M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

F

k

va x /∈ F bo`lsin. U holda x /∈ F

k

, k = 1, 2, . . . , n

, ya'ni x nuqta F

k

uchun limitik nuqta bo`la olmaydi. Shuning uchun x ning O

ε

1

(x), O

ε

2

(x), . . . ,

O

ε

n

(x)

atroari mavjudki, O

ε

k

(x)

da F

k

ning ko`pi bilan cheklita elementi

bo`lishi mumkin. Agar

ε = min

1≤k≤n

ε

k

desak, O

ε

(x)

atrofda har bir F

k

to`plam elementlari soni cheklitadan ko`p

emas. U holda O

ε

(x)

atrofda F =

n

S

k=1

F

k

to`plam elementlarining soni ham

cheklitadan ko`p emas. Shuning uchun x nuqta F uchun limitik nuqta bo`la

olmaydi. Ya'ni F ning barcha limitik nuqtalari o`zida saqlanadi. Demak, F −

yopiq to`plam.

∆

20.9-ta'rif. Agar x ∈ M nuqta uchun shunday ε > 0 mavjud bo`lib,

O

ε

(x)

atrof M da to`liq saqlansa ( O

ε

(x) ⊂ M

), u holda x nuqta M to`plam-

ning ichki nuqtasi deyiladi. Faqat ichki nuqtalardan tashkil topgan to`plam

ochiq to`plam deyiladi. M ning barcha ichki nuqtalaridan iborat to`plam

◦

M

bilan belgilanadi.

20.16-misol. R sonlar o`qida ixtiyoriy (a, b) interval ochiq to`plamdir.

Haqiqatan ham, agar x ∈ (a, b) desak, ε = min{x − a, b − x} son uchun

O

ε

(x) ⊂ (a, b)

.

189

20.17. C[a, b] fazodagi g funksiyani olib, tayinlaymiz va G orqali f(t) <

g(t), t ∈ [a, b]

shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to`plamini belgilaymiz.

U holda G ochiq to`plam bo`ladi.

20.4-teorema. M to`plam ochiq bo`lishi uchun uning butun fazogacha

to`ldiruvchisi X\M yopiq bo`lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. M ochiq to`plam bo`lsin. U holda M dan olingan har

bir x nuqta o`zining biror O

ε

(x)

atro bilan M ga tegishli bo`ladi, ya'ni

O

ε

(x)

T

(X \ M) = ∅

. Shuning uchun X\M ga tegishli bo`lmagan nuqta

X\M

uchun urinish nuqtasi bo`la olmaydi, ya'ni X\M− yopiq to`plam.

Yetarliligi. X\M yopiq to`plam bo`lsin. U holda uning o`ziga tegishli bo`l-

magan urinish nuqtasi yo`q, ya'ni har bir x uchun shunday O

ε

(x)

atrof

mavjud bo`lib, O

ε

(x) ⊂ M

bo`ladi. Demak, M ochiq to`plam.

∆

20.18. Bo`sh to`plam va X fazo yopiq to`plamlardir. Ular biri-ikkinchisining

to`ldiruvchisi bo`lgani uchun 20.4-teoremaga ko`ra ∅ va X lar ochiq to`plamlar

ham bo`ladi.

Ikkilik prinsiplari hamda 20.3 va 20.4-teoremalar natijasi sifatida quyidagi

teoremani keltiramiz.

20.5-teorema. Ixtiyoriy sondagi ochiq to`plamlar yig`indisi va chekli son-

dagi ochiq to`plamlar kesishmasi yana ochiq to`plamdir.

20.4. Sonlar o`qidagi ochiq va yopiq to`plamlar

Ixtiyoriy metrik fazoda, hattoki Evklid fazosida ham, ochiq va yopiq to`p-

lamlar strukturasi, umuman olganda, juda murakkab. Ammo, bir o`lchamli

Evklid fazosida, ya'ni sonlar o`qida barcha ochiq to`plamlarni (shu jumladan

yopiq to`plamlarni) tavsiash qiyin emas. Sonlar o`qidagi ochiq to`plamlar

tavsi quyidagi teorema orqali ifodalanadi.

20.6-teorema. Sonlar o`qidagi ixtiyoriy ochiq to`plam chekli yoki sanoqli

sondagi o`zaro kesishmaydigan intervallar yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi.

190

Isbot. Sonlar o`qidagi G ochiq to`plamni qaraymiz. G to`plam elementlari

orasida ekvivalentlik munosabatini kiritamiz. Agar x, y ∈ G nuqtalar uchun

shunday (α, β) interval mavjud bo`lib, x, y ∈ (α, β) ⊂ G bo`lsa, x ∼ y

deymiz. Ravshanki, bu munosabat reeksiv va simmetrikdir. Bundan tashqari

x ∼ y

va y ∼ z bo`lgani uchun shunday (α, β) va (γ, δ) intervallar mavjud

bo`lib, x, y ∈ (α, β) ⊂ G va y, z ∈ (γ, δ) ⊂ G bo`ladi. Bundan γ < y < β va

(α, β)

T

(γ, δ) 6= ∅

larga ko`ra (α, β)

T

(γ, δ) ⊂ G

bo`lishi kelib chiqadi. Agar

a = min {α, γ} , b = max {β, δ}

desak, x, z ∈ (a, b) = (α, β)

S

(γ, δ) ⊂ G

bo`ladi. Shunday ekan, x ∼ z ekanligi, ya'ni kiritilgan munosabatning tranzi-

tivligi kelib chiqadi. Shuning uchun, G o`zaro kesishmaydigan I

τ

bir-biri bilan

ekvivalent nuqtalarning sinariga ajraladi, ya'ni G =

S

τ

I

τ

. Har bir I

τ

ning

interval ekanligini ko`rsatamiz. a = inf I

τ

, b = sup I

τ

belgilashlarni kirita-

miz. I

τ

ning tuzilishiga ko`ra a /∈ I

τ

va b /∈ I

τ

. U holda I

τ

⊂ (a, b)

. Ikkinchi

tomondan, agar x < y, x, y ∈ I

τ

desak, I

τ

ning tuzilishiga ko`ra (x, y) ⊂ I

τ

.

Bundan tashqari a dan o`ng tomonda va a ga istalgancha yaqin, b dan chap

tomonda va b ga ixtiyoriy yaqinlikda I

τ

ning elementlari mavjud. Shuning

uchun, chetlari (a, b) ga tegishli ixtiyoriy (a

0

, b

0

)

interval I

τ

da saqlanadi.

Bundan I

τ

= (a, b)

tenglik kelib chiqadi. Bunday kesishmaydigan I

τ

interval-

lar soni ko`pi bilan sanoqli, chunki har bir I

τ

interval kamida bitta ratsional

nuqtani saqlaydi. Shuning uchun intervallar soni ratsional nuqtalar sonidan

ko`p emas.

∆

Yopiq to`plamlar ochiq to`plamlarning to`ldiruvchi to`plami bo`lgani uchun,

ixtiyoriy yopiq to`plam sonlar o`qidan chekli yoki sanoqlita o`zaro kesishmay-

digan intervallarni chiqarib tashlashdan hosil bo`ladi.

20.19. R da sodda yopiq to`plamlarga misol sifatida kesmalar, alohida

nuqtalar va chekli shunday to`plamlar yig`indisini qarash mumkin.

20.20. Murakkabroq yopiq to`plamga misol sifatida Kantor to`plami ni

191

keltirish mumkin. Kantor to`plamining qurilishi va kontinuum quvvatli ekanligi

4.7-misolda keltirilgan. Uning o`lchovi nol ekanligi 6.3-misolda ko`rsatilgan.

U kontinuum quvvatli, nol o`lchovli to`plam. Kantor to`plamining quyidagi

xossalarini isbotlang.

1) Kantor to`plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.

2) Kantor to`plamining ichki nuqtalari mavjud emas, ya'ni

◦

K = ∅

.

3) Kantor to`plami mukammal to`plam, ya'ni K = K

0

.

4) Kantor to`plami [0, 1] kesmaning hech yerida zich emas.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

M =

©

x ∈ R

2

: x

2

1

+ x

2

2

< 1

ª

to`plamni R

2

metrik fazoda ochiq to`plam

bo`lishini isbotlang.

2.

M =

©

x ∈ R

2

: 1 ≤ x

2

1

+ x

2

2

≤ 4

ª

to`plamni R

2

metrik fazoda yopiq

to`plam bo`lishini isbotlang.

3.

Ratsional sonlar to`plami Q ning yopig`ini toping.

4.

Q

ni R ning hamma yerida zich ekanligini isbotlang.

5.

Butun sonlar to`plami Z ni R ning hech yerida zich emasligini isbot-

lang.

6.

Q

ning barcha yakkalangan nuqtalari to`plamini toping.

7.

Z

ning barcha yakkalangan nuqtalari to`plamini toping.

8.

R\Q

ning barcha limitik nuqtalari to`plamini toping.

9.

To`plam yopig`ining xossalarini keltiring.

10.

