Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

а= х₁²+у₁².
Фазода щар =андай а векторни унинг ортлари ёрдамида =уйидагича ёйиб ёзиш мумкин: а=х₁i+y₁j+z₁k ёки а{x₁, y₁, z₁} Фазода векторнинг модули: а=х₁²+у₁²+z₁² энди векторлар а={x₁, y₁, z₁} ва в={x₂, y₂, z₂} координаталари билан берилганда амаллар =андай бажарилишини кыриб ытамиз:
а)а+в=х₁i+y₁j+z₁k+(x₂i+y₂j+z₂k)=(x₁+x₂)i+(y₁+y₂)j+(z₁+z₂)k={(x₁+x₂); (y₁+y₂); (z₁+z₂)},
б) а={x₁; y₁; z₁}, в) Координаталари билан берилган икки а ва в векторни коллениарлик шарти =уйидагича: х₁/х₂=у₁/у₂=z₁/z₂.
2. Чизи=ли бо`ланган ва чизи=ли бо`ланмаган векторлар.
Бизга координаталари билан а₁, а₂, ..., а_к векторлар берилган былсин. Агар шу векторлар учун камида биттаси нолдан фар=ли с₁, с₂, ..., с_к сонлар мавжуд былса ва улар учун с₁а₁+с₂а₂+...+с_ка_к=0 (1) шарт бажарилса, у щолда а₁, а₂, ..., а_к чизи=ли бо`ланган векторлар дейилади.
Мисол 1. +уйидаги векторларни =араймиз: а<sub>1</sub>=(2; 2; 3), а<sub>2</sub>=(0; -4; 5), а<sub>3</sub>=(3; 13; -8). Кырсатиш мумкинки, с<sub>1</sub>=3, с<sub>2</sub>=-5, с<sub>3</sub>=-2 былганда 3а<sub>1</sub>-5а<sub>2</sub>-2а<sub>3</sub>=0 былади. Демак, а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub> векторлар чизи=ли бо`ланган векторлар экан. Биз ю=орида ырганган коллениар векторлар чизи=ли бо`ланган векторлардир.
Агар а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, ..., а<sub>к</sub> векторлар учун (1) тенглик фа=ат с<sub>1</sub>=с<sub>2</sub>=...=с<sub>к</sub>=0 шартда бажарилса, у щолда бу векторлар чизи=ли бо`ланмаган векторлар дейилади.
3. Икки векторни скаляр ва вектор кыпайтмалари.
Икки а ва в векторларни скаляр кыпайтмаси шу векторларни узунликлари билан улар орасидаги бурчак косинусини кыпайтмасига тенг: ав=ав cos. Икки векторни скаляр кыпайтмасини физик маъноси F кучни бирор жисмга таъсири натижасида шу жисмни S масофага кычириб бажарилган ишдир. А=FS cos. Бизга а ва в векторлар координаталари билан берилган былсин, икки векторни скаляр кыпайтмаси: ав=(x₁i+y₁j+z₁k)(x₂i+y₂j+z₂k)=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ былади.
Мисол 2. а=3i+4j-2k, в=i-2j+k, a в=3 1+4 (-2)+1 (-2)=3-8-=-7.
Координаталари билан берилган икки а ва в векторлар орасидаги бурчак, скаляр кыпайтмани таърифига асосан келиб чи=ади:
c os=(a в)/( aв )=(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)/  (x₁²+y₁²+z₁²) (x₂²+y₂²+z₂²).
М исол: ю=оридаги мисол учун улар орасидаги бурчакни топамиз:
 a = 29, b = 1+4+1= 6, cos =(ав)/( ав)=(-7)/( 29  6)=-(7)/174 =-0,51, =120⁰. Ощирги муносабатдан икки векторнинг перпендикулярлик шарти (ортогоналлик шарти) =уйидагича былади:
x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0
Ортогонал векторларни бащо ва инфляция индексларини ани=лашга =ылланилишига тыхталиб ытамиз. Маълумки, икки а ва в векторларни скаляр кыпайтмалари нолга тенг былса, а в = 0 бу векторлар ортогонал векторлар былади.
Фараз =илайлик а вектор истеъмол =илинадиган мащсулотларни турлари, в_ыт - вектор щар бир мащсулотни ытган ойдаги (йилдаги) бащоси, в_щоз - вектор мащсулотларни шу кунлардаги бащолари былсин. Бащо индекси =уйидаги формула билан ани=ланади: