M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

i

f

i

!

1

q

Ã

∞

X

i=1

x

i

f

i

!

1

p

=

315

=

Ã

∞

X

i=1

|f

i

|

q

!

1

q

Ã

∞

X

i=1

|x

i

|

p

!

1

p

= kf k

q

kxk

p

.

Demak,

°

°

° e

f

°

°

°

q

= k f k

q

.

Ko`rsatish mumkinki, `

q

fazodagi ixtiyoriy ˜

f

chiziqli uzluksiz funksional (30.11)

ko`rinishda tasvirlanadi.

Shunday qilib `

∗

q

va `

q

, p

−1

+ q

−1

= 1

fazolarning izomorigi isbotlandi.

Xususan, p = 2 da `

∗

2

= `

2

kelib chiqadi. Shuning uchun `

2

fazo o`z-o`ziga

qo`shma fazo deyiladi. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, ixtiyoriy Hilbert

fazosining qo`shmasi ham o`ziga izomorf bo`ladi.

30.4. Endi `

1

fazoning qo`shmasini topamiz. 30.2-misolning c) bandidagi-

ga o`xshash mulohazalar qilib ko`rsatish mumkinki, `

1

fazoning qo`shmasi

`

∞

= m −

chegaralangan ketma-ketliklar fazosiga izomorfdir, ya'ni `

∗

1

= m

.

Quyidagi tasdiqlarni o`quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz:

c

∗

= `

1

, c

∗

0

= `

1

.

Bu tengliklarni izomorzm aniqligida tushunish kerak.

30.5. Endi X = C[a, b] fazoga qo`shma fazoni izomorzm aniqligida

topamiz. Ma'lumki, [a, b] kesmada aniqlangan va t = a nuqtada nolga

aylanuvchi o`zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V

0

[a, b]

orqali belgi-

lanadi (26.15-misolga qarang). Ko`rsatish mumkinki, bu to`plam funksiyalarni

qo`shish va ularni songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil

qiladi. Bu fazoda x elementning normasi k x k = V

b

a

[x]

tenglik bilan aniqlana-

di. Bu yerda V

b

a

[x]

o`zgarishi chegaralangan x funksiyaning [a, b] kesmadagi

to`la o`zgarishi. Ko`rsatamizki, (C[a, b])

∗

= V

0

[a, b]

.

Biz M[a, b] − bilan [a, b] kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funk-

siyalar to`plamini belgilaymiz. Bu to`plam odatdagi funksiyalarni qo`shish va

316

songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi (26.8-misolga

qarang). Bu fazoda x elementning normasi

k x k = sup

a≤t≤b

| x(t) |

tenglik bilan aniqlanadi. Har bir x ∈ C[a, b] funksiya chegaralangan va

sup

a≤t≤b

| x(t) | = max

a≤t≤b

| x(t) |

tenglik o`rinli bo`lgani uchun C[a, b] fazoni M[a, b] fazoning qism fazosi

sifatida qarash mumkin. Endi f ∈ C

∗

[a, b]

ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksio-

nal bo`lsin. Normalangan fazolarda Xan-Banax teoremasiga (30.3-teoremaga

qarang) ko`ra, f ∈ C

∗

[a, b]

funksionalni normasini saqlagan holda butun

M [a, b]

fazoga davom ettirish mumkin. F deb f funksionalning C[a, b]

dan M[a, b] ga davomini belgilaymiz.

Endi

ϕ

t

(ξ) =







1, agar a ≤ ξ ≤ t,

0, agar t < ξ ≤ b

t ∈ [a, b]

funksiyalar oilasini qaraymiz. Ravshanki, ixtiyoriy t ∈ [a, b] uchun

ϕ

t

∈ M [a, b]

. F funksionalning ϕ

t

∈ M [a, b]

elementdagi qiymatini u(t)

deb belgilaymiz, ya'ni u(t) = F (ϕ

t

), t ∈ [a, b].

