Mavzu: laplas tеоrеmasi. Dеterminantlarni hisоblash usullari

Matritsa minоrlari

turli quyidagi matritsa bеrilgan bo`lsin:

Agar bo`lsa bu matritsa elеmеntlaridan - tartibli minоrlar tuzish mumkin.
1-Teorema . A matrissaning rangini uning noldan farqli minorlaridan eng yuqori tartiblisining tertibiga teng .
Isboti. Noldan farqli eng yuqori tartibli D minor A matrtissa yuqori chap burchagida joylashgan deb faraz Hozir matrissa rangini aniklashning yana bir usuli to’g’risida to’xtalib o’tamiz.

Aks holda satrkarni o’zaro va ustunlarni o’zaro o’rin almashtirib, D ni shu aytilgan joyga keltirisah mumkin, bundan A ning rangni o’zgarmaydi.
A matritsaning s-satrii (s=r+1,m) birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Buni isbotlash maqsadida quyidagi (r+1 )-tartibli ditermenantlarni qaraymiz:
_i=
bunda
I=1,2,…,n, s=r+1,e+2,…,m
Hamma _i ditermenantlar nolga teng. Haqiqatdan ,i<=r qiymatlarda ining kkita satri teng bo’lib _i keliub chiqadi; i>r qiymatlarda esa ditermenantlar A matrissaning (r+1)-tartibli minorlarini ifoydaydi, bu holda ham _i nolga teng bo’ladi.
_i ni ohirgi ustun elementlari boýicha yoyamiz:
a_1iA_1s+a_2iA_2s+…….+a_riA_rs+Da_si=0, (1)
bunda a_1i,a_{2i ,……,}a_ri elementlarning algebraic to’ldiruvchilari a_sr(k=1,r) ga bog’liq bo’lgani uchun ularni A_1s,A_2s,……,A_rs orqali belgiladik.D<>0ga muvofiq ,(1) tngliklarni a_si ga nisbatan echa olamiz .
a_si= _1sa_1i+ _2sa_2i+……..+ _rsa_ri (i=1,n, s=r+1,m). (2)
(2) trengliklar A ning s-satri birinchi r ta satrlari orqali chiziqliu ifodalanganini ko’rsatadi.
Demak, A matrissaning gorizantnl vektorlari sistemasidea chi9zikli erkli vektorlarning maksimal soni r ga teng, bo’lganidan A ning ranggi ham r ga teng bo’ladi.
Endi ditermnanantning nolga teng bo’lishining zaruriy va etarli shartini bayon etamiz.