqiqatan ham,

k(A − A

n

)xk =

X

n+1≤k<∞

¯

¯

¯

¯

1

k

x

k

¯

¯

¯

¯ ≤

1

n + 1

X

n+1≤k<∞

|x

k

| ≤

1

n + 1

k x k .

Bu yerdan

kA − A

n

k ≤

1

1 + n

→ 0,

n → ∞

ekanligini olamiz. 36.1-natijaga ko`ra, A kompakt operator bo`ladi.

∆

Hilbert fazolarida kompakt operatorlar. Yuqorida biz Banax fazosida

aniqlangan kompakt operatorlar haqida so`z yuritdik va ularning ba'zi xos-

salarini isbotladik. Hozir biz bu ma'lumotlarni Hilbert fazosidagi kompakt

operatorlarga taalluqli bo`lgan ayrim faktlar bilan to`ldiramiz.

Bizga H Hilbert fazosi, uning x nuqtasi hamda {x

n

} ⊂ H

ketma-ketligi

berilgan bo`lsin.

36.1-ta'rif. Agar ixtiyoriy y ∈ H uchun lim

n→∞

(x

n

, y) = (x, y)

bo`lsa,

{x

n

}

ketma-ketlik x ga kuchsiz yoki kuchsiz ma'noda yaqinlashuvchi deyiladi

va x

n

w

−→ x

shaklda belgilanadi.

36.2-ta'rif. Agar lim

n→∞

kx

n

− xk = 0

bo`lsa, {x

n

}

ketma-ketlik x ga kuch-

li ma'noda yaqinlashuvchi deyiladi va x

n

→ x

shaklda belgilanadi.

Endi H Hilbert fazosida kuchsiz ma'nodagi nisbiy kompakt to`plam ta'rini

beramiz.

36.3-ta'rif. Agar M ⊂ H to`plamning ixtiyoriy {x

n

}

ketma-ketligidan

384

kuchsiz ma'noda yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa,

M

ga kuchsiz ma'nodagi kompakt to`plam deyiladi.

Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz.

36.5-teorema. M ⊂ H to`plam kuchsiz ma'noda kompakt bo`lishi uchun

uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.

Biz har qanday chegaralangan to`plamni nisbiy kompakt to`plamga akslan-

tiruvchi A operatorni kompakt operator deb atadik. 36.5-teoremaga ko`ra H

dagi hamma chegaralangan to`plamlar (va faqat ular) - kuchsiz kompakt. De-

mak, Hilbert fazosidagi kompakt operatorlarni har qanday kuchsiz kompakt

to`plamni nisbiy kompakt to`plamga o`tkazuvchi operator sifatida aniqlash

mumkin. Va nihoyat, ayrim hollarda Hilbert fazosidagi operatorlarning kom-

paktligini tekshirishda quyidagi ta'rif qulay.

36.4-ta'rif. Agar H Hilbert fazosida aniqlangan A operator har qan-

day kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka

akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.

Haqiqatan ham, bu shart bajarilgan bo`lsin va M ⊂ H chegaralangan

to`plam bo`lsin. M to`plamning har qanday cheksiz qism to`plami o`zida kuch-

siz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni saqlaydi. Agar bu ketma-ketlik A operator

ta'sirida kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o`tkazilsa, u holda A(M) − nis-

biy kompakt.

Aksincha, A − kompakt operator va {x

n

}

ketma-ketlik x elementga kuch-

siz ma'noda yaqinlashsin. U holda {Ax

n

}

ketma-ketlik o`zida kuchli yaqin-

lashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlaydi. Shu bilan birga {Ax

n

}

ketma-ketlik,

A

ning uzluksizligiga ko`ra, Ax ga kuchsiz yaqinlashadi. Bu yerdan kelib

chiqadiki, {Ax

n

}

ketma-ketlik bittadan ortiq limitik nuqtaga ega emas. De-

mak, {Ax

n

}

yaqinlashuvchi ketma-ketlik.

Endi biz o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan kompakt operatorlarni batafsilroq o`r-

385

ganamiz. Xususan, bunday operatorlar uchun chiziqli algebra kursidan ma'lum

bo`lgan matritsalarni diagonal ko`rinishga keltirish haqidagi teoremaga o`xshash

Hilbert-Shmidt teoremasini isbotlaymiz. Avval quyidagi ikkita tasdiqni isbot-

laymiz.

36.2-lemma. H kompleks Hilbert fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan

chegaralangan A operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.

Isbot. Haqiqatan ham, Ax = λx tenglama x 6= θ yechimga ega bo`lsin.

