N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Isbot: Teorema sharti va aniq integral xossasiga asosan [§5, (17)], ixtiyoriy a<b<+∞ uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bunda F '(b)=f(b)≥0 bo‘lgani uchun F(b) monoton kamaymovchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan barcha b≥a uchun F(b)≤G<∞, ya’ni chegaralangan funksiyadir. Bulardan b→+∞ bo‘lganda F(b) chekli limitga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerdan, 1-ta’rifga asosan,

,

ya’ni teorema tasdig‘i o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

Misol sifatida ushbu xosmas integralni qaraymiz:

.

Bunda integral ostidagi f(x) funksiya

shartni qanoatlantiradi va

.

Demak, 1-teoremaga asosan, berilgan I xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I≤1/4 bo‘ladi.

2-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤ g(x) ≤ f(x) va

xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, x≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya

shartni qanoatlantiradi va

.

Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan I integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Agar xosmas integral ostidagi f(x) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.