M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

}

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, u

holda A ga kompakt operator deyiladi.

35.3-misol. Berilgan har bir n ∈ N uchun

A

n

: `

2

→ `

2

, A

n

x = (α

1

x

1

, α

2

x

2

, . . . , α

n

x

n

, 0, 0, . . .)

operatorning kompaktligini ko`rsating.

Yechish. A

n

operatorning kompakt ekanligini ko`rsatishda 35.2-teoremadan

foydalanamiz. Chunki A

n

chegaralangan operator va dim ImA

n

= n < ∞.

Haqiqatan ham,

kA

n

xk

2

=

n

X

k=1

|a

k

· x

k

|

2

≤ max

1≤k≤n

|a

k

|

2

·

n

X

k=1

|x

k

|

2

≤ max

1≤k≤n

|a

k

|

2

· k x k

2

.

Demak, A

n

chegaralangan va uning normasi uchun

kA

n

k ≤ max

1≤k≤n

|a

k

|

tengsizlik o`rinli. A

n

operatorning qiymatlar sohasi ImA

n

esa {e

1

, e

2

, . . . , e

n

}

vektorlar sistemasidan hosil bo`lgan qism fazo bilan ustma-ust tushadi. Shu-

376

ning uchun dim ImA

n

= n.

35.2-teoremaga ko`ra, A

n

kompakt operator

bo`ladi.

∆

35.4. L

p

[−π, π], p ≥ 1

fazoda quyidagi integral operatorning kompakt-

ligini ko`rsating.

(Af )(x) =

Z

π

−π

cos(x − y) f (y) dy.

Yechish. Dastlab A operatorning chegaralangan ekanligini ko`rsatamiz.

k Af k

p

=

Z

π

−π

¯

¯

¯

¯

Z

π

−π

cos(x − y) f (y) dy

¯

¯

¯

¯

p

dx ≤

≤

Z

π

−π

½Z

π

−π

| cos(x − y) |

q

dy

¾

p

q

dx

Z

π

−π

| f (y) |

p

dy.

Bu yerda biz Gyolder tengsizligidan foydalandik. p va q lar (19.16) shart

bilan bog`langan. Agar | cos(x − y) | ≤ 1 tengsizlikni e'tiborga olsak,

k Af k

p

≤ 2π · (2π)

p

q

k f k

p

=⇒ k Af k ≤ 2π · k f k

ga ega bo`lamiz. Bundan k A k ≤ 2π ekanligi kelib chiqadi.

Agar biz cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y ayniyatdan foydalansak,

(Af )(x) = cos x

π

Z

−π

cos y f (y) dy + sin x

π

Z

−π

sin y f (y) dy = α cos x + β sin x

tenglikka ega bo`lamiz. Bu yerda

α =

Z

π

−π

cos y f (y) dy,

β =

Z

π

−π

sin y f (y) dy.

Demak, ixtiyoriy g = Af element cos x va sin x larning chiziqli kombinat-

siyasi shaklida tasvirlanadi. Bundan dim ImA = 2 ekanligi kelib chiqadi.

Demak, 35.2-teoremaga ko`ra A operator kompakt bo`ladi.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

C

n

va `

2

fazolarda birlik shar nisbiy kompakt to`plam bo`ladimi?

377

2.

`

p

fazoda Ax = (x

1

, 2x

2

, 4x

3

, 0, . . .)

operatorning o`lchamini toping.

3.

`

2

fazodagi birlik sharning A : `

2

→ `

2

,

Ax =

¡

x

1

, 2

−1

x

2

, 3

−1

x

3

, 0, . . .

¢

akslantirishdagi tasvirining nisbiy kompakt to`plam bo`lishini ko`rsating.

4.

Chekli o`lchamli operatorlarga misollar keltiring.

36- §. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

Bu paragrafda biz kompakt operatorlar to`plamini chiziqli normalangan fa-

zo tashkil qilishini ko`rsatamiz. Agar X Banax fazosini Y Banax fazosiga

akslantiruvchi barcha kompakt operatorlar to`plamini K(X, Y ) orqali belgi-

laymiz va uni Banax fazosi bo`lishini isbotlaymiz.

