M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

,

C[a, b], C

p

[a, b], `

2

fazolarning separabel metrik fazolar bo`lishi ko`rsatilgan.

Separabel bo`lmagan metrik fazoga misol keltirilgan. Sonlar o`qidagi ochiq

to`plamlarning strukturasi berilgan.

21-paragraf to`la metrik fazolarga bag`ishlangan. Yaqinlashuvchi va funda-

mental ketma-ketliklar orasidagi bog`lanish ochib berilgan. R

n

, R

n

1

, R

n

∞

, `

2

,

C[a, b],

metrik fazolarning to`laligi isbotlangan. C

2

[a, b]

ning to`la bo`lmagan

metrik fazo ekanligi isbotlangan. Metrik fazoning to`la bo`lishini ta'minlovchi

ichma-ich joylashgan yopiq sharlar haqidagi teorema hamda Ber teoremasi is-

botlangan. Har qanday metrik fazoni to`ldirish mumkinligi haqidagi teorema

167

isboti bilan berilgan. Metrik fazolarda kompakt va nisbiy kompakt to`plam

tushunchalari berilgan. Asosiy funksional fazolar C[a, b] va `

p

da kompakt

(nisbiy kompakt) lik kriteriylari keltirilib, isbotlangan. Kompakt (nisbiy kom-

pakt) va kompakt bo`lmagan (nisbiy kompakt bo`lmagan) to`plamlarga mis-

ollar keltirilgan.

22-paragraf qisuvchi akslantirishlar prinsipi va uning tadbiqlariga bag`ish-

langan. To`la metrik fazolarda har qanday qisuvchi akslantirishning yagona

qo`zg`almas nuqtasi mavjudligi isbotlangan. Qisuvchi akslantirishlar prinsi-

pining R

n

metrik fazodagi algebraik tenglamalar sistemasiga tadbig`i bayon

qilingan. Bundan tashqari chiziqli va chiziqli bo`lmagan integral tenglamalarni

yechishda qisuvchi akslantirishlar prinsipidan qanday foydalanish mumkinligi

bayon qilingan.

19- § . Metrik fazolar va ularga misollar

Analizdagi eng muhim amallardan biri bu limitga o`tish amalidir. Bu amal-

ning asosida sonlar o`qida ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasi yotadi.

Analizda kiritilgan ko`pgina fundamental tushunchalar sonlar o`qining algeb-

raik xususiyatlariga bog`liq emas. Haqiqiy sonlar haqidagi tasavvurimizni to`p-

lam ma'nosida umumlashtirib, metrik fazo tushunchasiga kelamiz. Metrik fazo

tushunchasi hozirgi zamon matematikasida muhim o`rinni egallaydi.

19.1-ta'rif. Bo`shmas X to`plamning ixtiyoriy x va y elementlar juftiga

aniq bir ρ(x, y) son mos qo`yilgan bo`lib, bu moslik

1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X,

ρ(x, y) = 0

⇐⇒

x = y,

2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (simmetriklik aksiomasi),

3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (uchburchak aksiomasi)

shartlarni qanoatlantirsa, ρ ga X dagi masofa yoki metrika deb ataladi.

(X, ρ)

juftlik metrik fazo deyiladi.

168

Odatda metrik fazo, ya'ni (X, ρ) juftlik bitta X har bilan belgilanadi.

Agar X to`plamda ρ

1

, ρ

2

, . . . , ρ

n

metrikalar aniqlangan bo`lsa, u holda (X, ρ

1

)

,

(X, ρ

2

), . . . , (X, ρ

n

)

metrik fazolar mos ravishda X

1

, X

2

, . . . , X

n

harari bi-

lan belgilanadi.

19.2-ta'rif. Agar shunday C

1

> 0

va C

2

> 0

sonlar mavjud bo`lib barcha

x, y ∈ X

lar uchun

C

1

ρ

1

(x, y) ≤ ρ

2

(x, y) ≤ C

2

ρ

1

(x, y)

tengsizlik o`rinli bo`lsa, ρ

1

va ρ

2

lar ekvivalent metrikalar deyiladi.

Endi metrik fazoga bir nechta misollar keltiramiz.

19.1-misol. X qandaydir bo`shmas to`plam bo`lsin va har bir x, y ele-

mentlar juftiga

ρ(x, y) =







0, agar x = y,

1, agar x 6= y

qonuniyat bo`yicha son mos qo`yilsin. Ravshanki, ρ akslantirish metrika ak-

siomalarini qanoatlantiradi. Bu metrika diskret metrika deyiladi. Hosil bo`lgan

metrik fazo yakkalangan nuqtalar fazosi deyiladi.

19.2. R− haqiqiy sonlar to`plami ρ(x, y) = |x − y| masofa bo`yicha metrik

fazo tashkil qiladi va bu metrik fazo ham R har bilan belgilanadi.

19.3. Ixtiyoriy n ta x

1

, x

2

, . . . , x

n

haqiqiy sonlarning tartiblangan x =

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

guruhlaridan tashkil topgan to`plamda har bir x va y lar

jufti (x, y) ga

ρ (x, y) =

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

(19.1)

manymas sonni mos qo`yuvchi ρ akslantirish masofa shartlarini qanoatlanti-

radi. Hosil bo`lgan metrik fazo n− o`lchamli arifmetik Evklid fazo deyiladi.

