M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

ma'nosidagi tashqi o`lchovi hosil bo`ladi, u j

∗

(A)

bilan belgilanadi, ya'ni

j

∗

(A) =

inf

A⊂

n

S

k=1

P

k

n

X

k=1

m (P

k

) .

Ushbu j

∗

(A) = 1−j

∗

(E\A)

miqdor A to`plamning Jordan ma'nosidagi ichki

o`lchovi deyiladi. Agar j

∗

(A) = j

∗

(A)

bo`lsa, u holda A Jordan ma'nosida

o`lchovli to`plam deyiladi.

53

Shuni ta'kidlash joizki, agar A Jordan ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa,

u Lebeg ma'nosida ham o`lchovli to`plam bo`ladi va bu o`lchovlar o`zaro teng

bo`ladi.

Hozir biz Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida o`lchovli

bo`lmagan to`plamga misol keltiramiz.

6.1-misol. A ⊂ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqta-

lar to`plami bo`lsin. Uning Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida

o`lchovli emasligini isbotlang.

Isbot. A va E\A to`plamlar E da zich bo`lganligi uchun

j

∗

(A) = 1,

j

∗

(E\A) = 1

tengliklar o`rinli. Bu yerdan j

∗

(A) = 0

va j

∗

(A) 6= j

∗

(A).

Demak, A to`plam

Jordan ma'nosida o`lchovli emas. Ma'lumki, A sanoqli to`plam (3.3-misolga

qarang), shuning uchun uning elementlarini (x

k

, y

k

), k ∈ N

ko`rinishda nomer-

lab chiqish mumkin. Shunday ekan,

A =

∞

[

k=1

P

k

,

P

k

= {(x, y) : x

k

≤ x ≤ x

k

, y

k

≤ y ≤ y

k

} .

Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k ∈ N uchun m(P

k

) = 0.

Bu yerdan µ

∗

(A) = 0

ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta'kidlash lozimki, tashqi o`lchovi nolga teng

bo`lgan har qanday to`plam o`lchovli to`plamdir. Buning uchun elementar

to`plam sifatida B = ∅ ni olish yetarli:

µ

∗

(A∆B) = µ

∗

(A∆∅) = µ

∗

(A) = 0 < ε.

Demak, A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam. Shunday qilib, A Lebeg ma'no-

sida o`lchovli bo`lgan, lekin Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga

misol bo`ladi.

∆

6.4-teorema. O`lchovli to`plamning to`ldiruvchisi o`lchovlidir.

54

Isbot. Teoremaning tasdig`i elementar to`plamning to`ldiruvchisi elementar

to`plam ekanligidan va

A∆B = (E\A)∆(E\B)

tenglikdan (1-Ÿ dagi 2-topshiriqqa qarang) kelib chiqadi.

∆

6.5-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) halqa bo`ladi.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun o`lchovli to`plamlarning kesishmasi va

simmetrik ayirmasi yana o`lchovli to`plam ekanligini ko`rsatish yetarli. A

1

, A

2

o`lchovli to`plamlar bo`lsin. 6.5-ta'rifga ko`ra, ixtiyoriy ε > 0 son uchun shun-

day B

1

∈ M(S)

va B

2

∈ M(S)

elementar to`plamlar mavjud bo`lib, quyida-

gi tengsizliklar bajariladi

µ

∗

(A

1

∆B

1

) <

ε

2

,

µ

∗

(A

2

∆B

2

) <

ε

2

.

U holda (A

1

∩A

2

)∆(B

1

∩B

2

) ⊂ (A

1

∆B

1

)∪(A

2

∆B

2

)

munosabatdan va tashqi

o`lchovning yarim additivlik xossasidan

µ

∗

((A

1

∩ A

2

)∆(B

1

∩ B

2

)) ≤ µ

∗

(A

1

∆B

1

) + µ

∗

(A

2

∆B

2

) < ε

ga ega bo`lamiz. B

1

∩ B

2

ning elementar to`plam ekanligidan A

1

∩ A

2

ning

o`lchovli to`plam ekanligi kelib chiqadi.

