M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

deyiladi.

31.1-misol. A

n

: `

2

→ `

2

, A

n

x = (0, 0, . . . , 0

|

{z

}

n

, x

1

, x

2

, x

3

, . . .)

operatorlar ketma- ketligining kuchli va kuchsiz ma'noda nol operatorga yaqin-

lashishini tekshiring.

Yechish. `

2

Hilbert fazosi bo`lganligi uchun A

n

: `

2

→ `

2

operatorlar

ketma-ketligining kuchsiz ma'noda nol operatorga yaqinlashishini 31.4-ta'rifdan

foydalanib tekshiramiz. Ixtiyoriy y = (y

1

, y

2

, . . .) ∈ `

2

uchun

| (A

n

x, y) − (Θx, y) |

2

=

¯

¯

¯

¯

¯

∞

X

k=1

x

k

y

n+k

¯

¯

¯

¯

¯

2

≤ k x k

2

∞

X

k=n+1

| y

k

|

2

(31.1)

munosabat o`rinli. y ∈ `

2

bo`lganligi uchun

k y k

2

=

∞

X

k=1

| y

k

|

2

< ∞.

Shunday ekan yaqinlashuvchi qatorning qoldig`i

∞

X

k=n+1

| y

k

|

2

n → ∞

da nolga intiladi. Bundan (31.1) ga ko`ra, ixtiyoriy x, y ∈ `

2

larda

| (A

n

x, y) − (Θx, y) |

ning n → ∞ da nolga intilishi kelib chiqadi. Demak,

{A

n

}

operatorlar ketma-ketligi nol operator Θ ga kuchsiz ma'noda yaqin-

lashar ekan. {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli ma'noda

yaqinlashmaydi, chunki

lim

n→∞

k A

n

x − Θx k = lim

n→∞

k x k = k x k 6= 0.

∆

31.2. Quyida berilgan P

n

, Q

n

∈ L(`

2

)

operatorlar ketma-ketligining kuch-

li va tekis ma'noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini teksiring.

P

n

: `

2

→ `

2

, P

n

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

, 0, . . . , 0, . . .) ,

323

Q

n

= I − P

n

, Q

n

x = (0, . . . , 0, x

n+1

, x

n+2

, x

n+3

, . . .) .

Yechish. Ixtiyoriy x ∈ `

2

uchun

k Q

n

x k

2

=

∞

X

k=1

| x

n+k

|

2

→ 0, n → ∞.

Chunki x ∈ `

2

, ya'ni

k x k

2

=

∞

X

k=1

| x

k

|

2

< ∞ .

Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig`i

∞

X

k=1

| x

n+k

|

2

n → ∞

da nolga intiladi. Demak, {Q

n

}

operatorlar ketma-ketligi nol ope-

ratorga kuchli ma'noda yaqinlashar ekan. Bundan {P

n

= I − Q

n

}

operator-

lar ketma-ketligining birlik operator I ga kuchli ma'noda yaqinlashishi kelib

chiqadi. Endi {Q

n

}

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis ma'noda

yaqinlashadimi yoki yo`qmi, shuni tekshiramiz.

k Q

n

x k

2

=

∞

X

k=1

| x

n+k

|

2

≤ k x k

2

.

Bundan

kQ

n

k ≤ 1

(31.2)

ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan, Q

n

e

n+1

= e

n+1

. Bundan

k Q

n

k ≥ k Q

n

e

n+1

k = 1.

(31.3)

(31.2) va (31.3) dan ixtiyoriy n ∈ N uchun k Q

n

k = 1

ga kelamiz. Demak,

Q

n

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis (norma bo`yicha) yaqinlash-

maydi. Bu yerdan {P

n

}

operatorlar ketma-ketligi birlik operator I ga tekis

yaqinlashmasligi kelib chiqadi.

31.3. L

2

[−1/2, 1/2 ]

Hilbert fazosini o`zini-o`ziga akslantiruvchi va

(A

n

f ) = x

n

f (x)

324

formula bilan aniqlanuvchi A

n

operatorlar ketma-ketligining nol operatorga

tekis yaqinlashishini tekshiring.

Yechish. Ixtiyoriy f ∈ L

2

[−1/2, 1/2 ]

uchun

k A

n

f k

2

=

Z

1/2

−1/2

| x

n

f (x)|

2

dt ≤

≤

max

−1/2≤x≤1/2

¯

¯ x

2n

¯

¯

Z

1/2

−1/2

|f (x)|

2

dt ≤

1

2

2n

· k f k

2

.

(31.4)

Bundan kA

n

k ≤

1

2

2n

tengsizlikni olamiz. Agar biz 0 ≤ k A

n

k

ekanligini

hisobga olib, n → ∞ da limitga o`tsak,

lim

n→∞

k A

n

− Θk = 0.

Shunday ekan, A

n

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi.

Yuqorida kuchsiz yaqinlasuvchi operatorlar ketma-ketligi kuchli ma'noda

yaqinlashmasligiga (31.1-misol) va kuchli ma'noda yaqinlashuvchi operatorlar

ketma-ketligi norma bo`yicha yaqinlashmasligiga (31.2-misol) misol keltirildi.

Quyida biz tekis yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligining kuchli ma'noda

ham yaqinlashuvchi bo`lishini va kuchli ma'noda yaqinlashuvchi operatorlar

ketma-ketligining kuchsiz ma'noda ham yaqinlashuvchi bo`lishini isbotlaymiz.

31.1-lemma. Agar {A

n

} ⊂ L(X, Y )

operatorlar ketma-ketligi biror A ∈

L(X, Y )

operatorga tekis yaqinlashsa, u holda {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi

A

operatorga kuchli ma'noda ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isbot. Lemma shartiga ko`ra k A

n

− Ak → 0, n → ∞

. U holda ixtiyoriy

x ∈ X

uchun

k A

n

x − Axk ≤ k A

n

− Ak · k x k .

sonli tengsizlikka ega bo`lamiz. Matematik analizdan ma'lumki, tengsizliklarda

limitga o`tish mumkin. Bunga ko`ra,

0 ≤ lim

n→∞

k A

n

x − Axk ≤ lim

n→∞

k A

n

− Ak · k x k = 0.

325

Demak, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli ma'noda ham

yaqinlashar ekan.

∆

Shunga o`xshash quyidagi tasdiqni, bevosita ta'rifdan foydalanib isbotlash

mumkin.

31.2-lemma. Agar {A

n

} ⊂ L(X, Y )

operatorlar ketma-ketligi biror A ∈

L(X, Y )

operatorga kuchli ma'noda yaqinlashsa, u holda {A

n

}

operatorlar

ketma-ketligi A operatorga kuchsiz ma'noda ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isbot. Lemma shartiga ko`ra, ixtiyoriy x ∈ X uchun

lim

n→∞

k A

n

x − Axk = 0.

U holda ixtiyoriy x ∈ X va f ∈ Y

∗

uchun

0 ≤ | f (A

n

x) − f (Ax) | = | f (A

n

x − Ax)| ≤ k A

n

x − Axk · k f k

sonli tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu tengsizlikda n → ∞ da limitga o`tib,

0 ≤ lim

n→∞

| f (A

n

x) − f (Ax) | ≤ lim

n→∞

k A

n

x − Axk · k f k = 0

munosabatni olamiz. Demak, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi kuchsiz ma'noda

A

operatorga yaqinlashar ekan.

∆

31.1-teorema. Agar Y to`la fazo bo`lsa, u holda L(X, Y ) fazo ham to`la,

ya'ni Banax fazosi bo`ladi.

Isbot. {A

n

} ⊂ L(X, Y )

ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo`lsin, ya'ni

n, m → ∞

da k A

n

− A

m

k → 0

. U holda ixtiyoriy x ∈ X uchun

k A

n

x − A

m

xk ≤ k A

n

− A

m

k · k x k → 0, n, m → ∞.

Shuning uchun har bir x ∈ X da {A

n

x} ⊂ Y

ketma-ketlik fundamentaldir. Y

to`la fazo bo`lgani uchun {A

n

x}

ketma-ketlik biror y ∈ Y elementga yaqin-

lashadi. Demak, har bir x ∈ X ga {A

n

x}

ketma-ketlikning limiti bo`lgan

yagona y ∈ Y element mos qo`yilyapti. Bu moslikni A : X → Y orqali

326

belgilaymiz:

Ax = lim

n→∞

A

n

x = y.

Endi A ∈ L(X, Y ) ekanligini ko`rsatamiz. Chiziqliligi:

A (α

1

x

1

+ α

2

x

2

) = lim

n→∞

A

n

(α

1

x

1

+ α

2

x

2

) = lim

n→∞

(A

n

α

1

x

1

+ A

n

α

2

x

2

) =

= α

1

lim

n→∞

A

n

x

1

+ α

2

lim

n→∞

A

n

x

2

= α

1

y

1

+ α

2

y

2

= α

1

Ax

1

+ α

2

Ax

2

.

Endi A ning chegaralangan ekanligini ko`rsatamiz. Shartga ko`ra,

k A

n

− A

m

k → 0, n, m → ∞.

Demak, (29-Ÿning 6-topshirig`iga qarang)

| k A

n

k − kA

m

k | ≤ k A

n

− A

m

k → 0, n, m → ∞.

Bundan {kA

n

k}

sonli ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi. Haqiqiy

sonlar fazosi R to`la bo`lganligi uchun, {kA

n

k}

sonli ketma-ketlik yaqinlashuv-

chidir, yaqinlashuvchi ketma-ketlik esa chegaralangan bo`ladi. Ya'ni shunday

K > 0

son mavjudki, ixtiyoriy n ∈ N uchun kA

n

k ≤ K

tengsizlik bajariladi.

Norma ta'ridan

kA

n

xk ≤ kA

n

k · k x k ≤ K · k x k .

Bundan esa

kAxk =

°

°

° lim

n→∞

A

n

x

°

°

° = lim

n→∞

k A

n

x k ≤ K · k x k .

Bu yerda biz normaning uzluksizligidan foydalandik. Endi {A

n

}

ketma-ketlikni

chiziqli operatorlar fazosi L(X, Y ) da A ga yaqinlashishini ko`rsatamiz.

Ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday n

0

son mavjudki, barcha n > n

0

, p ∈

N

va k x k ≤ 1 lar uchun

k A

n+p

x − A

n

xk < ε

327

tengsizlik bajariladi. Agar so`nggi tengsizlikda p → ∞ da limitga o`tsak va

normaning uzluksizligidan foydalansak, ixtiyoriy n > n

0

va k x k ≤ 1 lar

uchun

k Ax − A

n

xk ≤ ε

tengsizlikka ega bo`lamiz. Shuning uchun ixtiyoriy n > n

0

da

k A − A

n

k = sup

k x k≤1

k Ax − A

n

xk ≤ ε

Demak, L(X, Y ) fazodagi norma ma'nosida lim

n→∞

kA − A

n

k = 0.

Shunday

qilib, L(X, Y ) to`la fazo ekan.

∆

31.1-natija. X chiziqli normalangan fazoga qo`shma bo`lgan X

∗

= L(X, C)

fazo Banax fazosidir.

Isbot. Kompleks sonlar to`plami C to`la fazo, shuning uchun 31.1-teoremaga

ko`ra, L(X, C) Banax fazosi bo`ladi.

∆

31.4-misol. L (C

2

[a, b], C[a, b])

fazoni to`lalikka tekshiring.

Yechish. Y = C[a, b] to`la fazo bo`lganligi uchun 31.1-teoremaga ko`ra,

L (C

2

[a, b], C[a, b])

to`la fazo, ya'ni Banax fazosi bo`ladi.

