Определение коэффициентов линейной регрессии

Практическая часть
По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.
Таблица 3.1

Доходы семьи, , тыс. руб.	Расходы на продукты питания,  , тыс. руб.
200,90	87,64
225,67	84,46
75,09	81,66
100,90	76,72
150,45	88,54
127,56	74,26
120,78	91,96
220,45	66,82
80,89	65,90
90,45	90,34
125,56	87,12
112,34	67,45
210,67	69,34
224,99	75,66
80,90	65,34

Постройте линейную регрессионную модель связи переменных, где  интерпретируется как объясняемая переменная, а  – объясняющая, используя оценки наименьших квадратов.
Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции на уровне значимости α=0,05 с помощью  -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
Выполните прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 110% от среднего уровня.
Оцените точность прогноза, рассчитав 95% доверительные интервалы для среднего и индивидуального значения объясняемой переменной при том же значении  .
Найдите с надежностью 0,95 интервальные оценки параметров уравнения регрессии α и β.
На одном графике (графике подбора) постройте исходные данные и теоретическую прямую. Сделайте вывод.
Решение
Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции.

Рисунок 3.1. Поле корреляции
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицы.
Таблица 3.2

i	xi	уi
1	200,9	87,64	57,73	3332,37	9,43	88,85
2	225,67	84,46	82,50	6805,70	6,25	39,01
3	75,09	81,66	-68,08	4635,34	3,45	11,87
4	100,9	76,72	-42,27	1787,03	-1,49	2,23
5	150,45	88,54	7,28	52,95	10,33	106,63
6	127,56	74,26	-15,61	243,78	-3,95	15,63
7	120,78	91,96	-22,39	501,46	13,75	188,95
8	220,45	66,82	77,28	5971,68	-11,39	129,82
	80,89	65,9	-62,28	3879,21	-12,31	151,63
	90,45	90,34	-52,72	2779,75	12,13	147,04
	125,56	87,12	-17,61	310,23	8,91	79,32
	112,34	67,45	-30,83	950,69	-10,76	115,86
	210,67	69,34	67,50	4555,80	-8,87	78,75
	224,99	75,66	81,82	6693,97	-2,55	6,52
	80,9	65,34	-62,27	3877,97	-12,87	165,74
Итого	2147,6	1173,2		46377,94		1327,87
Среднее значение	143,17	78,21		3091,86		88,52

Таблица 3.3

i
1	200,90	87,64	17606,88	40360,81	7680,77
2	225,67	84,46	19060,09	50926,95	7133,49
3	75,09	81,66	6131,85	5638,51	6668,36
4	100,90	76,72	7741,05	10180,81	5885,96
5	150,45	88,54	13320,84	22635,20	7839,33
6	127,56	74,26	9472,61	16271,55	5514,55
7	120,78	91,96	11106,93	14587,81	8456,64
8	220,45	66,82	14730,47	48598,20	4464,91
9	80,89	65,90	5330,65	6543,19	4342,81
10	90,45	90,34	8171,25	8181,20	8161,32
11	125,56	87,12	10938,79	15765,31	7589,89
12	112,34	67,45	7577,33	12620,28	4549,50
13	210,67	69,34	14607,86	44381,85	4808,04
14	224,99	75,66	17022,74	50620,50	5724,44
15	80,90	65,34	5286,01	6544,81	4269,32
Итого	2147,60	1173,21	168105,34	353856,99	93089,32
Среднее значение	143,17	78,21	11207,02	23590,47	6205,95
Среднее значение^2	20498,60	6117,43

Рассчитаем МНК-оценки параметров линейного уравнения парной регрессии  . Для этого воспользуемся формулами (2.6) и (2.7):
0.003

Получили уравнение: .