Mavzu: Parametrik ko’rinishdagi funksiyaning hosilasi. Funksiyaning differensiali. Differensialning asosiy teoremalari

2. Funksiyaning differensiali.

1. funksiya nuqtada differensiallanuvchi, ya’ni hosilaga ega bo’lsa, ya’ni

   
   

bo’lib, bunda cheksiz kichik funksiya bo’ladi. Demak,

(1)
bo’ladi. (1) formulaga funksiya orttirmasi uchun formula deyiladi.
1-ta’rif. Funksiya orttirmasining bosh qismiga funksiya differensiali deyiladi va bilan belgilanadi.
Ta’rifga asosan,
(2)
(2) formulada bo’lsa, yoki bo’lib, funksiya differetsiali

ko’rinishda bo’ladi.

Elementar funksiyalarning differensiali jadvalini keltiramiz.
1. ; 2.
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12.
Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
(1) formuladan taqribiy tenglik kelib chiqadi, ya’ni yetarlicha kichik bo’lganda, funksiya orttirmasi uning differensialiga taqriban teng deyish mumkin. Bunda bo’lib, ya’ni yoki (3)
(3) formuladan funksiya qiymatini taqribiy hisoblashlarda foydalaniladi.
2-ta’rif. funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb funksiya differensialidan olingan differensialga aytiladi va

bilan belgilanadi.

Xuddi shunday, differensiallar ham aniqlanadi.
1-misol. funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli differensiallarini toping.
Yechish. Oldin birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni topamiz:

Shunday qilib,

va
bo’ladi.
2-misol. funksiyaning, argument 2 dan 2,001 gacha o’zgargandagi orttirmasini taqriban toping.
Y echish. (3) formuladan foydalanamiz.
Funksiya orttirmasi o’rniga uning differensialini olib qancha xatoga yo’l qo’yilganini baholaymiz: buning uchun haqiqiy orttirmani topamiz,

Demak, absalyut xato

Nisbiy xato yoki .
Taqribiy hisoblash xatosi ancha kichik, bu esa yuqoridagi taqribiy tenglikdan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkinligini ko’rsatadi.