Sanoqli sondagi ochiq to`plamlarning kesishmasi ochiq to`plam bo`lmas-

ligiga misol keltiring.

192

11.

Sanoqli sondagi yopiq to`plamlarning birlashmasi yopiq to`plam bo`lmas-

ligiga misol keltiring.

12.

Kantor to`plami [0, 1] kesmada zichmi? K to`plam [0, 1] kesmadagi

biror (a, b) intervalda zich bo`la oladimi?

13.

Kantor to`plamining Lebeg ma'nosida o`lchovli ekanligini ko`rsating.

Uning o`lchovini toping.

14.

Kantor to`plamining barcha yakkalangan nuqtalari to`plamini toping.

15.

Diskret metrik fazoda ixtiyoriy M uchun M = [M] tenglikni isbotlang.

21- § . To`la metrik fazolar

Matematik analizdan ma'lumki, har qanday fundamental sonli ketma-ketlik

yaqinlashuvchidir. Bu tasdiq sonlar o`qining to`laligini ifodalaydi. Quyida ko`r-

satiladiki, ixtiyoriy metrik fazoda har qanday fundamental ketma-ketlik yaqin-

lashuvchi (21.8-misolga qarang) bo`lavermaydi.

21.1-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday N

ε

natural son mavjud

bo`lib, barcha n > N

ε

va m > N

ε

nomerlar uchun ρ (x

n

, x

m

) < ε

tengsizlik

bajarilsa, u holda {x

n

}

fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Uchburchak aksiomasidan bevosita kelib chiqadiki, har qanday yaqinla-

shuvchi ketma-ketlik fundamentaldir. Haqiqatan ham, agar {x

n

}

ketma-ketlik

x

ga yaqinlashsa, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday N

ε

son mavjudki, barcha

n > N

ε

nomerlarda ρ (x

n

, x) < ε/2

tengsizlik bajariladi. U holda ixtiyoriy

n > N

ε

va m > N

ε

nomerlar uchun

ρ (x

n

, x

m

) ≤ ρ (x

n

, x) + ρ (x, x

m

) <

ε

2

+

ε

2

< ε.

Demak, {x

n

}

fundamental ketma-ketlik ekan.

21.2-ta'rif. Agar X metrik fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqin-

lashuvchi bo`lsa, u holda X to`la metrik fazo deyiladi.

193

21.1-misol. Yakkalangan nuqtalar fazosida faqatgina statsionar (ya'ni biror

nomerdan boshlab hamma nomerlarda birgina nuqta takrorlanadigan) ketma-

ketliklar fundamental va shuning uchun yaqinlashadi, ya'ni bu fazo to`la.

21.2. R− fazoning to`laligi matematik analiz [4] kursidan ma'lum.

21.3. R

n

to`la metrik fazodir. Isbotlang.

Isbot. Faraz qilaylik, x

(p)

=

³

x

(p)

1

, x

(p)

2

, . . . , x

(p)

n

´

− R

n

dagi ixtiyoriy

fundamental ketma-ketlik bo`lsin. U holda har bir ε > 0 uchun shunday N

ε

nomer mavjud bo`lib, barcha p > N

ε

va q > N

ε

nomerlar uchun

ρ(x

(p)

, x

(q)

) =

v

u

u

t

n

X

k=1

³

x

(p)

k

− x

(q)

k

´

2

< ε.

(21.1)

Natijada har bir k ∈ {1, 2, . . . , n} uchun

n

x

(p)

k

o

ketma-ketlik barcha p > N

ε

va q > N

ε

nomerlar uchun

¯

¯

¯ x

(p)

k

− x

(q)

k

¯

¯

¯ < ε

tengsizlikni qanoatlantiradi,

ya'ni

n

x

(p)

k

o

∞

p=1

fundamental sonli ketma-ketlikdir va R fazo to`la bo`lganligi

uchun u yaqinlashuvchi bo`ladi. Uning limitini

x

k

= lim

p→∞

x

(p)

k

, k ∈ {1, 2, . . . , n}

orqali belgilaymiz. U holda, (21.1) tengsizlikda p > N

ε

deb q → ∞ da limitga

o`tsak

v

u

u

t

n

X

k=1

³

x

(p)

k

− x

k

´

2

≤ ε

tengsizlikka ega bo`lamiz. Bundan

lim

p→∞

x

(p)

= (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = x.

∆

21.4.-21.5. R

n

∞

va R

n

p

fazolarning to`laligi ham shunga o`xshash isbot-

lanadi.