U holda

λ(x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x).

Bu yerdan λ = λ.

∆

36.3-lemma. O`z-o`ziga qo`shma chegaralangan operatorning har xil xos

qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o`zaro ortogonaldir.

Isbot. Haqiqatan ham, agar Ax = λx, Ay = µy, hamda λ − µ 6= 0

bo`lsa, u holda

λ(x, y) = (Ax, y) = (x, Ay) = (x, µy) = µ(x, y).

Bu yerdan (λ − µ) (x, y) = 0, ya'ni (x, y) = 0 . Demak, x⊥y.

∆

Endi quyidagi fundamental teoremani isbotlaymiz.

36.6-teorema (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o`z-o`ziga

qo`shma, chiziqli A operator berilgan bo`lib, {λ

n

}

- uning barcha nolmas xos

qiymatlari ketma-ketligi bo`lsin. U holda H fazoda shu xos qiymatlarga mos

keluvchi xos vektorlardan iborat shunday {φ

n

}

ortonormal sistema mavjudki,

har bir ξ ∈ H element yagona usulda

ξ =

X

k

c

k

φ

k

+ ξ

0

ko`rinishda tasvirlanadi, bu yerda ξ

0

vektor Aξ

0

= 0

shartni qanoatlantiradi.

386

Bu holda

Aξ =

X

k

λ

k

c

k

φ

k

.

Agar nolmas xos qiymatlar soni cheksiz bo`lsa, u holda

lim

n→∞

λ

n

= 0.

Bu asosiy teoremani isbotlash uchun bizga quyidagi yordamchi tasdiqlar

kerak bo`ladi.

36.4-lemma. A kompakt operator va {ξ

n

}

ketma-ketlik ξ elementga

kuchsiz yaqinlashsin, u holda

Q(ξ

n

) = (Aξ

n

, ξ

n

) → (Aξ, ξ) = Q(ξ).

Isbot. Ixtiyoriy n natural son uchun

|(Aξ

n

, ξ

n

) − (Aξ, ξ)| = |(Aξ

n

, ξ

n

) − (Aξ, ξ

n

) + (Aξ, ξ

n

) − (Aξ, ξ)| ≤

≤ |(Aξ

n

, ξ

n

) − (Aξ, ξ

n

)| + |(Aξ, ξ

n

) − (Aξ, ξ)| .

Ikkinchi tomondan,

|(Aξ

n

, ξ

n

) − (Aξ, ξ

n

)| = |(Aξ

n

− Aξ, ξ

n

)| ≤ k ξ

n

k · k A(ξ

n

− ξ)k

va

|(Aξ, ξ

n

) − (Aξ, ξ)| = |(Aξ, ξ

n

− ξ)| = |(ξ, A

∗

(ξ

n

− ξ))| ≤ k ξ k·k A

∗

(ξ

n

− ξ)k .

Ma'lumki, k ξ

n

k

sonlar ketma-ketligi chegaralangan va

lim

n→∞

(kA (ξ

n

− ξ)k + kA

∗

(ξ

n

− ξ)k) = 0,

bo`lganligi uchun, n → ∞ da

|(Aξ

n

, ξ

n

) − (Aξ, ξ)| → 0.

∆

36.5-lemma. A − o`z-o`ziga qo`shma chegaralangan operator va (Aξ, ξ) =

Q (ξ)

bo`lsin. Agar |Q (ξ)| funksional birlik sharning ξ

0

nuqtasida maksi-

mumga erishsa, u holda (ξ

0

, ζ) = 0

ekanligidan

(Aξ

0

, ζ) = (ξ

0

, Aζ) = 0

387

tengliklar kelib chiqadi.

Isbot. Ravshanki, ixtiyoriy ξ ∈ H uchun Q (ξ) = (Aξ, ξ) ∈ R. Agar

|Q (ξ)|

funksional birlik sharning ξ

0

nuqtasida maksimumga erishsa, u holda

kξ

0

k = 1.

Haqiqatan ham, agar kξ

0

k < 1

bo`lsa, u holda

¯

¯

¯

¯Q

µ

ξ

0

kξ

0

k

¶¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

µ

A

µ

ξ

0

kξ

0

k

¶

,

ξ

0

kξ

0

k

¶¯

¯

¯

¯ =

1

kξ

0

k

2

|(Aξ

0

, ξ

0

)| > |Q (ξ

0

)| .

