Mashinali o’qitishda chiziqli regressiya masalasi. Reja

3. Chiziqli regressiya


X omillar belgisining qiymatlari va ularga mos ravishda Y natijaviy parametrning qiymatlari berilgan bo’lsin. chiziqli regressiya koeffisentlarini hisoblash uchun eng kichik kvadratlar usuliga asoslangan holda quyidagi

miqdorni minimallashtiramiz.

funksiya o’z argumentlaring silliq qavariq funksiyasi hisoblanadi va, shuning uchun, uning minimumi
,
statsionarlik shartlaridan aniqlanadi.
funksiyaning statsionarlik shartlari quyidagi tengliklarga ekvivalentdir:
, .
Bu tenglamalarni ixchamlashtirib, quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:
,
. (11)
(11) sistemani noma’lum koeffitsiyentlarga nisbatan yechamiz va quyidagiga ega bo’lamiz:
, (12)
, (13)
Shunday qilib, chizikli regressiyaning koeffitsiyentlari (12), (13) formulalar yordamida aniqlanadi.
Hisoblash qulay bo’lishi uchun kerakli yig’indilar hisoblanib va yozib olinadigan yordamchi 5.4 - jadvaldan foydalanish mumkin.
5.4-jadval.

…	…	…	…	…	…	…
				…

5.4 - jadvalda , . Bu erda va - koeffitsientlar (12) va (13) formulalar yordamida aniqlanadi.

Misol. Biror firma shaxar ichidagi qisqa masofalarga turli xil yuklarni tashish bilan shug’ullanadi. Firma menedjeri oldida yukni yetkazib berish vaqtidan bog’liq bo’lgan bunday xizmatni baholash masalasi turadi. Yukni yetkazib berish vaqtiga ta’sir qiladigan muhim omil sifatida menedjer o’tilgan masofani tanlanadi. 10 ta yuk yetkazib berish bo’yicha ma’lumotlar yig’ildi (5.5 - jadval).
5.5 - jadval.

Masofa, km	3,5	2,4	4,9	4,2	3,0	1,3	1,0	3,0	1,5	4,1
Vaqt, min	16	13	19	18	12	11	8	14	9	16

Berilgan ma’lumotlar grafigini qurish, u asosida masofa va sarflangan vaqt orasidagi bog’liklik xarakterini aniqlash, eng kichik kvadratlar usulini qo’llash imkoniyatini taxlil qilish, regressiya tenglamasini qurish, regression bog’lanish kuchini tekshirish va, nihoyat, 2 km ga yukni yetkazib berish vaqti bo’yicha bashoratlash talab etiladi.

5.2-rasmda 10 ta yuk yetkazib berish bo’yicha boshlangich ma’lumotlar grafigi qurilgan.

5.2-rasm.

Yukni yetkazib berish vaqtiga, masofadan tashqari, yo’llardagi transport tirbandligi, yuk yetkazilayotgan kun vaqti, yo’ldagi ta’mirlash ishlari, ob-xavo, xaydovchining malakasi, transport turi kabi boshqa omillar ham ta’sir ko’rsatadi. Shu sababga ko’ra, hosil qilingan nuqtalar aniq chiziqda joylashmagan. Lekin 5.5-jadvaldan xosil qilingan , nuqtalar to’g’ri chiziq atrofida yig’ilgan. Shuning uchun parametrlar orasida chiziqli munosabat mavjud deb taxmin qilish mumkin. Barcha xosil qilingan boshlang’ich nuqtalar taxmin qilinayotgan to’g’ri chiziq bo’ylab bir tekisda joylashgan. Bu esa eng kichik kvadratlar usulini qo’llash imkonini beradi.
Qaralayotgan misol uchun 5.4-jadvalni tuldiramiz. Natijada 5.6-jadvalga ega bo’lamiz.
5.6-jadval.

3,5	16	12,25	56,00	15,233	2,634	5,76
2,4	13	5,76	31,2	12,297	1,698	0,36
4,9	19	24,01	93,1	18,947	28,590	29,16
4,2	18	17,64	75,60	17,085	12,145	19,36
3,0	12	9,00	36,00	13,893	0,086	2,56
1,3	11	1,69	14,30	9,371	17,884	6,76
1,0	8	1,00	8,00	8,573	25,271	31,36
3,0	14	9,00	42,00	13,893	0,086	0,16
1,5	9	2,25	13,50	9,903	13,668	21,16
4,1	16	16,81	65,60	16,819	10,362	5,76
				___

5.6-jadvalni (12), (13) formulalar buyicha to’ldirishda quyidagi chiziqli regressiya koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

; .
So’ngra izlanayotgan regression bog’liklikni aniqlab, , larni hisoblaymiz. (10) formula bo’yicha determinatsiya koeffitsiyentini hisoblaymiz:
yoki 91,8%.
Shunday qilib, chiziqli model yukni yetkazib berish vaqti o’zgarishidagi 91,8% vaziyatni tushuntirib bera oladi. Yukni yetkazib berish vaqti o’zgarishidagi 100% - 91,8% = 8,2% vaziyat esa, unga ta’sir qiladigan, lekin regressiyaning chiziqli modeliga kiritilmagan, qolgan omillar bilan bog’liq.
Determinatsiya koeffitsiyenti yetarlicha katta qiymatga ega bo’lganligi va bashoratlash talab etilayotgan 2 km masofa boshlang’ich ma’lumotlar diapazonida joylashganligi sababli, hosil qilingan regressiya tenglamasidan bashoratlash uchun foydalanish mumkin, ya’ni
minut.
Agar regression model real bog’lanishga yaqin bo’lsa, unda xatolik(chetlanish) tasodifiy xarakterli bo’ladi va ularning yigindisi 0 ga yaqin bo’ladi. Qaralgan misolda uchun .


4. Chiziqsiz regressiya


Chiziqsiz regressiyaning sodda hollari – grafigi giperbola, eksponenta va parabola bilan aniqlanadigan regressiyalar hisoblanadi. Giperbola va eksponenta uchun mos koeffitsiyentlarni topishda chiziqsiz regression bog’lanishni chiziqli bog’lanish ko’rinishga keltirish usuli ishlatiladi. Bu esa regressiya funksiyasi koeffitsiyentlarini xisoblashda (12), (13) formulalardan foydalanish imkonini beradi.
Regressiya chizig’i – giperbola. giperbola ko’rinishidagi regressiya funksiyasi koeffitsiyentlarini hisoblash uchun yangi o’zgaruvchini kiritamiz. U vaqtda giperbola tenglamasi ko’rinishiga keladi. Keyin esa chiziqli regressiya funksiyasini topishda qo’llaniladigan (4), (5) formulalar ishlatiladi. Ammo bunda qiymat o’rniga qiymat ishlatiladi. Natijada, giperbola koeffitsiyentlari uchun quyidagilarga ega bo’lamiz:
, . (14)
Misol. 5.7 - jadvalda keltirilgan boshlang’ich ma’lumotlar asosida chiziqsiz regression giperbola modelini quring.
5.7 – jadval.

x	1	2	3	4
y	30	7	8	1

Yechish. Bizning misolimizda . giperbola koeffitsiyentlarini aniqlashda (14) formuladan foydalanamiz. ekanligini hisobga olib, quyidagilarni topamiz:

,
(14) formulaga asosan

.
Shunday qilib, izlanayotgan regressiya tenglamasi bo’ladi. Endi (10) formulani ishlatib, determinatsiya koeffitsiyenti ni aniqlash mumkin.