21.6. C[a, b] fazo to`la metrik fazodir. Isbotlang.

194

Isbot. {x

n

} ⊂ C[a, b]

ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo`lsin. U hol-

da har bir ε > 0 uchun shunday N

ε

mavjudki, n, m > N

ε

bo`lganda

ρ (x

n

, x

m

) = max

a≤t≤b

| x

n

(t) − x

m

(t) | < ε

(21.2)

tengsizlik bajariladi. Bu esa {x

n

}

funksional ketma-ketlikning [a, b] kesmada

tekis yaqinlashish shartidir. Shuning uchun {x

n

}

ketma-ketlik [a, b] kesmada

aniqlangan biror x uzluksiz funksiyaga tekis yaqinlashadi. Agar (21.2) teng-

sizlikda n > N

ε

bo`lganda m → ∞ da limitga o`tsak,

ρ (x

n

, x) = max

a≤t≤b

| x

n

(t) − x (t) | ≤ ε

tengsizlik kelib chiqadi, ya'ni {x

n

}

ketma-ketlik C[a, b] fazo metrikasida x

funksiyaga yaqinlashadi.

∆

21.7. `

2

to`la metrik fazodir. Isbotlang.

Isbot. {x

(n)

} ⊂ `

2

ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo`lsin. U holda har

bir ε > 0 uchun shunday N

ε

mavjudki, n, m > N

ε

bo`lganda

ρ

³

x

(n)

, x

(m)

´

=

v

u

u

t

∞

X

k=1

³

x

(n)

k

− x

(m)

k

´

2

< ε

(21.3)

tengsizlik bajariladi, bu yerda x

(n)

=

³

x

(n)

1

, x

(n)

2

, . . . , x

(n)

k

, . . .

´

. (21.3) dan

kelib chiqadiki, ixtiyoriy k natural son uchun

¯

¯

¯ x

(n)

k

− x

(m)

k

¯

¯

¯ < ε

bo`ladi, ya'ni

har bir k da x

(n)

k

haqiqiy sonlar ketma-ketligi fundamentaldir va shuning

uchun u yaqinlashadi. Aytaylik,

x

k

= lim

n→∞

x

(n)

k

, k = 1, 2, . . .

bo`lsin. Endi x bilan yuqoridagi x

k

limitlar orqali tuzilgan (x

1

, x

2

, . . . , x

k

, . . .)

ketma-ketlikni belgilaymiz.

Quyidagilarni ko`rsatishimiz kerak:

a)

∞

P

k=1

x

2

k

< ∞

, ya'ni x ∈ `

2

;

195

b) lim

n→∞

ρ

¡

x, x

(n)

¢

= 0.

(21.3) tengsizlikka asosan har bir belgilangan N natural son uchun

N

X

k=1

³

x

(n)

k

− x

(m)

k

´

2

< ε

2

tengsizlik o`rinli. Bu tengsizlikning chap tomonidagi yig`indida cheklita qo`shi-

luvchi bo`lgani uchun n > N

ε

ni tayinlab, m → ∞ da limitga o`tsak,

N

X

k=1

³

x

(n)

k

− x

k

´

2

≤ ε

2

tengsizlikka kelamiz. Bu tengsizlik barcha N larda o`rinli, shuning uchun

N → ∞

da limitga o`tsak,

∞

X

k=1

³

x

(n)

k

− x

k

´

2

≤ ε

2

(21.4)

tengsizlikka ega bo`lamiz.

∞

X

k=1

³

x

(n)

k

´

2

,

∞

X

k=1

³

x

(n)

k

− x

k

´

2

qatorlar yaqinlashuvchi bo`lgani va

∞

X

k=1

x

2

k

=

∞

X

k=1

³

x

k

− x

(n)

k

+ x

(n)

k

´

2

≤ 2

∞

X

k=1

³

x

k

− x

(n)

k

´

2

+ 2

∞

X

k=1

³

x

(n)

k

´

2

munosabatdan

∞

X

k=1

x

2

k

qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya'ni a) tasdiq isbotlandi.

(21.4) tengsizlikda ε > 0 ixtiyoriy son bo`lgani uchun

lim

n→∞

ρ

³

x, x

(n)

´

= lim

n→∞

v

u

u

t

∞

X

k=1

³

x

k

− x

(n)

k

´

2

= 0

tenglik o`rinli bo`ladi, ya'ni `

2

fazo metrikasida x

(n)

→ x

. b) tasdiq ham isbot

bo`ldi.

∆

196

21.8. C

2

[−1, 1]

metrik fazo to`la emas. Isbotlang.

Isbot. Buning uchun C

2

[−1, 1]

fazoda uzluksiz funksiyalarning

f

n

(x) =