M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
|
Shunday ekan, musbat M son mavjud bo`lib, barcha x, y ∈ [a, b] uchun
tengsizlik bajariladi. To`la C[a, b] fazoni o`zini-o`ziga g(x) = λ Z
a K(x, y) f (y) dy + ϕ(x) (22.6) formula vositasida akslantiruvchi g = Af akslantirish berilgan bo`lsin. U holda
ρ (g 1
2 ) = max
a≤x≤b |g 1 (x) − g 2 (x) | ≤ | λ | M (b − a) · max a≤x≤b |f 1 (x) − f 2 (x) | 222
yoki ρ (Af 1
2 ) ≤ |λ| M (b − a) · ρ (f 1 , f 2 ) . Shunday ekan, |λ| < 1
(22.7) bo`lganda A qisuvchi akslantirish bo`ladi. Qisuvchi akslantirishlar prinsipiga asoslanib xulosa qilamizki, (22.7) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy λ da (22.5) Fredholm tenglamasi yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechimga intiluvchi ketma-ket yaqinlashishlar f 0
1
(x) = λ Z
(y) dy + ϕ(x) ko`rinishga ega, bu yerda f 0 sifatida ixtiyoriy uzluksiz funksiyani olish mumkin. Chiziqlimas integral tenglamalar. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining f (x) = λ Z
a K(x, y; f (y)) dy + ϕ(x) ko`rinishdagi chiziqlimas integral tenglamalarga tadbiqini qaraymiz. Bu yer- da K va ϕ funksiyalar uzluksiz bo`lib, bundan tashqari K o`zining 3 - chi funksional argumenti bo`yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin, ya'ni shunday L > 0 mavjud bo`lib, |K(x, y; z 1 ) − K(x, y; z 2 )| ≤ L |z 1
2
tengsizlik barcha x, y ∈ [a, b] va z 1
2 lar uchun o`rinli bo`lsin. Bu holda C[a, b] fazoni o`zini-o`ziga g(x) = λ Z
a K(x, y ; f (y)) dy + ϕ(x) formula vositasida akslantiruvchi g = Af akslantirish uchun max
1 (x) − g 2 (x) | ≤ | λ | L (b − a) · max a≤x≤b | f 1 (x) − f 2 (x) | 223
tengsizlik o`rinli bo`ladi, bu yerda g 1 = Af 1 , g 2 = Af 2 . Shunday ekan, | λ | < 1
shartda A akslantirish qisuvchi bo`ladi. Volterra tenglamasi. Endi Volterra tipidagi f (x) = λ Z
a K(x, y) f (y) dy + ϕ(x) (22.8) tenglamani qaraymiz. Agar y > x da K(x, y) = 0 desak, (22.8) Volterra tenglamasi (22.5) ko`rinishdagi ikkinchi tur Fredholm tenglamasiga keladi. Biroq Fredholm integral tenglamasi holida biz λ parametrning kichik qiy- matlari bilan chegaralanishga majburmiz. Volterra tenglamasi holida qisuvchi akslantirishlar prinsipi (va ketma-ket yaqinlashishlar usuli) ni λ ning barcha qiymatlarida qo`llash mumkin. Aniqrog`i, qisuvchi akslantirishlar prinsipining quyidagi umumlashmasi o`rinli. 22.2-teorema. X to`la metrik fazoni o`zini-o`ziga akslantiruvchi A uzluk- siz akslantirish uchun biror n da B = A
qisuvchi akslantirish bo`lsin. U holda Ax = x tenglama yagona yechimga ega bo`ladi. Isbot. x ∈ X nuqta B akslantirishning qo`zg`almas nuqtasi bo`lsin, ya'ni Bx = x . U holda B qisuvchi akslantirishga ketma-ket yaqinlashishlar usulini qo`llasak,
= B k Ax = B k x 0
Chunki ixtiyoriy x 0
xususiy holda x 0 = Ax uchun, Bx 0
2
0
B k x 0
ketma-ketlik x qo`zg`almas nuqtaga yaqinlashadi. Shunday ekan,
. Bu x nuqta yagona, chunki A uchun qo`zg`almas bo`lgan x nuqta B = A n uchun ham qo`zg`almas nuqtadir, B esa yagona qo`zg`almas nuqtaga ega. ∆
22.2. C[a, b] fazoni o`zini-o`ziga akslantiruvchi va (Af )(x) = λ Z
(22.9) formula bilan aniqlangan A akslantirishning biror darajasi qisuvchi ekanligini ko`rsating. Yechish. [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan f 1 va f 2 funksiyalarni olamiz. U holda
1 ) (x) − (Af 2 ) (x) | = | λ | · ¯ ¯
x a K(x, y) (f 1 (y) − f 2 (y)) dy ¯ ¯ ≤ ≤ | λ | · M(x − a) · max a≤x≤b |f 1 (x) − f 2 (x) | . Bu yerda M = max
Olingan tengsizlikdan kelib chiqadiki, ¯ ¯
A 2
1 ¢
¡ A 2
2 ¢
¯ ¯ = | λ | 2
2
(x − a) 2 2 · max a≤x≤b |f 1 (x) − f 2 (x) | . Umuman,
1 ) (x) − (A n f 2 ) (x) | = | λ | n · M n · (x − a) n n ! · max a≤x≤b |f 1 (x) − f 2 (x) | = = | λ |
(x − a) n n ! · ρ (f 1
2 ) . Ixtiyoriy λ uchun n nomerni shunday tanlash mumkinki, | λ | n · M n · (b − a) n n ! < 1 tengsizlik bajariladi. U holda B = A n akslantirish qisuvchi bo`ladi. ∆ Shuning uchun, yuqoridagi tasdiqqa asosan (22.8) Volterra tenglamasi har qanday λ da yagona yechimga ega. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Qisuvchi akslantirish prinsipining umumlashmasini ayting. 2. R
fazoni o`zini-o`ziga akslantiriuvchi y = Ax + b akslantirishning qisuvchilik shartlarini toping. 3.