Endi (19.1) formula bilan aniqlangan ρ moslik metrika aksiomalarini qanoat-

lantirishini ko`rsatamiz:

169

1) Barcha x, y ∈ R

n

lar uchun ρ (x, y) ning manymasligi (19.1) tenglikdan

hamda haqiqiy sonning kvadrati manymasligidan kelib chiqadi.

ρ (x, y) =

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

= 0 ⇐⇒

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

= 0

tenglikdan barcha k = 1, 2, . . . n larda x

k

= y

k

ya'ni x = y kelib chiqadi.

Agar x = y bo`lsa, u holda (19.1) dan ρ (x, y) = 0 ekanligi kelib chiqadi.

Demak, 1-aksioma bajariladi.

2) (a − b)

2

= (b − a)

2

ayniyatdan

ρ (x, y) =

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

=

v

u

u

t

n

X

k=1

(y

k

− x

k

)

2

= ρ (y, x)

ni olamiz. Bu esa 2-aksiomaning bajarilishini bildiradi. Endi 3-aksiomaning ba-

jarilishini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy uchta x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) , y = (y

1

, . . . , y

n

) ,

z = (z

1

, z

2

, . . . , z

n

)

nuqtalar uchun uchburchak aksiomasi

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− z

k

)

2

≤

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

+

v

u

u

t

n

X

k=1

(y

k

− z

k

)

2

(19.2)

ko`rinishda bo`ladi. Agar a

k

= x

k

− y

k

, b

k

= y

k

− z

k

belgilashlarni kiritsak,

x

k

− z

k

= a

k

+ b

k

bo`ladi va (19.2) tengsizlik

v

u

u

t

n

X

k=1

(a

k

+ b

k

)

2

≤

v

u

u

t

n

X

k=1

a

2

k

+

v

u

u

t

n

X

k=1

b

2

k

(19.3)

ko`rinishni oladi. Ushbu

Ã

n

X

k=1

a

k

· b

k

!

2

=

n

X

k=1

a

2

k

·

n

X

k=1

b

2

k

−

1

2

n

X

i=1

n

X

j=1

(a

i

b

j

− a

j

b

i

)

2

ayniyatni e'tiborga olsak,

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

k=1

a

k

· b

k

¯

¯

¯

¯

¯

≤

v

u

u

t

n

X

k=1

a

2

k

·

v

u

u

t

n

X

k=1

b

2

k

(19.4)

170

tengsizlikka ega bo`lamiz. (19.4) Koshi  Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.

U holda biz

n

X

k=1

(a

k

+ b

k

)

2

=

n

X

k=1

a

2

k

+ 2

n

X

k=1

a

k

b

k

+

n

X

k=1

b

2

k

≤

≤

n

X

k=1

a

2

k

+ 2

v

u

u

t

n

X

k=1

a

2

k

·

v

u

u

t

n

X

k=1

b

2

k

+

n

X

k=1

b

2

k

=





v

u

u

t

n

X

k=1

a

2

k

+

v

u

u

t

n

X

k=1

b

2

k





2

munosabatga ega bo`lamiz. Bu munosabatdan (19.3) tengsizlik bevosita kelib

chiqadi. Demak, uchburchak aksiomasi o`rinli ekan. Hosil bo`lgan metrik fazo

R

n

simvol bilan belgilanadi.

19.4. Yana n− ta haqiqiy sonlarning tartiblangan (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = x

guruhlaridan tashkil topgan to`plamni qaraymiz va unda masofani

ρ

1

(x, y) =

n

X

k=1

|x

k

− y

k

|

(19.5)

formula vositasida aniqlaymiz. Hosil bo`lgan metrik fazo R

n

1

simvol bilan bel-

gilanadi. Bu moslik metrikaning 1-3-aksiomalarini qanoatlantirishini o`quvchi

mustaqil tekshirib ko`rishi mumkin.

19.5. Yuqoridagi 19.3 va 19.4-misollarda keltirilgan to`plamda elementlar

orasidagi masofani

ρ

∞

(x, y) = max

1≤k≤n

|x

k

− y

k

|

(19.6)

formula bilan aniqlaymiz. Metrika aksiomalarining bajarilishi oson tekshirila-

di. Hosil bo`lgan metrik fazo R

n

∞

simvol bilan belgilanadi.

19.6. [a, b] kesmada aniqlangan va uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan

to`plamni C[a, b] bilan belgilaymiz. Bu to`plamda

ρ (x, y) = max

a≤t≤b

| x(t) − y(t) |

(19.7)

akslantirish metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. Masofaning 1-3 aksiomalari

bevosita tekshiriladi (o`quvchiga mustaqil tekshirish uchun tavsiya etiladi). Bu

171

metrik fazo analizda muhim ahamiyatga ega bo`lib, u ham to`plam kabi C[a, b]

bilan belgilanadi.