Ikki to`plam simmetrik ayirmasining o`lchovli ekanligi

(A

1

∆A

2

)∆(B

1

∆B

2

) = (A

1

∆B

1

)∆(A

2

∆B

2

) ⊂ (A

1

∆B

1

) ∪ (A

2

∆B

2

)

munosabatdan hamda µ

∗

o`lchovning yarim additivlik xossasidan kelib chiqa-

di.

∆

Agar o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da birlik element mavjud bo`lsa,

u algebra tashkil qiladi. U(E) da E = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

to`plam birlik element shartlarini qanoatlantiradi. Demak, o`lchovli to`plamlar

sistemasi U(E) algebra tashkil qiladi.

55

6.5-teorema va 5.1-5.2 xossalardan quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.

6.1-natija. Ikki o`lchovli to`plamning birlashmasi va ayirmasi yana o`lchovli

to`plamdir.

6.2-natija. Chekli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va kesish-

masi yana o`lchovli to`plamdir.

6.6-teorema (O`lchovning additivlik xossasi). Agar A

1

, A

2

, . . . , A

n

lar

o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar bo`lsa, u holda

µ

Ã

n

[

k=1

A

k

!

=

n

X

k=1

µ (A

k

)

tenglik o`rinli.

Teoremani isbotlashda quyidagi lemmadan foydalaniladi.

6.2-lemma. Ixtiyoriy A va B to`plamlar uchun

|µ

∗

(A) − µ

∗

(B)| ≤ µ

∗

(A∆B)

tengsizlik o`rinli.

Isbot. A ⊂ B ∪ (A∆B) bo`lgani uchun 6.3-teoremaga ko`ra

µ

∗

(A) ≤ µ

∗

(B) + µ

∗

(A∆B).

Bu yerdan µ

∗

(A) ≥ µ

∗

(B)

hol uchun lemmaning isboti kelib chiqadi. Xuddi

shunday, B ⊂ A ∪ (A∆B) munosabatdan

µ

∗

(B) ≤ µ

∗

(A) + µ

∗

(A∆B)

ni olamiz. Yuqoridagi iki tengsizlikdan

|µ

∗

(A) − µ

∗

(B)| ≤ µ

∗

(A∆B).

∆

6.6-teoremaning isboti. Teoremaning isbotida biz elementar to`plamlar

uchun o`rinli bo`lgan µ

∗

(B) = m

0

(B), B ∈ M(S)

tenglikdan aytmasdan

foydalanib ketamiz. Teoremani n = 2 uchun isbotlash yetarli. Bizga A

1

va A

2

56

o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar berilgan bo`lsin. 6.5-ta'rifga ko`ra

ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday B

1

va B

2

elementar to`plamlar mavjudki,

µ

∗

(A

1

∆B

1

) < ε,

µ

∗

(A

2

∆B

2

) < ε

tengsizliklar bajariladi. A = A

1

∪ A

2

va B = B

1

∪ B

2

deymiz. 6.1-natijaga

ko`ra A to`plam o`lchovli. A

1

va A

2

to`plamlar o`zaro kesishmaganligi uchun

B

1

∩ B

2

⊂ (A

1

∆B

1

) ∪ (A

2

∆B

2

)

munosabat o`rinli (1-Ÿ dagi 5-topshiriqqa

qarang). Bu munosabatdan va 6.3-teoremadan m

0

(B

1

∩ B

2

) ≤ 2ε

tengsizlik

kelib chiqadi. 6.2-lemmaga ko`ra,

µ

∗

(A

1

) − ε ≤ µ

∗

(B

1

) = m

0

(B

1

) ≤ µ

∗

(A

1

) + ε

µ

∗

(A

2

) − ε ≤ µ

∗

(B

2

) = m

0

(B

2

) ≤ µ

∗

(A

2

) + ε







.

