«Общие уравнение прямой на плоскости»

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:
1) Подставим координаты точки  :

Верное равенство.
2) Подставим координаты точки  :

Верное равенство.
Вывод: уравнение прямой составлено правильно.
Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.
Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую  и посмотреть, принадлежат ли ей точки  , не так-то просто.
Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой  и, по тем же точкам  составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.
Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение  , то здесь целесообразно сократить на двойку:  – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых.
Получив ответ  в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.
Пример 8
Составить уравнение прямой, проходящей через точки  .
Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.
Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле  один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде  . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Нормальный вектор
Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).
Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами: