Метод разделения переменных (метод Фурье)

;

,

если начальные условия имеют вид:



Можно использовать решение в виде ряда (2.7) и получить значения коэффициентов по формулам (2.8):



, если .

Если : , аналогично , тогда все гармоники кроме в решении исчезают, и колебания струны в любой момент времени и для любого будут:

.

Результат можно было бы получить сразу, если вспомнить, что система функций ортогональна на отрезке .

Пример. Однородная струна длиной закреплена на конце , а к другому её концу прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо скользит по гладкому стержню, оно отклонено на расстояние от положения равновесия и в момент отпущено. Найти отклонение точек струны в любой момент времени.


l

Постановка задачи: уравнение свободных колебаний струны с граничными и начальными условиями: