Orifjonov ibrohimning matematika fanidan

Kompleks o’zgaruvchili funksiya hosilasi ta’rifi shakl jihatdan haqiqiy o’zgaruvchili funksiya hosilasi ta’rifidan farq qilmaydi. Shuning uchun haqiqiy funksiyalarning barcha differensiallash qoidalari kompleks funksiyalar uchun ham o’rinli. Kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchan bo’lishi talabi haqiqiy ma’nodagi differensiallanuvchanlikdan keskin farq qilib, juda katta talabdan iboratdir. Shuning uchun ham sohada analitik funksiyalar o’ziga xos ajoyib xossalarga ega bo’lib, bunday xossalarga haqiqiy differensiallanuvchi funksiyalar ega bo’la olmaydi. Bu xossalarni biz kelgusida o’rganamiz.

1-misol. funksiyani aniqlanish sohasida analitiklikka tekshiring. Yechish. Bu funksiya butun kompleks tekislikda aniqlangan bo’lib, u faqat nuqtadagina differensiallanuvchi. Haqiqatan ham Bu yerdan 1) bo’lsa, bo’ladi; 2) bo’lsa, u holda limitning mavjud bo’lish yoki bo’lmasligi (13.3)limitdan bog’liq. Oxirgi limit esa mavjud emas. Chunki agar deb olsak, u holda = va agar deb olsganimizda esa quyidagi natijani olamiz: Dmak, (13.3) limit intilish yo’liga bog’liq holda turli qiymatlarni bergani uchun mavjud emas. Shuning uchun ham nuqtalarda mavjud emas. Shunday qilib, funksiya nuqtada monogen bo’lib, barcha nuqtalarda differensiallanuvchi emas. Demak u nuqtada va nuqtalarda ham analitik emas.

Kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiali. Faraz qilaylik, funksiya biror nuqtada monogen bo’lsin, u holda shu nuqtada hosila mavjud va bu yerdan tenglikni olamiz. Bunda bilan da nolga intiluvchi funksiya (cheksiz kichik miqdor) belgilangan. Oxirgi tenglik(13.4) ni hosil qilamiz, ya’ni nuqtadagi funksiya orttirmasi ikki cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi shaklida ifodalanadi. Bu miqdorlarning biri bo’lib, agar bo’lsa, u holda u bilan bir xil tartibdagi cheksiz kichik miqdordir va uning koeffisienti dan bog’liq emas. Ikkinchi miqdor esa kichiklik tartibi dan yuqoridir. Qaralayotgan orttirmaning qismi funksiya orttirmasining chiziqli qismi yoki funksiya differensiali deb aytiladi va kabi belgilanadi. Agar bo’lsa, u holda teng bo’ladi, ya’ni erkli o’zgaruvchining differensiali uning orttirmasiga teng bo’ladi. Bu yerdan yoki (9.4) ifodadan ko’rinadiki, agar argument orttirmasi cheksiz kichik bo’lsa, u holda funksiya orttirmasi ham cheksiz kichik bo’ladi, ya’ni funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi. Shunday qilib, agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda u shu nuqtada albatta uzluksiz bo’ladi.