Natijada [a, b] kesma-

da u funksiya aniqlandi. Bu funksiyaning o`zgarishi chegaralangan ekanligini

isbotlaymiz. Buning uchun [a, b] kesmani ixtiyoriy chekli sondagi

a = t

0

< t

1

< t

2

< · · · < t

n−1

< t

n

= b

(30.13)

nuqtalar bilan bo`lakchalarga ajratamiz. (30.13) bo`linishga mos

n

X

k=1

| u(t

k

) − u(t

k−1

)|

yig`indini qaraymiz. Agar

α

k

= sign [u(t

k

) − u(t

k−1

)] ,

k = 1, 2, . . . , n

317

belgilashlarni kiritsak, u holda

n

P

k=1

| u(t

k

) − u(t

k−1

)| =

n

P

k=1

α

k

| u(t

k

) − u(t

k−1

)| =

=

n

P

k=1

α

k

¯

¯ F (ϕ

t

k

) − F (ϕ

t

k−1

)

¯

¯ = F

·

n

P

k=1

α

k

¡

ϕ

t

k

− ϕ

t

k−1

¢

¸

.

F

chiziqli funksionalning chegaralanganligi va k F k = k f k dan

n

X

k=1

| u(t

k

) − u(t

k−1

)| ≤ k F k ·

°

°

°

°

°

n

X

k=1

α

k

¡

ϕ

t

k

− ϕ

t

k−1

¢

°

°

°

°

°

= k f k

tenglik kelib chiqadi. So`nggi tenglik

°

°

°

°

°

n

X

k=1

α

k

¡

ϕ

t

k

− ϕ

t

k−1

¢

°

°

°

°

°

= sup

ξ∈[a, b]

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

k=1

α

k

¡

ϕ

t

k

(ξ) − ϕ

t

k−1

(ξ)

¢

¯

¯

¯

¯

¯

= 1

tenglikka asoslangan. Shunday qilib, (30.13) ko`rinishdagi ixtiyoriy bo`linishda

n

X

k=1

| u(t

k

) − u(t

k−1

)| ≤ k f k

tengsizlik o`rinli. Bundan kelib chiqadiki, u ∈ V [a, b] va

V

b

a

[u] ≤ k f k .

(30.14)

x ∈ C[a, b] −

ixtiyoriy element bo`lsin. Har bir n natural son uchun [a, b]

kesmani

a = t

0

< t

1

< t

2

< · · · < t

n−1

< t

n

= b, t

k

= a +

b − a

n

k,

k = 1, 2, . . . , n

(30.15)

nuqtalar yordamida n ta teng bo`lakka ajratamiz va

y

n

(t) =

n

X

k=1

x(t

k

)

£

ϕ

t

k

(t) − ϕ

t

k−1

(t)

¤

(30.16)

pog`onasimon funksiyani quramiz. U holda F (y

n

)

quyidagi formula bo`yicha

aniqlanadi:

F (y

n

) =

n

X

k=1

x(t

k

) [u(t

k

) − u(t

k−1

)] .

318

Bu y

n

funksiyalarning aniqlanishidan ko`rinib turibdiki, y

n

(a) = x(a)

va

agar t

k−1

< t < t

k

bo`lsa y

n

(t) = x(t

k

),

k = 1, 2, . . . , n

. Kantor teo-

remasiga ko`ra, x funksiya [a, b] kesmada tekis uzluksiz funksiya bo`ladi.

Demak, ε > 0 uchun shunday δ > 0 mavjud bo`lib, |t − t

0

| < δ

tengsizlikni

qanoatlantiruvchi barcha t, t

0

∈ [a, b]

lar uchun |x(t) − x(t

0

)| < ε

tengsizlik

bajariladi. Shunday ekan, n yetarlicha katta bo`lganda

b − a

n

< δ

bo`lgani

uchun

max

t∈[a, b]

| x(t) − y

n

(t) | = max

1≤k≤n

max

t∈[t

k−1

, t

k

]

| x(t) − x(t

k

) | < ε

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan {y

n

}

ketma-ketlikning x funksiyaga [a, b]

kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. F uzluksiz funksional bo`lganligi

uchun

lim

n→∞

F (y

n

) = F (x).

Ikkinchi tomondan [a, b] da uzluksiz x va [a, b] da o`zgarishi chegaralan-

gan u funksiyalar uchun

Z

b

a

x(t) du(t)

Riman-Stiltes integrali mavjudligi va (30.16) yig`indi uning (30.15) bo`linish

bo`yicha integral yig`indisi bo`lganligi sababli

F (x) = lim

n→∞

F (y

n

) = lim

n→∞

n

X

k=1

x(t

k

) [u(t

k

) − u(t

k−1

)] =

Z

b

a

x(t) du(t).

Ammo, x ∈ C[a, b] bo`lgani uchun F (x) = f(x) , ya'ni

f (x) =

Z

b

a

x(t) du(t)

(30.17)

tenglik o`rinli. Shunday qilib ixtiyoriy x ∈ C[a, b] uchun f(x) (30.17) formu-

la bo`yicha aniqlanadi. Riman-Stiltes integrallari uchun o`rta qiymat haqidagi

teoremaga ko`ra ixtiyoriy x ∈ C[a, b] uchun

| f (x) | =

¯

¯

¯

¯

Z

b

a

x(t) du(t)

¯

¯

¯

¯ ≤ max

t∈[a, b]

| x(t) | V

b

a

[u] ≤ V

b

a

[u] k x k

319

tengsizlikni olamiz. Bundan

k f k ≤ V

b

a

[ u ]

(30.18)

tengsizlik kelib chiqadi. Endi (30.14) va (30.18) tengsizliklarni taqqoslab,

k f k = V

b

a

[ u ]

(30.19)

tenglikka ega bo`lamiz. Olingan natijalardan tashqari yana shuni ta'kidlash

lozimki, ϕ

a

(t) ≡ 0

va F (0) = 0 bo`lgani uchun u(a) = F (ϕ

a

) = 0

shart

o`rinli.

Endi f funksional uchun olingan natijalarni jamlab, quyidagi F.Riss teo-

remasini keltiramiz.

30.4-teorema. C[a, b] fazoda berilgan ixtiyoriy f chiziqli uzluksiz funk-

sional uchun shu f funksional bo`yicha aniqlanuvchi shunday u ∈ V

0

[a, b]

o`zgarishi chegaralangan funksiya mavjudki, barcha x ∈ C[a, b] larda (30.17)

va (30.19) tengliklar o`rinli.

Ko`rsatish mumkinki [1], har bir o`zgarishi chegaralangan u ∈ V

0

[a, b]

funksiya (30.17) tenglik yordamida yagona f ∈ C

∗

[a, b]

funksionalni aniqlay-

di. Shuning uchun, C

∗

[a, b]

dagi chiziqli funksionallar bilan V

0

[a, b]

o`zgarishi

chegaralangan funksiyalar fazosining elementlari o`rtasida o`zaro bir qiymatli

moslik mavjud. Bundan tashqari k f k = k u k bo`lgani uchun, bu moslik

izomorfdir, ya'ni C

∗

[a, b] = V

0

[a, b]

.

30.6. Berilgan [a, b] kesmada p(p ≥ 1) − darajasi bilan Lebeg ma'nosida

integrallanuvchi funksiyalar sinni L

p

[a, b]

bilan belgilaymiz (26.15-misolga

qarang). Ma'lumki, L

p

[a, b]

to`la normalangan fazo, ya'ni Banax fazosidir.

Endi p > 1 uchun (30.7) munosabatni qanoatlantiruvchi q sonni olamiz.

Isbotlamasdan quyidagi tasdiqni keltiramiz. Har bir f ∈ L

∗

p

[a, b]

funksional

uchun yagona y ∈ L

q

[a, b]

element mavjud bo`lib, ixtiyoriy x ∈ L

p

[a, b]

320

larda

f (x) =

Z

b

a

x(t) y(t) dt

(30.20)

tenglik bajariladi va aksincha, y ∈ L

q

[a, b]

uchun (30.20) formula L

∗

p

[a, b]

ga

tegishli biror funksionalni aniqlaydi. Bundan tashqari (30.20) formula L

∗

p

[a, b]

va L

q

[a, b]

fazolar o`rtasida izometrik moslik o`rnatadi. Shuning uchun

L

∗

p

[a, b]

va L

q

[a, b]

fazolar o`zaro izomorfdir, ya'ni L

∗

p

[a, b] = L

q

[a, b]

.

