Mavzu: Parametrik ko’rinishdagi funksiyaning hosilasi. Funksiyaning differensiali. Differensialning asosiy teoremalari

Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi

Mavzu:
Parametrik ko’rinishdagi funksiyaning hosilasi. Funksiyaning differensiali. Differensialning asosiy teoremalari (Roll, Lagranj, Koshi teoremalari.)
Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik x argumentning y funksiyasi quyidagicha

(16)
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin.

Agar x=j(t) funksiya teskarilanuvchi bo‘lsa, ya’ni t=j₁(x) mavjud bo‘lsa, u holda y=y(t) tenglamani y=y(j₁(x)) ko‘rinishda yozib olish va y=y(j₁(x)) funksiyaning hosilasini topish masalasini qarash mumkin. Odatda bu masala parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish masalasi deb ham yuritiladi.
Teorema. Aytaylik j(t) va y(t) funksiyalar [a;b] da uzluksiz va (a;b) da differensiallanuvchi hamda j’(t) shu intervalda ishorasini saqlasin. Agar x=j(t) funksiyaning qiymatlar to‘plami [a,b] kesma bo‘lsa, u holda x=j(t), y=y(t) tenglamalar [a,b] da uzluksiz, (a,b) da differensiallanuvchi bo‘lgan y=f(x) funksiyani aniqlaydi va
(17)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Misol. Ushbu parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. (0,p/2) da va bu kesmada yuqoridagi teoremaning barcha shartlari bajariladi. Shuning uchun (17) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.

Ravshanki,
(18)
tenglamalar y’_x funksiyani x ning funksiyasi sifatida parametrik ifodalaydi.
Faraz qilaylik (18) tenglamalar sistemasi yuqoridagi teorema shartlarini qanoatlantirsin. U holda y’_x funksiyaning x bo‘yicha hosilasi, ya’ni y ning x bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilasini quyidagicha hisoblash mumkin:
.
Shunday qilib, quyidagi qoida o‘rinli ekan: y ning x bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilasini topish uchun parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasi y’_x ni t parametr bo‘yicha differensiallab, so‘ngra hosil qilingan natijani x’_t ga bo‘lish kerak.
Misol tariqasida yuqorida berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y’_x=tgt, (y’_x)’_t=(tgt)’_t=1/cos²t va x’_t=-12cos²t×sint ekanligini e’tiborga olsak, qoidaga ko‘ra bo‘ladi.
Xuddi shu usulda uchinchi va boshqa yuqori tartibli hosilalar ham hisoblanadi.