Mavzu: Butun sonlarda bolinish nazaryasi Reja: Kirish. Asosiy qism

1-Ta’rif. Agar a,a₂,...,a_n sonlar ketma-ketligida (a_t,a.) = 1,
bo‘lsa, bu sonlar ketma-ketligi juft-jufti bilan o‘zaro tub deyiladi.
2-Ta’rif. a va b sonlarning xar biriga bo‘linadigan son shu sonlarning umumiy karralisi deyiladi.
Masalan, 12 va 18 sonlarning umumiy karralisi 36, 72, 108, ... bo‘ladi.
3-ta’rif. a va b sonlarning umumiy karralilari ichida eng kichigiga bu sonlarning eng kichik umumiy karralisi (EKUK) deyiladi va orqali belgilanadi.
Ikkita sonning EKUKi quyidagi oddiy xossalarga ega.
2-xossa.
a) ikkita sonning EKUKi shu sonlar ko‘paytmasini ularning EKUBiga bo‘lgan nisbatiga teng, ya’ni
b) sonlar o‘zaro tubdir, ya’ni
c) a va b sonlarning umumiy karralisi, ularning EKUKiga karralidir;
d) agar
e) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isbot. Ushbu xossalardan faqat birinchisini ko‘rsatish bilan chegaralanamiz. Aytaylik, M soni a va b sonlarning biror umumiy karralisi bo‘lsin. U holda , ya’ni
M = ak, M = bs.
Bundan ak soni b ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Agar (a,b) = d bo‘lsa, u holda a = a^d, b = b_xd va (a_x,b) = 1 deb olib, b | ak ekanligidan b I ^ak munosabatni, (a_x,b) = 1 bo‘lganligi uchun b I k bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, k soni b ga bo‘linadi, ya’ni

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Buni M ga olib borib qo‘ysak, hosil qilamiz. Demak,
a va b sonlaming ixtiyoriy umumiy karralisi yuqoridagi formula orqali ifodalanadi. Agar t = 1 bo‘lsa, a va b sonlaming EKUKini
topish formulasi hosil bo‘ladi, ya’ni □
Misol 4. (12,18) = 6 bo‘lib, bo‘ladi.
Ikkitadan ortiq sonlarning EKUKini topish masalasi ikkita sonning EKUKini topish kabi hal qilinadi.
Agar bizga a,a,...,a sonlar berilgan bo‘lib,
bo‘lsa, u holda topilgan m_n soni berilgan sonlarning EKUKi bo‘ladi, ya’ni

Agar berilgan sonlar ketma-ketligi juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Ta'rif. Agar nol’dan farqli a va b butun sonlar uchun a=bq tenglikni qanoatlantiradigan q butun son mavjud bo’lsa, u holda a son b songa qoldiqsiz bo’linadi (bo’linadi) yoki b son a sonni bo’ladi deyiladi hamda b | a kabi yoziladi.
a=bq tenglikdagi a son bo’linuvchi yoki b soniga karrali son, b son a sonining bo’luvchisi, q son esa bo’linma deb yuritiladi.
Ravshanki, ikkita son umumiy bo’luvchiga ega bo’lsa, u holda ularning yig’indisi, ayirmasi va karralilari ham shu bo’luvchiga ega.
x, y va z butun sonlar bo’lsa, u holda quyidagi sodda hossalar o’rinli:

Izoh. Shuni aytish joizki, ohirgi (g) hossa bo’linish bilan bog’liq mulohazalarni butun sonlar uchun emas, balki natural sonlar uchun yuritishga imkon yaratadi.
2 ga karrali butun sonlar (ya’ni 2 k , , ko’rinishdagi sonlar) juft, 2 ga
karrali bo’lmagan butun sonlar (ya’ni 2 k + 1 , , ko’rinishdagi sonlar) esa toq sonlar deb yuritiladi.
Bunda quyidagilar o’rinli:
a)Ikkita toq sonlarning yig’indisi va ayirmasi juft, ko’paytmasi esa toq son bo’ladi.
b)Ikkita juft sonlarning yig’indisi , ayirmasi va ko’paytmasi juft son bo’ladi.