(6.10)

Endi m

0

o`lchovning additivlik xossasiga hamda (6.10) ga ko`ra,

m

0

(B) = m

0

(B

1

) + m

0

(B

2

) − m

0

(B

1

∩ B

2

) ≥ µ

∗

(A

1

) + µ

∗

(A

2

) − 4ε. (6.11)

Quyidagi tengsizlik o`rinli

µ

∗

(A) ≥ m

0

(B) − µ

∗

(A∆B) ≥ m

0

(B) − 2ε ≥ µ

∗

(A

1

) + µ

∗

(A

2

) − 6ε.

Birinchi tengsizlik 6.2-lemmadan, ikkinchi tengsizlik

A ∆ B ⊂ (A

1

∆ B

1

)

[

(A

2

∆ B

2

)

munosabatdan, uchinchi tengsizlik (6.11) dan kelib chiqadi. ε > 0 sonining

ixtiyoriyligidan

µ

∗

(A) ≥ µ

∗

(A

1

) + µ

∗

(A

2

)

ni hosil qilamiz. Teskari tengsizlik

µ

∗

(A) ≤ µ

∗

(A

1

) + µ

∗

(A

2

)

esa A ⊂ A

1

∪A

2

munosabatdan hamda 6.3-teoremadan kelib chiqadi. Demak,

µ

∗

(A) = µ

∗

(A

1

) + µ

∗

(A

2

)

57

tenglik o`rinli. A

1

, A

2

va A to`plamlar o`lchovli bo`lganligi uchun µ

∗

ni µ

bilan almashtirish mumkin, ya'ni µ(A) = µ(A

1

) + µ(A

2

)

.

∆

6.3-natija. Ixtiyoriy A ⊂ E o`lchovli to`plam uchun

µ (E\A) = 1 − µ(A)

(6.12)

tenglik o`rinli.

Isbot. A va E\A to`plamlar o`zaro kesishmaydi va

µ(A) + µ(E\A) = µ(E) = 1

Bu yerdan (6.12) tenglik kelib chiqadi.

∆

6.7-teorema. Sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va ke-

sishmasi yana o`lchovli to`plamdir.

Isbot. A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . . −

o`lchovli to`plamlarning sanoqli sistemasi bo`-

lib, A =

∞

S

n=1

A

n

bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

A

0

1

= A

1

,

A

0

n

= A

n

\

n−1

[

k=1

A

k

,

n ≥ 2.

Ravshanki, A =

∞

S

n=1

A

0

n

hamda A

0

n

to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesish-

maydi. 6.1 va 6.2-natijalarga ko`ra, A

0

n

to`plamlar o`lchovli.

6.6-teoremadan hamda tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan ix-

tiyoriy chekli n ∈ N uchun quyidagiga ega bo`lamiz

µ

Ã

n

[

k=1

A

0

k

!

=

n

X

k=1

µ(A

0

k

) ≤ µ

∗

(A).

Shuning uchun

∞

P

n=1

µ (A

0

n

)

qator yaqinlashadi. Demak, ixtiyoriy ε > 0 son

uchun shunday n

0

mavjudki,

X

n>n

0

µ (A

0

n

) <

ε

2

(6.13)

58

tengsizlik bajariladi. C =

n

0

S

n=1

A

0

n

to`plam o`lchovli to`plamlarning chekli yi-

g`indisi sifatida o`lchovli bo`lgani uchun, shunday B elementar to`plam mavjud-

ki,

µ

∗

(C ∆ B) <

ε

2

(6.14)

tengsizlik bajariladi. U holda

A ∆ B ⊂ (C ∆ B)

[

Ã

[

n>n

0

A

0

n

!

munosabatdan va tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan hamda (6.13)

va (6.14) lardan foydalansak,

µ

∗

(A ∆ B) ≤ µ

∗

(C ∆ B) + µ

∗

Ã

[

n>n

0

A

0

n

!

<

ε

2

+

ε

2

= ε

kelib chiqadi. Demak, A o`lchovli to`plam ekan.

O`lchovli to`plamlarning to`ldiruvchisi o`lchovli ekanligidan hamda

\

n

A

n

= E\

[

n

(E\A

n

)

tenglikdan sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning kesishmasi ham o`lchovli

ekanligi kelib chiqadi.

∆

6.4-natija. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) , σ algebra tashkil qiladi.

Natijaning isboti 6.7-teoremadan hamda U(E) sistemada E = [0, 1] ×

[0, 1]

ning birlik element ekanligidan kelib chiqadi.

6.7-teorema 6.2-natijaning umumlashmasi hisoblanadi. 6.6-teoremaning

umumlashmasi quyidagicha.

6.8-teorema (O`lchovning σ− additivlik xossasi). Agar {A

n

} −

o`zaro

kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar ketma-ketligi uchun

A =

∞

[

n=1

A

n

59

bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli

µ(A) =

∞

X

n=1

µ (A

n

) .

(6.15)

Isbot. Ixtiyoriy k ∈ N da

k

S

n=1

A

n

⊂ A

. 6.6 va 6.3-teoremalarga ko`ra

µ

Ã

k

[

n=1

A

n

!

=

k

X

n=1

µ (A

n

) ≤ µ(A).

Agar k → ∞ da limitga o`tsak,

∞

X

n=1

µ (A

n

) ≤ µ(A)

(6.16)

tengsizlikka ega bo`lamiz. O`lchovning yarim additivlik xossasiga ko`ra,

µ(A) ≤

∞

X

n=1

µ (A

n

) .

(6.17)

(6.16) va (6.17) dan (6.15) tenglik kelib chiqadi.

∆

Yuqorida keltirilgan teorema o`lchovning sanoqli additivlik yoki σ− addi-

tivlik xossasi deyiladi. O`lchovning σ− additivlik xossasidan uning uzluksizlik

xossasi kelib chiqadi.

6.9-teorema (O`lchovning uzluksizlik xossasi). Agar o`lchovli to`plamlar-

ning A

1

⊃ A

2

⊃ . . . ⊃ A

n

⊃ . . .

ketma-ketligi uchun A =

∞

T

n=1

A

n

bo`lsa, u

holda

µ(A) = lim

n→∞

µ(A

n

).

Isbot. A = ∅ to`plam bo`lgan holni qarash yetarli, chunki umumiy hol

A

n

ni A

n

\A

bilan almashtirish natijasida A = ∅ holga keltiriladi. Quyidagi

A

1

= (A

1

\A

2

) ∪ (A

2

\A

3

) ∪ (A

3

\A

4

) ∪ . . .

va

A

N

= (A

N

\A

N +1

) ∪ (A

N +1

\A

N +2

) ∪ (A

N +2

\A

N +3

) ∪ . . .

60

tengliklar o`rinli va qo`shiluvchi to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesishmaydi.

O`lchovning σ− additivlik xossasiga ko`ra

µ(A

1

) =

∞

X

n=1

µ (A

n

\A

n+1

) ,

(6.18)

µ(A

N

) =

∞

X

n=N

µ (A

n

\A

n+1

) .

(6.19)

(6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun uning qoldig`i (6.19) N → ∞ da

nolga intiladi. Shunday qilib,

lim

N →∞

µ(A

N

) = 0.

∆

6.5-natija. Agar A

1

⊂ A

2

⊂ . . . ⊂ A

n

⊂ . . .

o`lchovli to`plamlar ketma-

ketligi uchun A =

∞

S

n=1

A

n

bo`lsa, u holda

µ(A) = lim

n→∞

µ(A

n

).

Natijani isbotlash uchun A

n

to`plamlardan ularning to`ldiruvchilariga o`tish

va 6.9-teoremadan foydalanish yetarli.

6.3. Ayrim to`ldirishlar. Biz yuqorida faqat birlik kvadrat

E = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

da saqlanuvchi to`plamlarni qaradik.

Bu cheklashdan xalos bo`lish mumkin. Ma'lumki, R

2

ni juft-jufti bilan o`zaro