Bu munosabat |Q (ξ

0

)|

ning maksimal qiymat ekanligiga zid. Endi ζ ∈ H

vektor ξ

0

ga ortogonal bo`lgan ixtiyoriy element bo`lsin. Bu element yordami-

da ξ elementni quyidagicha quramiz

ξ =

ξ

0

+ aζ

q

1 + |a|

2

· kζk

2

.

Bu yerda a − ixtiyoriy kompleks son. kξ

0

k = 1

ekanligidan kξk = 1 kelib

chiqadi.

Q (ξ) =

1

1 + |a|

2

· kζk

2

h

Q (ξ

0

) + 2Rea (Aξ

0

, ζ) + |a|

2

Q (ζ)

i

bo`lgani uchun, yetarlicha kichik a larda

Q (ξ) = Q (ξ

0

) + 2 Rea (Aξ

0

, ζ) + O(a

2

).

Oxirgi tenglikdan ko`rinib turibdiki, agar (Aξ

0

, ζ) 6= 0

bo`lsa, a ni shunday

tanlash mumkinki, |Q (ξ)| > |Q (ξ

0

)|

tengsizlik bajariladi. Bu esa |Q (ξ

0

)|

maksimal qiymat ekanligiga zid.

∆

36.6-lemma. Agar A− o`z-o`ziga qo`shma chegaralangan operator bo`lib,

|(Aξ, ξ)| = |Q (ξ)|

funksional birlik sharning ξ

0

nuqtasida maksimumga erish-

sa, u holda biror λ soni uchun Aξ

0

= λξ

0

tenglik o`rinli.

Isbot. 36.5-lemmaga ko`ra, ξ

0

vektorga ortogonal bo`lgan

M

⊥

0

:= {ξ ∈ H : (ξ

0

, ξ) = 0}

qism fazo A operatorga nisbatan invariant bo`ladi. A− o`z-o`ziga qo`shma

operator bo`lganligi uchun M

⊥

0

qism fazoga ortogonal bo`lgan, bir o`lchamli

388

M

0

= {ξ ∈ H : ξ = αξ

0

}

qism fazo ham A ga nisbatan (33.1-lemmaga qarang)

invariant bo`ladi. Bir o`lchamli fazoda har qanday chiziqli operator songa

ko`paytirish operatoridir. Demak, Aξ

0

= λξ

0

tenglik o`rinli.

∆

36.6-teoremaning isboti. Biz φ

k

elementlarni ularga mos keluvchi xos

qiymatlarning absolyut qiymatlari kamayib borishi tartibida induksiya bo`yi-

cha quramiz:

|λ

1

| ≥ |λ

2

| ≥ · · · ≥ |λ

n

| ≥ · · · .

φ

1

elementni qurish uchun |Q (ξ)| = |(Aξ, ξ)| funksionalni qaraymiz va uni

birlik sharda maksimumga erishishini isbotlaymiz.

S

1

= sup

kξk≤1

|(Aξ, ξ)|

va ξ

1

, ξ

2

, . . . −

ketma-ketlik uchun, kξ

n

k ≤ 1

va

lim

n→∞

|(Aξ

n

, ξ

n

)| = S

1

bo`lsin. Birlik shar H da kuchsiz kompakt bo`lganligi uchun {ξ

n

}

dan biror

ζ

elementga kuchsiz yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Bu

holda kζk ≤ 1 va 36.4-lemmaga ko`ra

| (Aζ, ζ)| = S

1

.

Biz ζ elementni φ

1

deb qabul qilamiz. 36.5-lemma isbotiga ko`ra kζk =

kφ

1

k = 1.

Bu holda 36.6-lemmaga ko`ra Aφ

1

= λ

1

φ

1

,

bu yerdan |λ

1

| =

|(Aφ

1

, φ

1

)| = S

1

.

Endi λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

xos qiymatlarga mos keluvchi φ

1

, φ

2

, . . . ,

φ

n

xos vektorlar qurilgan bo`lsin. |Q(ξ)| = |(Aξ, ξ)| funksionalni

M

⊥

n

= H ª M ({φ

k

}

n

k=1

)

qism fazoda qaraymiz. M

⊥

n

qism fazo A operatorga nisbatan invariant (chunki

M ({φ

k

}

n

k=1

)

invariant va A o`z-o`ziga qo`shma operator). |(Aξ, ξ)| funksional

389

φ

n+1

∈ M

⊥

n

da maksimumga erishsin. 36.6-lemmaga ko`ra u A operatorning

xos vektori bo`ladi, ya'ni Aφ

n+1

= λ

n+1

φ

n+1