∆

31.5. L (C[a, b], C

2

[a, b])

fazo uchun 31.1-teorema sharti bajariladimi? U

to`lami?

Yechish. Y = C

2

[a, b]

fazo to`la bo`lmagan (21.8 -misolga qarang) nor-

malangan fazo bo`lganligi uchun 31.1-teorema sharti bajarilmaydi. Shuning

uchun biz L (C[a, b], C

2

[a, b])

fazoni to`la fazo deya olmaymiz. Aniqlik uchun

a = −1, b = 1

deymiz va L (C[a, b], C

2

[a, b])

fazoning to`la emasligini

ko`rsatamiz. Buning uchun C

2

[−1, 1]

fazoning to`la emasligini ko`rsatishda

qo`llanilgan (21.8-misol va 21.1-chizmaga qarang) uzluksiz funksiyalarning

f

n

(x) =



















−1, x ∈ [−1, −1/n],

nx, x ∈ (−1, −1/n)

1, x ∈ [1/n , 1]

(31.5)

328

ketma-ketligidan foydalanib, A

n

∈ L (C[−1, 1], C

2

[−1, 1]) , n ∈ N

operator-

lar ketma-ketligini quyidagicha quramiz:

(A

n

f ) (x) = f

n

(x) f (x).

(31.6)

A

n

operatorning chiziqli va uzluksizligi oson tekshiriladi. {A

n

}

operator-

lar ketma-ketligining L (C[−1, 1], C

2

[−1, 1])

fazoda fundamental ekanligini

ko`rsatamiz. Buning uchun k A

n

− A

m

k

normani hisoblaymiz:

k A

n

− A

m

k = sup

k f k≤1

k A

n

f − A

m

f k =

= sup

k f k≤1

sZ

1

−1

|f

n

(x) − f

m

(x)|

2

| f (x) |

2

dx.

(31.7)

(31.7) va k f k = max

−1≤x≤1

| f (x) | ≤ 1

ekanligidan foydalansak,

k A

n

− A

m

k ≤

sZ

1

−1

|f

n

(x) − f

m

(x)|

2

dx = k f

n

− f

m

k

C

2

[−1, 1]

(31.8)

tengsizlikni olamiz. {f

n

}

ketma-ketlikning C

2

[−1, 1]

fazoda fundamentalligi

21.8-misolda isbotlangan. (31.8) dan hamda {f

n

}

ketma-ketlikning fundamen-

talligidan {A

n

}

operatorlar ketma-ketligining fundamentalligi kelib chiqadi.

Lekin {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi L (C[−1, 1], C

2

[−1, 1])

fazoda yaqin-

lashuvchi emas. Teskaridan faraz qilaylik, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi biror

A ∈ L (C[−1, 1], C

2

[−1, 1])

operatorga yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy f ∈

C[a, b]

uchun lim

n→∞

k A

n

f − Af k = 0

tenglik o`rinli. Ikkinchi tomondan f

0

=

1

uchun

(A

n

f

0

) (x) = f

n

(x), n ∈ N

tenglik o`rinli va (Af

0

) (x) = g

0

(x)

deylik. 21.8-misolda {f

n

}

ketma-ketlikning

birorta ham uzluksiz funksiyaga C

2

[−1, 1]

fazo normasida yaqinlasha olmasli-

gi ko`rsatilgan edi, jumladan { A

n

f

0

= f

n

}

ketma-ketlik g

0

= Af

0

funksiya-

ga ham yaqinlasha olmaydi. Bu qarama-qarshilik { A

n

}

operatorlar ketma-

329

ketligining yaqinlashuvchi emasligini bildiradi. Demak, L (C[−1, 1], C

2

[−1, 1])

to`la bo`lmagan normalangan fazo ekan.

∆

Banax-Shteynxaus teoremasi yordamida ko`rsatish mumkinki, agar X va

Y