fazoda (22.9) tenglik bilan aniqlangan akslantirishning qisuvchi- lik shartlarini keltiring. 225
VII bob. Chiziqli fazolar Bu bobda biz chiziqli fazolar, chiziqli normalangan fazolar, Evklid fazolari va Hilbert fazolarining xossalarini o`rganamiz. Bu bob 6 (23-28) paragrafdan iborat.
23- da chiziqli fazo ta'ri anib, ularga ko`plab misollar keltirilgan. Chiziqli fazo o`lchami ta'ri anib, chekli va cheksiz o`lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosi tushunchalari bayon qilingan. Faktor fazoda elementlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari kiritilgan va faktor fazoning chiziqli fazo tashkil qilishi ko`rsatilgan. 24- da chiziqli funksionallar, ularning xossalari qarab chiqilgan. Chiziqli funksional- ning geometrik ma'nosi ochib berilgan. Chiziqli funksionallar va gipertekislik- lar o`rtasida biyektiv moslik o`rnatilgan. 25- qavariq to`plamlar va qavariq funksionallarning xossalarini tahlil qilishga bag`ishlangan. Qavariq jism va qavariq funksionallar orasidagi bog`lanish ochib berilgan. Chiziqli funksion- alni davom ettirish haqidagi Xan-Banax teoremasi va Xan-Banax teoremasin- ing kompleks varianti isbotlangan. Chiziqli normalangan fazolar mavzusi 26- da keltirilgan. Bu paragrafda chiziqli normalangan fazolarga ko`plab misollar qaralgan. Normalangan fazolardagi tushunchalar metrik fazolardagi tushun- chalar bilan taqqoslangan. Normalangan fazoning qism fazosi va faktor fa- zosiga misollar qaralgan. Navbatdagi 27- Evklid fazolariga bag`ishlangan. Evklid fazolarining xarakteristik xossalari ochib berilgan. KoshiBunyakovskiy tengsizligi, Bessel tengsizligi, Parseval tengliklari isbotlangan. Nomdor teore- malar - RissFisher, Shmidtning ortogonallashtirish jarayoni haqidagi teore- malar isboti bilan berilgan. Ortogonal, ortonormal sistemalarga misollar qa- ralgan. Separabel Evklid fazolarida to`la ortonormal sistema va yopiq ortonor- mal sistemalarning ekvivalentligi isbotlangan. Normalangan fazo Evklid fazo bo`lishining zarur va yetarli sharti keltirilgan. 226
Oxirgi 28- Hilbert fazolariga bag`ishlangan. Barcha separabel Hilbert fa- zolari o`zaro izomor igi isbotlangan. Hilbert fazolarining qism fazosi, qism fa- zoning ortogonal to`ldiruvchisi, ortogonal qism fazolarning to`g`ri yig`indilari qaralgan. Xuddi shunday Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indilari ta'ri angan. Paragraf so`ngida haqiqiy va kompleks Evklid fazolaridagi skalyar ko`paytma- lardagi tafovutlar tahlil qilingan. 23- § . Chiziqli fazolar va ularga misollar Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Yuqoridagi belgilashlarga amal qilgan holda C bilan kompleks sonlar, R bilan haqiqiy sonlar to`plamini belgilaymiz. 23.1-ta'rif. Agar elementlari x, y, z, . . . bo`lgan L to`plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo`lsa: I. Ixtiyoriy ikkita x, y ∈ L elementlarga ularning yig`indisi deb ataluv- chi aniq bir x + y ∈ L element mos qo`yilgan bo`lib, ixtiyoriy x, y, z ∈ L elementlar uchun 1) x + y = y + x (kommutativlik), 2) x + (y + z) = (x + y) + z (assotsiativlik), 3) L da shunday θ element mavjud bo`lib, x + θ = x (nolning mavjudligi), 4) shunday −x ∈ L element mavjud bo`lib, x + ( − x) = θ (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa; II. ixtiyoriy x ∈ L element va ixtiyoriy α son ( α ∈ R yoki α ∈ C ) uchun x elementning α songa ko`paytmasi deb ataluvchi aniq bir α x ∈ L element mos qo`yilgan bo`lib, ixtiyoriy x, y ∈ L va ixtiyoriy α, β sonlar uchun
5) α(β x) = (α β)x, 6) 1 · x = x, 7) (α + β) x = α x + β x , 227
8) α (x + y) = α x + α y aksiomalar bajarilsa, u holda L to`plamga chiziqli fazo yoki vektor fazo deyiladi. Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig`indi va songa ko`paytirish amallari deyiladi. Ta'rifda foydalanilgan sonlar zahirasiga (haqiqiy sonlar R yoki kompleks sonlar C ) bog`liq holda chiziqli fazo haqiqiy yoki kompleks chiziqli fazo deyiladi. Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz. 23.1-misol. L = R haqiqiy sonlar to`plami odatdagi qo`shish va ko`payti- rish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. L = C kompleks sonlar to`plami ham kompleks sonlarni qo`shish va ko`paytirish amallariga nis- batan kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.2. L = R n ≡ {x = (x 1