36.1-lemma. Agar Y Banax fazosi bo`lsa, K(X, Y ) to`plam L(X, Y )

chiziqli normalangan fazoda chiziqli ko`pxillilik bo`ladi.

Isbot. Lemmani isbotlash uchun kompakt operatorlarning yig`indisi va

songa ko`paytmasi yana kompakt operator bo`lishini ko`rsatish yetarli. Faraz

qilaylik, A, B ∈ K(X, Y ) va {x

n

} ⊂ X

ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlik

bo`lsin. {(A + B) x

n

} ⊂ Y

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-

ketlik ajratish mumkinligini ko`rsatamiz. A kompakt operator bo`lgani uchun

{Ax

n

}

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi {Ax

n

k

}

qismiy ketma-ketlik ajratish

mumkin. B kompakt operator bo`lgani uchun {Bx

n

k

}

ketma-ketlikdan yaqin-

lashuvchi {Bx

n

kl

}

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Demak, {(A+B)x

n

kl

}

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`ladi. Bundan A + B operatorning kompakt

ekanligi kelib chiqadi (35.4-ta'rifga qarang). Kompakt operatorning songa ko`-

paytmasi yana kompakt operator bo`lishi shunga o`xshash ko`rsatiladi.

∆

Endi K(X, Y ) qism fazoning yopiqligini isbotlaymiz.

36.1-teorema. Agar Y Banax fazosi bo`lsa, u holda K(X, Y ) ham Ba-

nax fazosi bo`ladi.

378

Isbot. Faraz qilaylik, {A

n

} ⊂ K(X, Y )

ixtiyoriy fundamental ketma-

ketlik bo`lsin. A

n

∈ K(X, Y )

ekanligidan A

n

∈ L(X, Y )

ekanligi kelib chiqa-

di. L(X, Y ) fazoning to`laligidan (31.1-teoremaga qarang) {A

n

}

fundamen-

tal ketma-ketlikning biror A ∈ L(X, Y ) operatorga yaqinlashishi kelib chiqa-

di. Endi limitik operator A ning kompaktligini isbotlaymiz. Buning uchun

chegaralangan {x

n

} ⊂ X

ketma-ketlik qanday bo`lmasin, {Ax

n

} ⊂ Y

ketma-

ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinligini ko`rsatish

kifoya.

A

1

kompakt operator bo`lganligi uchun {A

1

x

n

}

ketma-ketlikdan yaqin-

lashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.

x

(1)

1

, x

(1)

2

, . . . , x

(1)

n

, . . .

(36.1)

qismiy ketma-ketlik shunday bo`lsinki,

n

A

1

x

(1)

n

o

ketma-ketlik yaqinlashuv-

chi bo`lsin. Endi

n

A

2

x

(1)

n

o

ketma-ketlikni qaraymiz. A

2

kompakt operator

bo`lganligi uchun shunday

n

x

(2)

n

o

⊂

n

x

(1)

n

o

qismiy ketma-ketlik ajratish

mumkinki,

n

A

2

x

(2)

n

o

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu holda

n

A

1

x

(2)

n

o

ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Yuqoridagidek mulohaza yurgizib,

n

x

(2)

n

o

ketma-ketlikdan shunday

n

x

(3)

n

o

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin-

ki, bunda

n

A

1

x

(3)

n

o

,

n

A

2

x

(3)

n

o

,

n

A

3

x

(3)

n

o

ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`-

ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz va

x

(1)

1

, x

(2)

2

, . . . , x

(n)

n

, . . .

(36.2)

diagonal ketma-ketlikni olamiz. Bu ketma-ketlikni A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

ope-

ratorlar yaqinlashuvchi ketma-ketliklarga o`tkazadi. (36.2) ketma-ketlikni A

operator ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o`tkazishini ko`rsatamiz. Y Ba-

nax fazosi bo`lganligi uchun

n

Ax

(n)

n

o

ketma-ketlikning fundamental ekanligini

ko`rsatish kifoya:

°

°

°Ax

(n)

n

− Ax

(m)

m

°

°

° =

°

°

°Ax

(n)

n

− A

k

x

(n)

n

+ A

k

x

(n)

n

− A

k

x

(m)

m

+ A

k

x

(m)

m

− Ax

(m)

m

°

°

° ≤

379

≤

°

°

°Ax

(n)

n

− A

k

x

(n)

n

°

°

° +

°

°

°A

k

x

(n)

n

− A

k

x

(m)

m

°

°

° +

°

°

°A

k

x

(m)

m

− Ax

(m)

m

°

°

° .

(36.3)

n

x

(n)

n

o

⊂ X

ketma-ketlik chegaralangan bo`lganligi uchun, shunday C > 0

mavjudki, ixtiyoriy n ∈ N da

°

°

°x

(n)

n

°

°

° ≤ C

bo`ladi. Ixtiyoriy ε > 0 son uchun

k ∈ N

sonni shunday tanlaymizki,

kA − A

k

k <

ε

3C

tengsizlik bajarilsin. Shunday n

0

soni mavjudki, barcha n, m > n

0

lar uchun

°

°

°A

k

x

(n)

n

− A

k

x

(m)

m

°

°

° <

ε

3

.

Bu shartlar bajarilganda (36.3) dan quyidagiga ega bo`lamiz

°

°

°Ax

(n)

n

− Ax

(m)

m

°

°

° <

ε

3C

C +

ε

3

+

ε

3C

C = ε .

Demak, n, m → ∞ da

°

°

°Ax

(n)

n

− Ax

(m)

m

°

°

° → 0.

Bu esa

n

Ax

(n)

n

o

ketma-

ketlikning fundamental ekanligini ko`rsatadi. Y to`la fazo bo`lganligi uchun u

yaqinlashuvchi. Demak, A − kompakt operator.

∆

36.1-natija. Agar {A

n

} ⊂ K(X, Y ) (Y −

Banax fazosi) ketma-ketlik

A

operatorga norma bo`yicha yaqinlashsa, u holda A ham kompakt operator

bo`ladi.

Natijaning isboti 36.1-teoremaning isbotidan bevosita kelib chiqadi.

36.2-teorema. Agar A ∈ K(X) va B ∈ L(X) (X− Banax fazosi)

bo`lsa, u holda AB va BA operatorlar ham kompakt operatorlar bo`ladi.

Isbot. Agar M ⊂ X to`plam chegaralangan bo`lsa, u holda B(M) ham

chegaralangan to`plam bo`ladi. A kompakt operator bo`lgani uchun A(B(M))

to`plam  nisbiy kompakt to`plamdir. Bu esa AB operatorning kompakt ekan-

ligini isbotlaydi.

Endi BA operatorning kompaktligini ko`rsatamiz. Buning uchun chega-

ralangan {x

n

} ⊂ X

ketma-ketlik qanday bo`lmasin, {BAx

n

} ⊂ X

ketma-

ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinligini ko`rsatish

380

yetarli. A kompakt operator bo`lgani uchun {Ax

n

}

ketma-ketlikdan yaqin-

lashuvchi {Ax

n

k

}

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. B operator uzluksiz

bo`lgani uchun {BAx

n

k

}

ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak,

BA

kompakt operator ekan.

∆

36.2-natija. X cheksiz o`lchamli Banax fazosi bo`lsin. U holda A ∈

K(X)

operatorning chegaralangan teskarisi mavjud emas.

Isbot. Teskaridan faraz qilaylik, ya'ni A

−1

mavjud va chegaralangan bo`l-

sin. U holda I = A

−1

A

birlik operator cheksiz o`lchamli X Banax fazosida

kompakt bo`lar edi, bu esa 35.1-natijaga zid. Bu qarama-qarshilik natijani

isbotlaydi.

∆

36.3-teorema. Kompakt operatorga qo`shma operator kompaktdir.

Isbot. Bizga X Banax fazosini o`zini-o`ziga akslantiruvchi A kompakt

operator berilgan bo`lsin. A ga qo`shma bo`lgan A

∗

operator X

∗

dagi har

qanday chegaralangan to`plamni nisbiy kompakt to`plamga akslantirishini ko`r-

satamiz. Normalangan fazodagi har qanday chegaralangan to`plam qandaydir

sharda saqlanadi, shuning uchun A

∗

operator X

∗

dagi birlik shar S

∗

ni (35.3-

ta'rifga qarang) nisbiy kompakt to`plamga o`tkazishini ko`rsatish yetarli.

X

∗

dagi uzluksiz funksionallarni X fazoda emas, faqat kompakt A(S)−

to`plamda aniqlangan funksional sifatida qaraymiz. Bu yerda S to`plam X

dagi birlik shar. Bu holda S

∗

dagi funksionallarga mos keluvchi funksiyalar

to`plami Φ tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo`ladi. Haqiqatan

ham, agar kϕk ≤ 1 bo`lsa, u holda

sup

x∈A(S)

|ϕ(x)| = sup

x∈A(S)

|ϕ(x)| ≤ k ϕ k · sup

x∈S

k Ax k ≤ k A k ,

| ϕ(x) − ϕ(y) | ≤ k ϕ k · k x − yk ≤ k x − yk .

Arsela teoremasiga ko`ra, Φ to`plam C

h

A(S)

i

fazoda nisbiy kompakt to`plam

bo`ladi. Uzluksiz funksiyalar fazosi C

h

A(S)

i

dagi Φ to`plam X

∗

fazodagi

381

A

∗

(S

∗

)

to`plamga izometrik bo`ladi. Haqiqatan ham, agar g

1

, g

2

∈ S

∗

bo`lsa,

u holda

kA

∗

g

1

− A

∗

g

2

k = sup

x∈S

|(A

∗

g

1

− A

∗

g

2

, x)| = sup

x∈S

|(g

1

− g

2

, Ax)| =

= sup

z∈A(S)

|(g

1

− g

2

, z)| = ρ(g

1

, g

2

).

Φ

nisbiy kompakt to`plam bo`lganligi uchun u to`la chegaralangan bo`ladi. O`z

navbatida, unga izometrik bo`lgan A

∗

(S

∗

)

to`plam ham to`la chegaralangan

bo`ladi. Demak, A

∗

(S

∗

)

- nisbiy kompakt to`plam.

∆

36.4-teorema. X Banax fazosida A kompakt operator va ixtiyoriy ρ > 0

son berilgan bo`lsin. A operatorning absolyut qiymati bo`yicha ρ dan katta

bo`lgan xos qiymatlariga mos keluvchi chiziqli erkli xos vektorlarining soni

cheklidir.

Isbot. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, A operatorning nolmas λ xos qiymati-

ga mos keluvchi xos vektorlaridan tashkil topgan X

λ

invariant qism fazo chek-

li o`lchamli bo`ladi. Haqiqatan ham, agar X

λ

= Ker(A − λI)

qism fazoning

o`lchami cheksiz bo`lganda edi, u holda A operator X

λ

qism fazoda va demak,

butun X da kompakt bo`lmas edi. Shu sababli, teoremaning isbotini yakun-

lash uchun, agar {λ

n

} −

kompakt A operatorning nolmas, har xil xos qiymat-

larining ixtiyoriy ketma-ketligi bo`lsa, u holda λ

n

→ 0

ekanligini ko`rsatish

yetarli. O`z navbatida λ

−1

n

ketma-ketlik chegaralangan bo`ladigan har xil λ

n

xos qiymatlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud emasligini ko`rsatish yetarli.

Faraz qilaylik, bunday ketma-ketlik mavjud bo`lsin va x

n

vektor λ

n

xos

qiymatga mos keluvchi xos vektor bo`lsin. Ma'lumki, x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .

vek-

torlar chiziqli erkli bo`ladi. X

n

bilan x

1

, x

2

, . . . , x

n

vektorlarning chiziqli qo-

big`ini belgilaymiz, ya'ni X

n

to`plam

y =

n

X