M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

253

26- § . Chiziqli normalangan fazolar

Chiziqli fazolarda elementlarning bir-biriga yaqinligi degan tushuncha yo`q.

Ko`plab amaliy masalalarni hal qilishda elementlarni qo`shish va ularni songa

ko`paytirish amallaridan tashqari, elementlar orasidagi masofa, ularning yaqin-

ligi tushunchasini kiritishga zarurat to`g`iladi. Bu bizni normalangan chiziqli

fazo tushunchasiga olib keladi. Normalangan fazolar nazariyasi S.Banax va

boshqa matematiklar tomonidan rivojlantirilgan.

26.1-ta'rif. L chiziqli fazo va unda aniqlangan p funksional berilgan

bo`lsin. Agar p quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi:

1) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ L; p(x) = 0 ⇐⇒ x = θ ;

2) p(ax) = |a| p(x), ∀α ∈ C, ∀x ∈ L;

3) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ L.

26.2-ta'rif. Norma kiritilgan L chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo

deyiladi va x ∈ L elementning normasi kxk orqali belgilanadi.

Agar L − normalangan fazoda x, y ∈ L elementlar jufti uchun

ρ (x, y) = kx − yk

sonni mos qo`ysak, ρ funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi

(19.1-ta'rifga qarang). Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shart-

laridan bevosita kelib chiqadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni

metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o`rinli bo`lgan barcha

tasdiqlar (ma'lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o`rinli.

X

chiziqli normalangan fazoda {x

n

}

ketma-ketlik berilgan bo`lsin.

26.3-ta'rif. Biror x ∈ X va ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday n

0

= n

0

(ε) >

0

mavjud bo`lib, barcha n > n

0

larda kx

n

− xk < ε

tengsizlik bajarilsa, {x

n

}

ketma-ketlik x ∈ X elementga yaqinlashadi deyiladi.

26.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday n

0

= n

0

(ε) > 0

254

mavjud bo`lib, barcha n > n

0

va p ∈ N larda kx

n+p

− x

n

k < ε

tengsizlik

bajarilsa, {x

n

}

ketma-ketlik fundamental deyiladi.

26.3 va 26.4 ta'riarni 20.6 va 21.1 ta'riar bilan taqqoslang.

26.5-ta'rif. Agar X chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy {x

n

}

funda-

mental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda X to`la normalangan fazo

yoki Banax fazosi deyiladi.

Bu ta'rifni quyidagicha aytish mumkin: agar (X, ρ) , ρ (x, y) = kx − yk

metrik fazo to`la bo`lsa, u holda X to`la normalangan fazo deyiladi.

Chiziqli normalangan fazolarga misollar keltiramiz.

26.1-misol. L = R − haqiqiy sonlar to`plami. Agar ixtiyoriy x ∈ R soni

uchun kxk = |x| sonni mos qo`ysak, R normalangan fazoga aylanadi.

26.2. L = C kompleks sonlar to`plami. Bu yerda ham norma yuqoridagidek

kiritiladi: kzk = |z| .

26.3. L = R

n

− n

o`lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda

kxk =

v

u

u

t

n

X

k=1

x

2

k

,

kxk

p

=

Ã

n

X

k=1

|x

k

|

p

!

1

p

,

kxk

∞

= max

1≤k≤n

|x

k

| , x ∈ R

n

funksionallar norma shartlarini qanoatlantiradi. R

n

chiziqli fazoda k•k

p

nor-

ma kiritilgan bo`lsa, uni R

n

p

, agar k•k

∞

norma kiritilgan bo`lsa, uni R

n

∞

deb

belgilaymiz (19.3-19.5, 19.11-misollar bilan taqqoslang).

26.4. L = C

n

− n

o`lchamli kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda

kzk =

v

u

u

t

n

X

k=1

|z

k

|

2

funksional norma shartlarini qanoatlantiradi.

26.5. C[a, b] − [a, b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi.

Bu fazoda f ∈ C[a, b] elementning normasi (19.6-misol bilan taqqoslang)

kf k = max

a≤x≤b

|f (x) | ,

255

tenglik bilan aniqlanadi. Xuddi 26.3-misoldagidek C[a, b] chiziqli fazoda nor-

ma

kf k

1

=

Z

b

a

|f (t)| dt

formula vositasida kiritilgan bo`lsa, uni C

1

[a, b]

(19.9-misol), agar norma

kf k

2

=

s

Z

b

a

|f (t)|

2

dt

tenglik orqali kiritilgan bo`lsa uni C

2

[a, b]

(19.8-misolga qarang) deb belgi-

laymiz.

Quyida biz chiziqli fazo va unda kiritilgan normalarni beramiz.

26.6. `

2

fazoda x elementning normasi quyidagicha kiritiladi:

kxk =

v

u

u

t

∞

X

k=1

x

2

k

.

26.7. c

0

, c, m

fazolarda x elementning normasi quyidagicha kiritiladi:

kxk = sup

1≤n<∞

|x

n

| .

`

2

, c

0

, c

va m fazolarning aniqlanishi 23.5-23.8 misollarda keltirilgan.

26.8. M[a, b] − bilan [a, b] kesmada aniqlangan barcha chegaralangan

funksiyalar to`plamini belgilaymiz. Bu to`plam odatdagi funksiyalarni qo`shish

(23.3)va songa ko`paytirish ((23.4)ga qarang)amallariga nisbatan chiziqli fazo

tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan

p (x) = sup

a≤t≤b

|x (t)| ,

x ∈ M [a, b]

(26.1)

funksional norma shartlarini qanoatlantiradi va M[a, b] chiziqli normalangan

fazo bo`ladi.

26.9. C

(n)

[a, b]−

bilan [a, b] kesmada aniqlangan n marta uzluksiz die-

rensiallanuvchi funksiyalar to`plamini belgilaymiz. C

(n)

[a, b]

to`plam odatda-

gi funksiyalarni qo`shish va songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo

256

tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan

p (x) = max

a≤t≤b

|x (t)| +

n

X

k=1

max

a≤t≤b

¯

¯

¯x

(k)

(t)

¯

¯

¯ , x ∈ C

(n)

[a, b]

(26.2)

funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi.

26.10. [a, b] kesmada aniqlangan o`zgarishi chegaralangan funksiyalar fa-

zosi V [a, b] (23.11-misolga qarang) ni qaraymiz. Bu fazoda

p : V [a, b] → R , p (x) = |x(a)| + V

b

a

[x]

(26.3)

funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi va V [a, b] chiziqli norma-

langan fazo bo`ladi.

Endi Banax fazolariga misollar keltiramiz.

26.11. R

n

, R

n

p

, C[a, b], `

p

, p ≥ 1, c, c

0

fazolarni to`lalikka tekshiring.

Yechish. To`la metrik fazolar (21-paragraf) mavzusidan ma'lumki R

n

, R

n

p

,

C[a, b], `

p

, p ≥ 1 , c , c

0

lar (21.3-21.7 misollarga qarang) to`la metrik

fazolar edi. Shuning uchun ular to`la normalangan fazolar, ya'ni Banax fazolari

bo`ladi.

∆

26.12. C

2

[a, b]

to`la bo`lmagan (21.8-misolga qarang) metrik fazo edi.

Shuning uchun C

2

[a, b]

to`la bo`lmagan normalangan fazoga misol bo`ladi.

26.1. Normalangan fazoning qism fazosi

Biz yuqorida chiziqli fazoning qism fazosi tushunchasini kiritgan edik, ya'ni

agar ixtiyoriy x, y ∈ L

0

elementlar va ixtiyoriy α, β sonlar uchun α x+β y ∈

L

0

bo`lsa, bo`sh bo`lmagan L

0

⊂ L

qism to`plam, qism fazo deyilar edi.

Normalangan fazolarda yopiq qism fazolar, ya'ni barcha limitik nuqtalarini

o`zida saqlovchi qism fazolar muhim ahamiyatga ega. Chekli o`lchamli nor-

malangan fazolarda har qanday qism fazo yopiqdir. Cheksiz o`lchamli nor-

malangan fazolarda qism fazolar doim yopiq bo`lavermaydi. Quyida keltiri-

ladigan misol krimizni tasdiqlaydi.

257

26.13. Uzluksiz funksiyalar fazosi C[a, b] dagi barcha ko`phadlar to`plami

qism fazo tashkil qiladi, lekin u yopiq emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun

P

n

(t) = 1 + t +

t

2

2!

+ · · · +

t

n

n!

ko`phadlar ketma-ketligini qaraymiz. Ravshanki, {P

n

}

fundamental ketma-

ketlik bo`lib, uning limiti x(t) = e

t

ga teng. x(t) = e

t

funksiya esa ko`phad

emas.

Normalangan fazolarda asosan yopiq chiziqli qism fazolarni qaraymiz. Shu-

ning uchun 23-Ÿda kiritilgan qism fazo atamasiga o`zgartirish kiritish tabiiydir.