19.7. Haqiqiy sonlardan tuzilgan va

∞

X

k=1

x

2

k

< ∞

shartni qanoatlantiruvchi barcha x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .)

ketma-ketliklardan

tashkil topgan to`plamni `

2

bilan belgilaymiz. Bu to`plamda masofa

ρ (x, y) =

v

u

u

t

∞

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

(19.8)

formula bilan aniqlanadi. Har bir x, y ∈ `

2

elementlar uchun

∞

X

k=1

x

2

k

< ∞,

∞

X

k=1

y

2

k

< ∞

shartlar bajarilgani uchun va (x

k

± y

k

)

2

≤ 2

¡

x

2

k

+ y

2

k

¢

tengsizlikdan

∞

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Endi (19.8) formula bilan aniqlan-

gan ρ moslikning metrika aksiomalarini qanoatlantirishini ko`rsatamiz. Rav-

shanki, 1 va 2-aksiomalar bajariladi. Uchburchak aksiomasi esa

v

u

u

t

∞

X

k=1

(x

k

− z

k

)

2

≤

v

u

u

t

∞

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

+

v

u

u

t

∞

X

k=1

(y

k

− z

k

)

2

(19.9)

ko`rinishga ega. Yuqorida zikr etilganlarga ko`ra (19.9) tengsizlikdagi qator-

larning hammasi yaqinlashadi. Ikkinchi tomondan esa 19.3-misolda isbotlan-

ganiga ko`ra har bir n da

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− z

k

)

2

≤

v

u

u

t

n

X

k=1

(x

k

− y

k

)

2

+

v

u

u

t

n

X

k=1

(y

k

− z

k

)

2

172

tengsizlik o`rinli. Oxirgi tengsizlikda n → ∞ da limitga o`tsak, (19.9) tengsiz-

likning to`g`riligi isbotlanadi, ya'ni uchburchak aksiomasi o`rinli.

19.8. [a, b] kesmada aniqlangan va uzluksiz barcha haqiqiy qiymatli funk-

siyalar to`plamida

ρ

2

(x, y) =

s

Z

b

a

(x (t) − y (t))

2

dt

formula yordamida masofa aniqlash mumkin. Hosil bo`lgan metrik fazo C

2

[a, b]

simvol bilan belgilanadi va uzluksiz funksiyalarning o`rtacha kvadratik metrika-

li fazosi deb ataladi. Ravshanki, ρ

2

moslik metrikaning 1 va 2-aksiomalarini

qanoatlantiradi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi  Bunyakovskiy-

ning ushbu

µZ

b

a

x (t) · y (t) dt

¶

2

≤

Z

b

a

x

2

(t) dt ·

Z

b

a

y

2

(t) dt

(19.10)

integral tengsizligidan foydalanib isbotlanadi. Koshi  Bunyakovskiy tengsizli-

gi esa osongina tekshirish mumkin bo`lgan





b

Z

a

x (t) y (t) dt





2

=

b

Z

a

x

2

(t) dt

b

Z

a

y

2

(t) dt−

1

2

b

Z

a

b

Z

a

[x(s)y(t)−y(s)x(t)]

2

dsdt

ayniyatdan kelib chiqadi.

19.9. Yana [a, b] kesmada aniqlangan uzluksiz haqiqiy qiymatli funksiyalar

to`plamini qaraymiz. Bu to`plamda ushbu

ρ

1

(x, y) =

Z

b

a

| x (t) − y (t) | dt

(19.11)

formula bilan aniqlangan akslantirish metrika shartlarini anoatlantiradi. Hosil

bo`lgan metrik fazo C

1

[a, b]

simvol bilan belgilanadi. ρ

1

akslantirish metrika-

ning 1-3 aksiomalarini qanoatlantirishini tekshirish o`quvchiga mustaqil mashq

sifatida tavsiya qilinadi.

173

19.10. Barcha chegaralangan x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .)

haqiqiy sonlar ketma-

ketliklaridan tashkil topgan to`plamni qaraymiz. Bu to`plamdagi har bir x va

y = (y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .)

elementlar juftiga

ρ (x, y) = sup

1≤k≤∞

|x

k

− y

k

|

(19.12)

sonni mos qo`yuvchi ρ akslantirish masofa aniqlaydi. Hosil bo`lgan metrik fazo

m

har bilan belgilanadi. O`quvchi uchun 1-3 aksiomalarning bajarilishini

tekshirish qiyin emas.

19.11. n− ta haqiqiy sonlarning tartiblangan guruhlaridan iborat R

n

to`p-

lamda har bir p ≥ 1 son uchun

ρ

p

(x, y) =

Ã

n

X

k=1

|x

k

− y

k

|

p

!

1

p

(19.13)

formula bilan aniqlangan ρ

p

moslik masofa aniqlaydi va hosil bo`lgan metrik

fazo R

n

p

simvol bilan belgilanadi. Bu misolda ham 1− va 2− aksiomalar-

ning bajarilishini tekshirish qiyin emas. Shuning uchun 3− aksiomaning ba-

jarilishini tekshirish yetarli. Qaralayotgan to`plamdan ixtiyoriy uchta x =

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) , y = (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) , z = (z

1

, z