2
), x i ∈ R , i = 1, 2, . . . , n} . Bu yer- da elementlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari quyidagicha aniqlana- di. Ixtiyoriy x = (x 1
2
n ) va y = (y 1 , y 2
n ) ∈ R n lar uchun x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n ) , (23.1)
1
2
) . (23.2) R
− to`plam (23.1) va (23.2) tengliklar bilan aniqlangan qo`shish va songa ko`paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi va u n− o`l- chamli haqiqiy chiziqli fazo deyiladi. 23.3. L = C
1
2
), z k ∈ C , k = 1, 2, . . . , n} . Bu yer- da ham elementlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari (23.1) va (23.2) tengliklar ko`rinishida aniqlanadi. C n − to`plam kompleks chiziqli fazo bo`ladi va u n− o`lchamli kompleks chiziqli fazo deyiladi. 23.4. L = C[a, b] − [a, b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to`plami. Funksiyalarni qo`shish va funksiyani songa ko`paytirish amallari mos ravishda
(f + g) (x) = f (x) + g(x) (23.3) 228
va (α f ) (x) = α f (x) (23.4) ko`rinishda aniqlanadi. (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlangan qo`shish va songa ko`paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, C[a, b] to`plam chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.5. ` 2 = ½ x = (x 1
2
P
|x n | 2
¾ kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar to`plami. Bu yerda elementlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi: x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n , . . .) , (23.5) αx = α(x 1
2
1
2
(23.6) Yig`indi x + y ∈ ` 2 ekanligi | a + b | 2 ≤ 2 |a| 2 + 2| b| 2 tengsizlikdan ke- lib chiqadi. (23.5) va (23.6) tengliklar bilan aniqlangan qo`shish va songa ko`paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. De- mak, ` 2 to`plam kompleks chiziqli fazo bo`ladi. 23.6. c 0 = { x = (x 1 , x 2
n , . . .) : lim n→∞ x n = 0 }− nolga yaqinlashuv- chi ketma-ketliklar to`plami. Bu to`plamda ham qo`shish va songa ko`paytirish amallari (23.5) va (23.6) tengliklar ko`rinishida aniqlanadi va ular chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, c 0 to`plam chiziqli fazo bo`ladi. 23.7. c = n
1
2
= a o - yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to`plami. Bu to`plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo`shish va songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.8. L = m− barcha chegaralangan ketma-ketliklar to`plami. Bu to`plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo`shish va songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Endi IV va V bobda xossalari o`rganilgan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar va o`zgarishi chegaralangan funksiyalar to`plamini qaraymiz. 229
23.9. Berilgan [a, b] kesmada Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiya- lar to`plamini ˜L 1 [a, b] bilan belgilaymiz. Bu to`plamda elementlarni qo`shish va elementni songa ko`paytirish amallari (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniq- lanadi. ˜L 1 [a, b] to`plam funksiyalarni qo`shish va songa ko`paytirish amal- lariga nisbatan yopiq. Chunki, integrallanuvchi f va g funksiyalar yig`indisi f + g ham integrallanuvchi va Z [a, b] [f (t) + g (t)] dµ = Z [a, b] f (t) dµ + Z [a, b] g (t) dµ tenglik o`rinli. Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko`paytmasi yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L 1 [a, b] to`p- lam chiziqli fazo bo`ladi. 23.10. Berilgan [a, b] kesmada p (p > 1)− darajasi bilan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar to`plamini ˜L p [a, b] bilan belgilaymiz. Bu to`plam- da ham qo`shish va songa ko`paytirish amallari (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlanadi va ˜L
[a, b] to`plam chiziqli fazo tashkil qiladi. Yig`indi
[a, b] ekanligi Minkovskiy tengsizligi µZ [a, b] |f (t) + g(t) | p dµ ¶ 1 p ≤ µZ [a, b] | f (t) | p dµ ¶ 1 p + µZ [a, b] | g(t) | p dµ ¶ 1 p dan kelib chiqadi. 23.11. Berilgan [a, b] kesmada aniqlangan va o`zgarishi chegaralangan funksiyalar to`plamini V [a, b] bilan belgilaymiz. Bu to`plamda ham funksiya- larni qo`shish va songa ko`paytirish amallari 23.4-misoldagidek kiritiladi. Is- Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|