26.6-ta'rif. Agar L normalangan fazoning L

0

⊂ L

qism to`plamida ix-

tiyoriy x, y ∈ L

0

elementlar va ixtiyoriy α, β sonlar uchun αx + βy ∈ L

0

bo`lsa L

0

chiziqli ko`pxillilik deyiladi. Agar L

0

⊂ L

qism to`plam yopiq chi-

ziqli ko`pxillilik bo`lsa, L

0

qism to`plam L ning qism fazosi deyiladi.

26.14. Uzluksiz funksiyalar fazosi C[−1 , 1] dagi barcha toq funksiyalar

to`plami C

−

[−1 , 1]

(23-Ÿning 4-chi topshirig`iga qarang) chiziqli ko`pxillilik

tashkil qiladi va u yopiq. Haqiqatan ham, { x

n

}

toq funksiyalar ketma-ketligi

biror x ∈ C[−1 , 1] elementga yaqinlashsin. U holda

x (−t) = lim

n→∞

x

n

(−t) = lim

n→∞

(−x

n

(t)) = − lim

n→∞

x

n

(t) = −x (t) .

26.15. [a, b] kesmada aniqlangan va x(a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi

o`zgarishi chegaralangan funksiyalar to`plamini V

0

[a, b]

bilan belgilaymiz.

Ma'lumki, V

0

[a, b]

to`plam V [a, b] fazoning (23.15-misolga qarang) qism

fazosi, ya'ni yopiq chiziqli ko`pxillilik bo`ladi. Bu fazoda ham x elementning

normasi (26.3) tenglik bilan aniqlanadi. (26.3) tenglik V

0

[a, b]

fazoda quyidagi

ko`rinishga ega bo`ladi:

kxk = V

b

a

[x]

(26.4)

va u norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, V

0

[a, b]

to`plam chiziqli

normalangan fazo bo`ladi.

258

26.16. [a, b] kesmada aniqlangan va x(a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi

absolyut uzluksiz funksiyalar to`plamini AC

0

[a, b]

bilan belgilaymiz. Ma'lum-

ki, AC

0

[a, b]

to`plam V

0

[a, b]

fazoning (26.15-misolga qarang) qism fazosi

bo`ladi. Shuning uchun bu fazoda ham x elementning normasi (26.4) tenglik

bilan aniqlanadi va AC

0

[a, b]

to`plam chiziqli normalangan fazo hosil qiladi.

26.2. Normalangan fazoning faktor fazosi

Bizga L normalangan fazo va uning L

0

⊂ L

qism fazosi berilgan bo`lsin.

P = L/L

0

faktor fazoni qaraymiz va unda normani quyidagicha aniqlaymiz.

Har bir ξ ∈ P qo`shni sinfga

k ξ k = inf

x∈ξ

k x k

(26.5)

sonni mos qo`ysak, bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. De-

mak, L/L

0

faktor fazo ham normalangan fazo bo`lar ekan.

Agar L to`la normalangan fazo bo`lsa, L/L

0

faktor fazo ham (26.5) nor-

maga nisbatan to`la fazo bo`ladi [1].

26.17-misol. Faktor fazoga misol keltirishni tushunish nisbatan osonroq

bo`lgan R

3

fazodan boshlaymiz. L = R

3

fazoning xos qism fazosi L

0

=

©

(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

: x

3

= 0

ª

ni qaraymiz va L/L

0

faktor fazoning element-

larini, ya'ni qo`shni sinarning tavsini beramiz. Ma'lumki,

x − y = (x

1

− x

2

, x

2

− y

2

, x

3

− y

3

) ∈ L

0

bo`lishi uchun x

3

= y

3

bo`lishi zarur va yetarli. Demak, L/L

0

faktor fazoning

elementlari Ox

1

x

2

tekislikka parallel bo`lgan tekisliklardan iborat. Masalan,

(a, b, c) ∈ R

3

nuqtani o`zida saqlovchi ξ qo`shni sinf Ox

1

x

2

tekisligiga paral-

lel bo`lgan x

3

= c

tekislikdan iborat. Bu faktor fazoda ξ elementning normasi

p(ξ) = inf

x∈ξ

q

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

= inf

x

1

,x

2

∈R

q

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

= |x

3

|

tenglik bilan aniqlanadi. Bu faktor fazoning o`lchami 1 ga teng va u to`la

normalangan fazo.