Xususan, p = 2 da L

∗

2

[a, b] = L

2

[a, b]

. Shuning uchun L

2

[a, b]

o`z-o`ziga

qo`shma fazo deyiladi.

30.7. Hilbert fazosida chiziqli funksionalning umumiy ko`rinishi quyidagicha

f (x) = (x, y),

ya'ni ixtiyoriy f chiziqli uzluksiz funksionalga shu fazoning

yagona y elementi mos keladi, shuning uchun Hilbert fazosi o`z-o`ziga qo`shma

fazo hisoblanadi. Xuddi shu sababli, n o`lchamli Evklid fazosi ham o`z-o`ziga

qo`shma fazo bo`ladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

f

0

: c

0

→ C, f

0

(x) = x

1

chiziqli funksionalni normasini saqlagan

holda c fazoga chiziqli davom ettiring.

2.

Chiziqli funksional davomi yagonami? Javobni asoslang.

3.

f : C

2

[0 1] → C

2

[0 1], f (x) = x(0)

funksionalni chiziqli chegaralangan-

likka tekshiring.

4.

Evklid fazolarida chiziqli funksionalning umumiy ko`rinishi qanday bo`ladi?

5.

Uzluksiz funksiyalar fazosi C[−1, 1] dagi barcha toq funksiyalar to`plami

C

−

[−1, 1] = L

0

(26.14-misolga qarang) qism fazo tashkil qiladi. L

0

qism

fazoda f

0

chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

f

0

(x) =

Z

1

−1

t x(t) dt,

x ∈ L

0

.

321

f

0

funksionalni normasini saqlagan holda C[−1, 1] gacha davom etti-

ring.

6.

`

1

, `

2

va `

p

, p ≥ 1

fazolarga qo`shma fazolarni toping.

7.

c

0

, c

va m fazolarga qo`shma fazolarni toping.

8.

C[a, b]

fazoga qo`shma fazoni toping.

9.

L

2

[a, b]

fazoga qo`shma fazoni toping.

10.

H

Hilbert fazosiga qo`shma fazoni toping.

31- § . Chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi

Mazkur paragrafda biz chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosi

L(X, Y )

ning to`laligi haqidagi teoremani isbotlaymiz. Operatorlar ketma-

ketligining kuchsiz, kuchli (nuqtali) va tekis (norma bo`yicha) yaqinlashish

ta'riarini beramiz. Ularni misollarda tahlil qilamiz.

31.1-ta'rif. Agar {A

n

} ⊂ L(X, Y )

operatorlar ketma-ketligi uchun shun-

day A ∈ L(X, Y ) operator mavjud bo`lib, lim

n→∞

k A

n

− Ak = 0

bo`lsa, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo`yicha yoki tekis yaqinlashadi

deyiladi va A

n

u

−→ A

shaklda belgilanadi.

31.2-ta'rif. Agar ixtiyoriy x ∈ X uchun lim

n→∞

k A

n

x − Axk = 0

bo`lsa,

{A

n

}

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi

deyiladi va A

n

s

−→ A

shaklda belgilanadi.

31.3-ta'rif. Agar ixtiyoriy f ∈ Y

∗

va barcha x ∈ X lar uchun lim

n→∞

f (A

n

x)

= f (Ax)

bo`lsa, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yoki

kuchsiz ma'noda

³

A

n

w

−→ A

´

yaqinlashuvchi deyiladi.

31.3-ta'rif Hilbert fazosida quyidagicha bo`ladi.

322

31.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy x, y ∈ H uchun lim

n→∞

(A

n

x, y) = (Ax, y)

bo`lsa, {A

n

}

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi