Funksiyani hosila yordamida to`la tekshirish va grafigini yasash

Funksiyani hosila yordamida to`la tekshirish va grafigini yasash

Nuqta usuli bilan funksiyani tekshirib, uning grafigini yasashda funksiyaning barcha xossalarini tekshirish imkoniga ega emas edik. Hosila funksiyani tekshirishning analitik usulini yaratish imkonini beradi. Funksiyani tekshirish ishini quyidagi rejaga ko`ra olib borish mumkin:

1. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasi oldindan ko`rsatilmagan bo`lsa, uning aniqlanish sohasini topish.
   
2. 
   Funksiyaning juft va toqligini aniqlash.
   
3. 
   Funksiyaning davriy va davriy emasligini aniqlash.
   
4. 
   Funksiya grafigining koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtasini topish.
   
5. 
   Funksiyaning o`zgarmas ishorali oraliqlarini topish.
   
6. 
   Funksiyaning monotonligini tekshirish.
   
7. 
   Funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish va ekstremum qiymatlarini aniqlash.
   
8. 
   Funksiya grafigining egilish nuqtalarini, qavariqlik va botiqlik oraliqlarini topish.
   
9. 
   Funksiya grafigining asimptotalarini topish.
   
10. 
    Funksiya grafigini yasash.
    

Bu reja tekshiriladigan funksiya xossalariga va tekshirishning maqsadiga bog`liq bo`ladi. Berilgan funksiyani tekshirish davomida bu rejaning ba`zi bandlarini qo`shib yuborish mumkin. Masalan, funksiya davriy bo`lmasligi aniq bo`lsa, 3- bandni, agar funksiyaning aniqlanish sohasi x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lmasa, 2- bandga to`xtalishning xojati bo`lmaydi.
1- misol. y=x<sup>4</sup>- 5x<sup>2</sup>+4 funksiyani tekshiring va grafigini yasang.
Y e c h i s h. 1. Berilgan funksiya haqiqiy sonlar to`plami R da aniqlangan. Uning grafigi vertikal asimptotaga ega bo`lmaydi.
2. Funksiyaning aniqlanish sohasi simmetrik sonlar to`plamidan iborat bo`lib, u juft funksiyadir:
y(-x)=(-x)⁴-5(-x)²+4=x⁴-5x²+4=y(x) .
3. Funksiya davriy emas.
4. Funksiya grafigi Oy o`qini (0;4) nuqtada kesadi. Ox o`qni kesadigan nuqtalari esa x²-5x²+4=0 tenglamaning ildizlaridan iborat bo`ladi. Bu tenglamaning ildizlarini topamiz:
x⁴ –5x²+4=0_{ }
x₂= -1; x₃=1; x₄=2.

Funksiya grafigi abssissalar o`qini (-2;0), (-1;0), (1;0) va (2;0) nuqtalarda kesadi.

5. Funksiya qiymatlarining o`zgarmas ishora oraliqlarini topamiz. Funksiyaning nollari uning aniqlanish sohasini 5 qismga ajratadi:
_{ }
f(x)=x⁴-5x²+4=(x+2)(x+2)(x-1)(x-2).
Agar x_{ } ]-; -2[ bo’lsa, f(x)  0;
agar x_{ } ]-2; -1 [ bo’lsa, f(x) 0;
agar x_{ } ] -1; 1 [ bo’lsa, f(x)  0;
agar x_{ } ] 1; 2 [ bo’lsa, f(x)  0;
agar x_{ } ]2; +[ bo’lsa, f(x)  0;
]-; -2[, ]-1; 1[ va ]2; +[ oraliqlarda f(x)  0. ]-2; -1[ va ]1; 2[ oraliqlarda f(x)  0 bo’ladi. Funksiya grafigi gorizontal va og’ma asimptotalarga ega emas.
6. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini va qiymatlarini topamiz. f^’(x) hosilani topamiz va uni nolga tenglab, olingan tenglamani yechib, kritik nuqtalarni topamiz.

f^’ (x) = 4x³ – 10x = 2x (2x² –5) = 4x _{ }

_{ }
Demak, _{ }
agar x_{   } bo’lsa, f(x)  0;
agar x_{   } bo’lsa, f(x)  0;