259

26.18. L

p

[a, b]

faktor fazoni (23.18-misolga qarang) qaraymiz. Agar L

p

[a, b]

dan olingan har bir ξ qo`shni sinfga uning ixtiyoriy f ∈ ξ vakili yordamida

aniqlanuvchi va vakilning tanlanishiga bog`liq bo`lmagan

kξk = inf

f ∈ξ

µZ

b

a

|f (t)|

p

dt

¶

1

p

= kf k

(26.6)

sonni mos qo`ysak, bu funksional norma shartlarini qanoatlantiradi. Demak,

L

p

[a, b] , p ≥ 1

chiziqli normalangan fazo bo`ladi. Bu fazo [a, b] kesmada

aniqlangan va p − chi darajasi bilan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi ekvi-

valent funksiyalar fazosi deyiladi. Barcha p ≥ 1 larda L

p

[a, b]

fazo to`la

normalangan fazo, ya'ni Banax fazosi bo`ladi [1].

26.19. O`zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a, b] ni (26.10-misol-

ga qarang) qaraymiz. Unda o`zgarmas funksiyalardan iborat L

0

= {x ∈

V [a, b] : x(t) = const}

bir o`lchamli qism fazoni olamiz. Endi V [a, b]

chiziqli fazoning L

0

qism fazo bo`yicha faktor fazosini qaraymiz. Faktor fazo

ta'riga ko`ra x, y ∈ V [a, b] elementlar bitta qo`shni sinfda yotishi uchun

x(t) − y(t) ≡ const

bo`lishi zarur va yetarli. Boshqacha aytganda y ∈ V [a, b]

element x elementni saqlovchi ξ qo`shni sinfda yotishi uchun y(t) ≡ x(t) −

C , C = const

ko`rinishda tasvirlanishi zarur va yetarli. Ma'lumki, har qan-

day faktor fazoda ξ elementning normasi quyidagicha aniqlanadi:

kξk = inf

y∈ξ

kyk = inf

C∈R

¡

|x(a) − C| + V

b

a

[x − C]

¢

.

(26.7)

O`zgarishi chegaralangan funksiyalar xossalaridan ma'lumki, istalgan C o`z-

garmas uchun

V

b

a

[x − C] = V

b

a

[x]

tenglik o`rinli. |x(a) − C| ning aniq quyi chegarasi esa nolga teng. Bulardan

foydalanib, (26.7) ni quyidagicha yozish mumkin:

kξk = V

b

a

[x], x ∈ ξ va x(a) = 0.

(26.8)

260

Shunday qilib ξ qo`shni sinfga, shu sinfning a nuqtada nolga aylanuvchi

x

elementini mos qo`yish bilan V [a, b]/L

0

faktor fazo va V

0

[a, b]

(26.15-

misolga qarang) fazolar o`rtasida izomorzm o`rnatiladi. Demak, V [a, b]/L

0

va V

0

[a, b]

fazolar o`zaro izomorf ekan.

26.20. 25.6-misolda keltirilgan

L

0

= { x ∈ C[−1, 1] : suppx ⊂ [0, 1] }

qism fazoni qaraymiz. L

0

yopiq qism fazo bo`ladi (mustaqil isbotlang).

C[−1, 1]/L

0

faktor fazoda ξ elementning normasi quyidagicha aniqlanadi:

k ξ k = inf

x∈ξ

max

t∈[−1,1]

| x (t) | = max

t∈[−1,0]

| x (t) | .

(26.9)

C[−1, 1]

Banax fazosi bo`lganligi uchun, C[−1, 1]/L

0

faktor fazo ham Ba-

nax fazosi bo`ladi.

26.21. Shuni ta'kidlash lozimki, L

p

[a, b]

, p ≥ 1 fazolar to`la normalan-

gan fazolar, ya'ni Banax fazolari bo`ladi. Ma'lumki, har qanday normalangan

fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Agar biz C

p

[a, b], p ≥ 1

to`la

bo`lmagan metrik fazoni to`ldirsak, uning to`ldirmasi L

p

[a, b], p ≥ 1

fazo

bo`ladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

R

n

, R

n

p

, C[a, b], `

p

, c, c

0

fazolarda norma qanday kiritiladi?

2.

L = R

2

fazoning L

0

=

©

(x

1

, x

2

) ∈ R

2

: x

2

= 0

ª

xos qism fazosi bo`yicha

L/L

0

faktor fazoning elementlarini tavsiang. (2,3) nuqtani saqlovchi

qo`shni sinfning normasini toping. x

2

= 3

to`g`ri chiziq L/L

0

faktor

fazoning elementi bo`ladimi?

3.

M[a, b]

fazoda (26.1) tenglik bilan aniqlangan p : M[a, b] → R funk-

sionalning norma shartlarini qanoatlantirishini ko`rsating.